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Metodi Matematici
AA: 2022-2023, Angelo Morro
Funzioni di più variabili
x ∈ ℝm → x = (x1, x2, ..., xm) → "variabili"
f(x) = f(x1, x2, ..., xm)
es.
x = x, y, z , f(x) = f(x, y, z)
Intorno
definiamo l'intorno di "raggio" δ di: x̂ nel seguente modo:
|x−x̂|< δ
es. 1 variabile
es. 2 variabili
es. 3 variabili → avrò una sfera
Limite
f: ℝm→ℝ
f(x)→l , allora limx→x̂ f(x)=l è definito come
∀ε ∃δ. |x−x̂| 0 => lim t↴0 ∂xi f(̅) ≥ 0
t
per t<0:
f(̅+t ei̅) - f(̅)
< 0 => lim t↴0 ∂xi f(̅) ≤ 0
t
Allora se f ammette derivate prime e continue, i due limiti devono coincidere, da cui la condizione:
∂x f(̅) = 0 i = 1,..., m
Condizione Necessaria
DIMOSTRAZIONE
F(x, t+h) - F(x, t) = ∫ab (fx(t+h) - fx(t)) / h dx
- Usiamo Taylor per f(x, t+h), ordine 2, Resto di Lagrange
f(x, t+h) = f(x, t) + ∂tf(x, t)⋅h + 1/2 ∂t2f(x, t + θh)⋅h2
0: d((x, y), (x', y')) < \delta \rightarrow |f(x, y) - f(x', y')| < \varepsilon\)
\[ d \text{ formula} \frac{\sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2}} \]
Prendiamo i min e i MAX di F dell'interno dei sottodomini, e li denotiamo rispettivamente come mi, ed Mi.
d
∫ f(x(s,t),y(s,t)) y'(s,t) ∙ 1 ∙ dy dt
c t' y' ds dt
d
∫ [(f(x(s,y)) - f(x(s,y),s)] dy , che coincide con ∫ f(x,y) dy
D
Per cui abbiamo dimostrato che
∫ ∫ f(x,y) dx dy = ∫ f(x,y) dy
D ∂
Analologamente si dimostra l'altra formula
FORMULA DI STOKES
ENUNCIATO
∫ F ∙ t ds = ∫ (∇ x F) ∙ e3 dα
D D
DIMOSTRAZIONE
Partiamo dalla seguente formula: ∫ F1 dx + F2 dy
∂D
STEP 1: lato sinistro
Sia x = (x,y) ∫ F1 dx + F2 dy = ∫ (F1 x' + F2 y') dt
∂D
Se moltiplica e divido per |x'|,
∫ (F1 x' + F2 y') ∙ 1 ∙ dt = ∫ (F1 x' + F2 y') |x'| dt
∂D ∂D
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