Riassunto esame Algebra e geometria lineare, Prof. Foffani Luigi, libro consigliato Geometria, Luigi Grasselli

STUDIO DELLE CONICHE

CAP. 12

Si dice ampliamento proiettivo (o completamento proiettivo) dello spazio euclideo e^u l'insieme

c^∞ = e^u ∪ e^∞₀

dove e^∞₀, detto iperpiano improprio di e^u è l’insieme delle direzioni delle rette di c^∞ (ovvero, i sottospazi vettoriali di dimensione uno della giacitura e^u)

Gli elementi di e^u (ovvero, i punti dello spazio euclideo originario) si dicono punti propri dell’ ampliamento proiettivo, mentre gli elementi di e^∞₀ si dicono punti impropri dell'ampliamento proiettivo.

Con abuso di linguaggio, quando risulterà chiaro che lo spazio euclideo e^u è stato completato con l’aggiunta del suo iperpiano improprio, si parlerà più semplicemente di punti propri e punti impropri di c^∞:

3x - 2y + 1 = 0

P_∞∞ = [y] = (l, u)

P_∞∞ = [y] = (2, 3)

P_∞∞ = [0, 2, 3]

a x + b y + c = 0

Dato un punto proprio P = R (y₁, y₂, ..., y_k) si dice (u+1)-pla di coordinate omogenee di P rispetto a R ogni (u+1)-pla (x_o, x₁, ..., x_u) tale che

x₂ / x_o = y₂

x₁ / x_o = y₁

...

Dato un punto improprio P_∞ individuato dalla direzione del vettore v ∈ e^u - {0}:

con V = ß (e₁ e₂, ..., e_u) si dice (u+1)-pla di coordinate omogenee di P_∞ rispetto a R ogni (u+1)-pla (x_o, x₁, ..., x_u) tale che

x_o = 0 ed esiste p ∈ R - {0}: per cui (x_o, ..., x_u) = p (e₁, ..., e_u)

Sia per i punti propri che per i punti impropri di e^u, scriveremo P = R [ x₀, x₁, ..., x_u ].

STUDIO DELLE CONICHE

CAP 12

Si dice ampliamento proiettivo (o completamento proiettivo) dello spazio euclideo l'insieme

dove ^-1_∞, detto l'orizzonte di , è l'insieme delle direzioni delle rette di (ovvero, i sottospazi vettoriali di dimensione uno della giacitura )

Gli elementi di (ovvero, i punti dello spazio euclideo originario) si dicono punti propri dell' ampliamento proiettivo, mentre gli elementi di ^-1_∞ si dicono punti impropri dell'ampliamento proiettivo.

Dato un punto proprio P_n=(₁,₂,⋯,_n), si dice (+1)-plea di coordinate omogenee di P rispetto a ℝ ogni (+1)-plea (_o,₁,⋯,_n) tale che

• _i/_o = _i per ogni i=1,...,n

Dato un punto improprio P_∞ individuato dalla direzione del vettore v ∈ ^-1/{} με v = (e₁,e₂,...,e_n) si dice (+1)-plea di coordinate omogenee di P_∞ rispetto a ℝ ogni (+1)-plea (_o,₁,⋯,_n) tale che

• _o = 0 ed esiste p ∈ ℝ-{0} per cui (₁,...,_n) = p · (e₁,...,e_n)

Sia per i punti propri che per i punti impropri di ^-1_∞ scriveremo P = ℝ[x_o, x₁, ..., x_n] per indicare [..., x_n]) è una (+1)-plea di coordinate omogenee del punto P.

Se x₀ ≠ 0 ⇒ P è punto proprio di coordinate cartesiane

Se x₀ = 0 ⇒ P è punto improprio individuato dalla direzione del vettore

(x₀ = 0 ⇐ ⇒ P improprio)

PROP 2.7) Dato r (propria) di ξ² cartesiana

1. ax + by + cz = 0

——————————————

nel complemento proiettivo di ξ²

1. ax + by + cz + dx₀ = 0

IVCERSA, dato

a₁x₁ + b₁y₁ + c₁