Reti lineari e sinusoidali

4.2.0 Soluzione delle reti elettriche lineari

4.2.1.1 Definiz. di bipolo lineare del primo ordine

Un bipolo si dice lineare del primo ordine se la sua funzione caratteristica può essere espressa come

K₁(t) ^dv/_dt + K₂(t) ^di/_dt + K₃(t) v + K₄(t) i + K₅(t) = 0

dove V(t) e i(t) sono la tens. e la corr. del bipolo e K₁(t) ... K₅(t) sono funzioni assegnate del tempo

Ovviamente un bipolo lineare di ordine zero (cioè resistivo) è un caso particolare di bipolo lineare del primo ordine

4.2.1.2 Induttori e capacitori ideali

Un induttore ideale è un bipolo lineare del primo ordine ed la cui funzione caratteristica è data da

V(t) = ± L(t) ^di/_dt (1)

dove, in analogia con il resistore "ideale", si pone il segno + se è stata fatta a vuoto la curva dell'utilizzare e il segno - se è stata fatta la curva dei generatori

La funzione L(t) prende il nome

rispettivamente per le radici reali e per le radici complesse coniugate dell'equaz. caratteristica associata all'equazione differenziale. Infatti le (7) implicano che tutte gli esponenziali sono decrescenti.

Le (7) consentono anche di introdurre le "costanti di tempo" del sistema, ponendo

(8) τ_i = -1/λ_i ovvero τ_i = -1/Re[λ_i]

In questo modo è possibile dare un'appendice "influente" al limite per t ➝ ∞. Si può infatti affermare che si ha

X(t) ≃ X_P(t) per t ≫ max[τ_i]

In altre parole, dopo un tempo sufficientemente più lungo della più lunga delle costanti di tempo del sistema, la soluzione è praticamente coincidente con l'integrale particolare X_p(t).

Per questo motivo, se sono verificate le ipotesi del fenomeno, si possono fermare della (4) perché il nome di "termine transitorio" ed il secondo termine della (4) perché il nome di "termine a regime".

Occorre anche osservare che le costanti di tempo, essendo legate all'integrale generale dell'omeogenea associata, non dipendono dai valori delle generatrici. Infatti questi ultimi sono i termini noti detti anche termini forzanti del sistema.

Il fenomeno si chiama rilassamento invece

L'unità di misura, nel sistema SI, si chiama Henry e si indica con la lettera H.

Le dimensioni fisiche della capacità si ricavano invece dalla

[C] = [A]² [T]³ [F]^-1 [V]^-2

L'unità di misura si chiama Farad.

4.2.1.4 Modello di una rete del primo ordine.

Una rete lineare costituita in generale da generatori ideali di tensione e corrente, resistori, induttori, capacitori si risolve impostando il sistema di equazioni indipendenti corrispondenti alle LKA, LKT e alle funzioni caratteristiche dei bipoli. Pertanto il modello può essere schematizzato dal seguente sistema:

• ∑ ± i = 0
• ∑ ± V = 0
• v = ± e(t)
• i = ± j(t)
• v = ± Ri
• v_L = ± L di_L/dt
• i_C = ± C dv/dt

A differenza delle reti lineari reattive il sistema non è algebrico, bensì differenziale.

Ri + L_didt = e(t)         (10)

sostituendo nella (10) le espressioni polinomiali per i(t) e e(t) si ha:

RX₂t² + RX₁t + RX₀ + 2LX₂t + LX₁ = A₂t² + A₁t + A₀

da cui uguagliando i coefficienti di uguale potenza, si ha:

• RX₂ = A₂
• RX₁ + 2LX₂ = A₁
• RX₀ + LX₁ = A₀

che contiene quindi un set lineare nelle tre incognite    X₀, X₁, X₂

È utile a questo punto osservare quali sono i tipi di operazione che occorre fare nel calcolo fondamentale sui polinomi.

Si tratta di 3 tipi di operazione, e cioè:

• somma di polinomi (in senso algebrico)
• prodotto di un polinomio per una costante
• derivazione di un polinomio

Abbiamo assunto appartenere all’insieme dei polinomi di grado N, le funzioni incognite appartenere allo stesso insieme.

4.2.2 Metodo di soluzione nel dominio del tempo.

Dimostriamo innanzitutto che la generica tensione/corrente della rete è una funzione sinusoidale avente la stessa pulsazione di quella comune a tutti i generatori.

Consideriamo infatti il sistema fondamentale

• ∑ ± i(t) = 0
• ∑ ± V(t) = 0
• V = ± e(t)
• i = ± j(t)
• V = R i
• V = L di/dt
• i = C dV/dt

le equaz. tipo LKA e LKT possono essere soddisfatte in quanto la somma di funzioni sinusoidali isofrequenziali è ancora una funzione sinusoidale isofrequenziale con i termini noti del sistema.

Le equazioni definitorie dei generatori sono banalmente verificate mediante una funzione sinusoidale. Con le equazioni relative ai resistori sono anche verificate infatti moltiplicando una funzione sinusoidale del tempo per una costante si ottiene una nuova funzione sinusoidale.

Infine le ultime 2 equazioni del sistema (1):

Interando per parti, oppure applicando

formule trigonometriche risulta:

A = AM/_√2

Come si vedrà, il valore efficace, pur essendo

semplicemente proporzionale al valor massimo

(praticamente pari a circa il 70% del valor

massimo) è più espressivo del valore

massimo e pertanto viene preferito al valor

massimo nel caratterizzare una tensione o una

corrente sinusoidale. Ad esempio, nel momento

in cui si parla di una tensione alternata

di 220 Volt, si intenderà una tensione

sinusoidale nel tempo avente un valore

efficace pari a 220 e quindi un valor

massimo di circa 311 Volt.

4.2.2.4 Amperometri e voltmetri a valore efficace

L'importanza del valore efficace suggerisce

di introdurne due ulteriori strumenti ideali,

e precisamente l'amperometro e il voltmetro

a valore efficace.

Nel bipolo in figura

nel quale le funzioni

V(t) e i(t) sono periodiche,

l'amperometro/voltmetro

tradizionali A

4.2.2.6 Metodo dei fasori

Definizione di fasore

Data una funzione sinusoidalea(t) = A√₂ sin (ωt + φ)il numero complesso Ā = A e^jφ

si dice fasore e costituisce quindi il corrispondente della funzione sinusoidale nel dominio dei numeri complessi.

Il metodo dei fasori consiste nell'operare nel dominio dei fasori con operazioni corrispondenti a quelle che si farebbero nel dominio del tempo, pervenendo ad un risultato che è il corrispondente fasoriale della funzione sinusoidale che si sarebbe trovato operando nel dominio del tempo. Lo schema logico è il seguente:

(isomorfismo)

Occorre a questo punto identificare le operazioni che occorre fare nel dominio del tempo e ricercare le operazioni corrispondenti nel dominio dei fasori, affinché il risultato finale sia appunto il corrispondente del risultato nel dominio del tempo.

4.2.2.10 Impedenze in serie e parallelo

Le formule di resistori in serie e parallelo,come pure i partitori di tensione e corrente,si estendono al caso sinusoidale, sostituendoalle resistenze/conduttanze le impedenze/ammettenze. Si ha così:

_ZT = Σ_{i Zi} serie di impedenze_YT = Σ_{i Yi} parallelo di impedenze_Vi = _Zi/Σ_{i zi} partitore di tensione_Ii = _Yi/Σ_{i Yi} partitore di corrente

4.2.2.11 Risonanze serie e parallelo

Consideriamo la rete

_V = (R - j_XC + _XL) _I

Si ha risonanza se _XL = _XC

In queste condizioni _I = _VR,con la rappresentazione vettoriale

_V = R_IIn condizioni di risonanzaquindi tensione e correntesono in fase; inoltre lacorrente, a parità di tensione, assume il massimo valore possibile.

Dualmente si ha la risonanza parallelola condizione di risonanza è retta_XL = _XC è valida, quindi si formaduale, quanto si riescutofare.

Si osservi infine, presentato