Relazione Laboratorio matematica e fisica

Se una funzione f(x) è derivabile in tutti i punti di un insieme A, possiamo considerare la funzione:

+ + ( )

: → →

tale che detta funzione derivata.

! ! + +

[()] ()

; ;

Essa si può indicare con uno dei seguenti modi: quando compaiono dei

parametri nell’espressione della funzione possiamo usare le seguenti scritture che consentono di

-. -)

[()];

;

chiarire qual è la derivabile rispetto a cui si calcola la derivata: .

" -" -"

Significato geometrico della derivata

− = ℎ

Si definisce incremento della variabile la differenza ! ) ).

() − ( = ( + ℎ) − (

Si definisce incremento della variabile la differenza ! ! /

)

0)(") )(" *'),)("

! !

=

Si definisce rapporto incrementale il rapporto che può anche essere scritto

0" '

)

)("),)(" !

nella forma "," ! )

)("),)(" 12

! =

Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta r passante per i punti

"," 32

!

A e B. )

→ () → ( →

Quando allora e di conseguenza quasi da “combaciare”. La retta r da

! !

secante tenderà a diventare tangente nel punto A. Quindi il limite del rapporto incrementale non

()

sarà più il coefficiente angolare della retta secante, ma della retta tangente alla funzione nel

: ; ();.

punto A di coordinate ! +

) (

− ( = ⋅ − 0)

L’equazione della retta tangente in A sarà: (connessa all’ equazione

! (" )

!

( )

− = ⋅ −

del fascio di rette: ! !

PUNTI STAZIONARI

Lo studio della derivata serve anche a trovare i punti stazionari di una funzione. Si dice che è un

!

+ ( )

() = 0

punto stazionario per se si ha !

I punti stazionari sono a tangente orizzontale del grafico di una funzione ovvero i massimi e i

minimi: )

( > () ∀ ∈

è massimo relativo se

! ! " !

)

( < () ∀ ∈

è minimo relativo se

! ! " !

Oltre ai massimi e ai minimi abbiamo altri punti + ( )

= ±∞

a. Flesso a tangente verticale !

+ (

+) = ±∞ ≠ ( −) = −∞

b. punto cuspidale ! !

+ +

( (

+) ≠ −)

c. punto angoloso ! !

TEOREMA SULLA CONTINUITÀ’ DI UNA FUNZIONE DERIVABILE

() () ”

“Se una funzione è derivabile in un punto allora è anche continua in

! !

DIMOSTRAZIONE:

()

La funzione è derivabile, quindi vuol dire che esiste ed è finito il limite del rapporto

)(" *') )(" *')

+ +

! !

( ) ( )

= ℎ ≠ 0 = +

incrementale: allora con (h) infinitesimale

(h)

! !

' '

'→!

ℎ → 0.

se ( + ℎ):

Ricaviamo ! +

) ( )

( + ℎ) − ( = ℎ[ + (h)]

! ! !

+

) ( )

( + ℎ) + ℎ[ + (h)]

=(

! ! !

ℎ → 0

passiamo al limite per + (h)]⦄

) ( )

( + ℎ) = ⦃( + ℎ[ +

! ! !

'→! '→! )

( + ℎ) = (

! !

'→!

questo equivale proprio alla definizione di continuità:

)

= (

!

"→" !

→ ℎ ℎ → 0 ò ( + ℎ) = ( )

Dire che ! ! !

'→!

Il viceversa non è vero, cioè una funzione continua non è anche derivabile.

Per verificarlo riporto un esempio: "

√

Supponiamo di avere la funzione y=

dimostriamo che la funzione è continua:

() = () i due estremi, destro e sinistro, sono uguali quindi la funzione è continua,

# $

'→! '→!

infatti se sostituiamo ottremmo:

"

() = = 0 = (0)

√0

"→! "→!

Verifichiamo se la funzione è derivabile.

Calcoliamo il limite del rapporto incrementale: %

" "

" %

)(!*'),)(!) , ,! ' "

√!*' √! √' ,5

= = = = ℎ =

"

' ' ' '

'→! '→! '→! '→! '→!

& 5

,

ℎ = sostituendo lo 0 nel limite avremo:

" &

'→! '→! ' "

5 5

= = +∞

" & !

√!

'→!

ciò significa che la funzione non è derivabile perché il limite del rapporto incrementale deve

esistere ed essere finito, in questo caso è infinito.

Abbiamo verificato così che la funzione è continua, ma non derivabile, dimostrando il teorema sulla

continuità di una funzione derivabile.

FORMULE DI DERIVAZIONE

Ecco riportate alcune formule di derivazione

+

= 0

y = k 6 + 6,5 +

[()] [()] ()

= ⋅

= 5

+ + ()

l m = ⋅

y= (") )(")

) + )" + ()

= ⋅

y= ' 5

+ + ()

n() = ⋅

y= 78)(")

+ + ()

:(); = ()

y= ⋅

+ + ()

() = ()

y= ⋅

5

+ + ()

= ⋅

y=() &

5*[)(")]

Per consentire le varie operazioni con le derivate abbiamo alcune regole di derivazione

+

[()] ()

= ⋅

D +

[() ()] ()

± = ± ′()

D +

[() ()] ()

⋅ = ⋅ () + ′() ⋅ ()

D ′ ′

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ − ⋅

=

D

( ) 2

( )

( )$

# TEOREMI SULLE DERIVATE

Per quanto riguarda le derivate abbiamo alcuni importanti teoremi, che tratterò di seguito.

TEOREMA DI FERMAT: Se f è una funzione derivabile nel punto , interno al suo dominio e

!

+ ( )=

è un punto di estremo relativo allora 0

! !

TEOREMA DI ROLLE:

Se f è una funzione:

-continua nell’intervallo chiuso e limitato [a;b]

-derivabile nell’intervallo aperto (a;b)

- tale che f(a)= f(b) )

Allora esiste almeno un punto appartenente all’intervallo (a;b) tale che: f’( =0

! !

TEOREMA DI LAGRANGE:

Se f è una funzione

-continua nell’intervallo chiuso e limitato [a;b]

-derivabile nell’intervallo aperto (a;b)

∈ )=

Allora esiste almeno un punto (a;b) tale che f’(

! !

TEOREMA DI DE L’HOPITAL: Se f e g sono funzioni definite in un intorno U di x (finito o

infinito) valgono le seguenti ipotesi:

-f e g sono derivabili in tutti i punti di U distinti da (se finito)

!

0 ∀ ∈ , ≠

-g’(x)≠ (se finito)

!

→

-per f e g hanno entrambe limite 0 o entrambe limite infinito

! * (")

)

-esiste, finito o infinito, *

@

"→" (')

! * (")

)(") ) )(")

Allora esiste anche, e vale l’uguaglianza =

*

@(") @ @(")

"→" "→" "→"

(')

! ! !

Legato al concetto di derivata è l’integrale definito poiché è il suo inverso. Capiamo di cosa si

tratta.

DEFINIZIONE DI PRIMITIVA

F(x) è una primitiva di f(x) se F’(x)= f(x)

DEFINIZIONE INTEGRALE INDEFINITO

Si dice integrale indefinito della funzione f(x) l’insieme di tutte le primitive di f(x) e si indica con

∫ ()

Osserviamo che l’operazione di integrale è l’inverso della derivata.

La primitiva è unica a meno di una costante (F(x)+c)

INTEGRALE DEFINITO

[; ]

Dividiamo l’intervallo parti che chiamiamo e di conseguenza:

"

−

= ≠ 0; ≠

" 6

Per ogni intervallo abbiamo due rettangoli con la stessa base ed altezze che corrispondono al

"

minimo e ad al massimo della funzione f(x) in quell’intervallo. Definiamo quindi come le

6 6

somme parziali inferiore e superiore cioè:

= + … minimo dell’intervallo

6 5 " 7 " 6 " 5

+ …

= massimo dell’intervallo

6 5 " 7 " 6 " 5

→ +∞

Per le somme parziali superiori ed inferiori tenderanno allo stesso valore I con

=

I= 6 6

6→*A 6→*A

Tale valore I viene detto integrale definito della funzione f(x) nell’intervallo [a;b] e si indica:

B ()

∫

C

DEFINIZIONE DI FUNZIONE INTEGRALE: " ()

Si definisce funzione integrale di f(x) nell’intervallo [a;b] la funzione: F(x)=

∫

C

Quindi la funzione integrale è una funzione che ad ogni valore di x [a;b] associa il valore

∈

" ()

numerico che rappresenta l’area nell’intervallo [a;x]

∫

C

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE:

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] la corrispondente funzione integrale F(x) è

[, ]

∀ ∈

derivabile nell’intervallo [a;b] e risulta:

F’(x)=f(x)

Di conseg