Circuiti Elettrici Lineari - Teoremi delle Reti

Il teorema di Thevenin

L'equivalente di Thevenin vale per qualunque carico arbitrario, e in particolare deve valere anche nel caso in cui il carico sia un circuito aperto con resistenza tendente all'infinito. In questo caso quindi la tensione equivalente di Thevenin V coincide con la tensione a vuoto (circuito aperto ai terminali A-B) del circuito di partenza: V = V_{TH oc}.

Calcolo della resistenza equivalente R_L: In questo caso si sfrutta l'arbitrarietà del carico, l'equivalenza fra il circuito lineare e l'equivalente di Thevenin deve rimanere anche nel caso in cui, ai morsetti A e B, venga applicato un generatore di tensione (detto talvolta generatore di test).

Per studiare la resistenza equivalente bisogna applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Nel caso in cui il principio viene applicato al circuito lineare si ha che, spegnendo tutti i generatori tranne il generatore di test, si ottiene una corrente dipendente dalla presenza del generatore.

chex xi = f(v ).sarà uguale a x xNel caso in cui il principio di sovrapposizione degli effetti viene applicato alVcircuito equivalente si ha che, spegnendo il generatore , ciò che resta èTHRla resistenza (incognita); dal generatore di test si ottiene il valore dellaTHi Rcorrente e quindi della resistenza :x THv vx xi = ⟹ R =x THR iTH xR v iLa resistenza equivalente di Thevenin coincide con il rapporto / una volta spenti tutti i generatoriTH x xC vindipendenti del circuito lineare e coincide con la resistenza vista dal generatore di test .xiUn’altra possibilità è quella di applicare un generatore di corrente di test . In questo caso si devexv Rcalcolare la tensione che si sviluppa tra A e B ma, in ogni caso, il valore di è sempre lo stesso (solox THR iche in questo caso coincide con la resistenza vista dal generatore di test ).TH x§4.4 TEOREMA DI NORTONIl teorema di Norton consente di esprimere il circuito lineare C utilizzando un

altro circuito equivalente, in particolare costituito da un generatore di corrente in parallelo a una resistenza. La procedura è molto simile a quella nel caso in cui l'incognita era la tensione equivalente di Thevenin. Dato che non vengono fatte ipotesi sulla natura del carico vengono sostituiti opportuni carichi in modo da calcolare semplicemente il valore della corrente equivalente e resistenza equivalente di Norton.

Calcolo delle corrente equivalente di Norton I. In questo caso il carico non viene sostituito con un cortocircuito in modo che la corrente che scorre al suo interno coincida con la corrente equivalente di Norton e la tensione ai morsetti è nulla. L'equivalenza fra i due sistemi (il circuito lineare e il circuito in cui sono stati sostituiti R e I, detto equivalente di Norton) vale per qualsiasi carico arbitrario (e in particolare in questo caso quando si tratta di un cortocircuito), quindi la corrente equivalente di Norton coincide con

La corrente di cortocircuito (tra i terminali A-B) del circuito C: I = i_NO

Calcolo della resistenza equivalente di Norton R. Anche in questo caso, come nel calcolo di R_TH, si sfrutta l'arbitrarietà del carico per l'equivalenza fra il circuito lineare e l'equivalente di Norton deve rimanere anche nel caso in cui, ai morsetti A e B, venga applicato un generatore di tensione. Per studiare la resistenza equivalente bisogna applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Nel caso in cui il principio viene applicato al circuito lineare si ha che, spegnendo tutti i generatori tranne il generatore di test, si ottiene una corrente dipendente dalla presenza del generatore, che sarà uguale a i = f(v).

Nel caso in cui il principio di sovrapposizione degli effetti viene applicato al circuito equivalente si ha che, spegnendo il generatore, ciò che resta è la resistenza (incognita); dal generatore di test si ottiene il valore della corrente.

Il valore della corrente e quindi della resistenza: x NOv vx xi = ⟹ R = x NOR iNO xR v i

La resistenza equivalente di Norton coincide con il rapporto / una volta spenti tutti i generatoriNO x x vindipendenti del circuito lineare C e coincide con la resistenza vista dal generatore di test. xR

Riassumendo il processo per determinare gli equivalenti di Thevenin o di Norton si ha:

G, C L - data una rete generale individuare i due terminali A e B della rete (che viene divisa in ed1) L;

scollegare il carico C se si vuole rappresentare la sottorete (che deve essere lineare) tramite equivalente di Thevenin,

2) V R C - calcolare e . Se, viceversa, si vuole rappresentare la sottorete tramite equivalente di Norton,

TH THI R R - calcolare e (= ); NO NO THV C;

per ottenere calcolare la tensione a vuoto della sottorete

3) THI C - per ottenere calcolare la corrente nel cortocircuito A-B della sottorete

4) NOR R - per calcolare (o ) spegnere tutti i generatori indipendenti presenti nella sottorete C, mantenere

5) NO TH R vi

generatori comandati e calcolare come il rapporto fra la tensione applicata fra A e B , e la corrente erogata da R:

V = R ⋅ I

Esistono inoltre delle relazioni fra Thevenin e Norton:

e_TH = e_NO

i_TH = i_NO

R_TH = R_NO

4.5 TRASFORMAZIONE DI GENERATORI

Dai teoremi di Thevenin e Norton discende il metodo di trasformazione dei generatori che consente di passare da una rappresentazione in cui si ha un generatore di tensione in serie con una resistenza ad una soluzione equivalente nel quale si ha una configurazione in cui si trova un generatore di corrente in parallelo ad una resistenza:

V_si = R ⋅ i_s

Questa trasformazione è molto utile per semplificare l'analisi delle reti, nel quale si vanno a sviluppare dei conti nei quali vengono trasformate delle configurazioni nelle corrispettive duali (sono duali quelle in figura). Per passare da una configurazione in serie con ad una in parallelo con tramite i teoremi di Thevenin e Norton, si ha che la nuova

La corrente è pari al rapporto tra la tensione e la resistenza (quest'ultima rimane la stessa); viceversa, la nuova tensione sarà pari al prodotto tra la resistenza e la corrente.

4.6 GENERATORI REALI DI TENSIONE E DI CORRENTE

Modello ideale di un generatore indipendente di tensione

Nel caso del si ha che, tramite la caratteristica tensione-corrente, il generatore ha la capacità di mantenere la tensione fra i suoi morsetti indipendentemente dalla corrente che viene richiesta dal carico. In particolare un generatore di tensione di questo tipo potrebbe arrivare a erogare una corrente virtualmente infinita (e quindi una potenza infinita): questo non può accadere nella realtà, è solo un modello che può andare bene nel caso ideale per descrivere e esemplificare la natura del problema. Per il modello reale di un generatore indipendente di tensione si fa riferimento al teorema di Thevenin.

V_box) Inizialmente il generatore di tensione è

Racchiuso da una scatola (black) nella quale non si sa cosa stia succedendo; a questo si va aRapplicare un carico, quindi una resistenza Lvariabile (simboleggiato dalla freccia sul resistore).Ciò che accade è descritto dal grafico cartesiano:supponendo di partire da un valore molto grandesi ha che la tensione d’uscita coincide con unv circuitvalore asintotico (open o circuito aperto)ocche è la tensione a vuoto. Man mano chediminuisce il valore della resistenza variabile latensione ai capi del generatore inizia a diminuire,questo perché se si fa diminuire il valore della resistenza di carico si sta “chiedendo” al generatore dierogare più corrente ma il generatore non riesce a erogare tutta la correnteche si vuole; in particolare, nel caso in cui viene applicato un costo circuitofra i morsetti, si avrebbe la massima corrente erogata dal generatore. La tensione ai capi del generatore è data dall’equazione (molto

approssimatapartitorepoiché nel caso reale sarebbe più complesso) che rappresenta undi tensione Rtra la resistenza di carico e la resistenza equivalente internaLRdel generatore :SR RL Lv = V = V0 ocR + R R + RS L S L VQuindi si può modellizzare il generatore reale di tensione come generatore ideale al quale si aggiunge0Rin serie un resistore , nonché la resistenza parassita interna del generatore. In una rappresentazione diS R vquesto tipo, se la resistenza variabile fosse nulla, la tensione sarebbe anch’essa nulla; mentre nellaLR v V Vcondizione di circuito aperto, in cui tende a infinito, si ha che la tensione tende a (= ). IlL 0 ocgeneratore reale di tensione tende a comportarsi come se fosse un generatore ideale quando laR Rresistenza di carico è molto maggiore della resistenza interna ; quando invece la resistenza di caricoL SR ha un valore che è confrontabile con laL Rresistenza interna , il generatore si allontanaSdalla

caratteristica di idealità mostrando il suo funzionamento reale. Quando il carico non è collegato (circuito aperto) si ha che la tensione d'uscita è la tensione massima che il generatore può erogare (V), quindi può essere considerata come la tensione del generatore in assenza di carico. Il collegamento di un carico provoca sempre una diminuzione in valore assoluto della tensione ai terminali, questo è noto come modello ideale di un generatore indipendente di tensione. Nel caso del generatore indipendente di corrente si ha che il generatore ha la capacità di erogare una corrente indipendente dalla tensione che si sviluppa a causa del collegamento di un carico fra i suoi morsetti. Quasi analogamente al caso della tensione, quello che succede è che virtualmente si potrebbe collegare un carico (ad esempio un resistore) molto grande che determinerebbe una caduta di potenziale ai capi del generatore virtualmente infinita: ciò non è un modello ideale.te elettrica. Il generatore indipendente di corrente elettrica è un dispositivo che produce energia elettrica in modo autonomo, senza bisogno di essere collegato alla rete elettrica principale. Questo tipo di generatore è molto utile in situazioni in cui non è disponibile l'elettricità, come ad esempio durante un blackout o in aree remote. I generatori indipendenti di corrente elettrica possono essere di diversi tipi, ma tutti funzionano seguendo lo stesso principio di base. Un motore interno, alimentato da un combustibile come benzina, diesel o gas naturale, fa girare un'altra macchina chiamata alternatore. L'alternatore è responsabile della produzione di energia elettrica, convertendo l'energia meccanica del motore in energia elettrica. Per garantire un funzionamento sicuro e affidabile, i generatori indipendenti di corrente elettrica sono dotati di dispositivi di protezione come fusibili, interruttori di emergenza e sistemi di spegnimento automatico in caso di surriscaldamento o sovraccarico. L'energia elettrica prodotta da un generatore indipendente può essere utilizzata per alimentare elettroutensili, elettrodomestici, sistemi di illuminazione e molto altro ancora. Tuttavia, è importante fare attenzione a non sovraccaricare il generatore, in quanto potrebbe danneggiarsi o causare un cortocircuito. In conclusione, i generatori indipendenti di corrente elettrica sono dispositivi molto utili per garantire un'energia elettrica autonoma in situazioni di emergenza o in aree senza accesso alla rete elettrica principale.