Progettazione dei controllori 1

Sintesi dei controllori

Metodi per la sintesi dei controllori

Partendo dal primo sistema, si hanno diversi metodi per la sintesi dei controllori:

Per discretizzazione

Si fa la sintesi del controllore continuo per poi portarlo nel digitale mediante alcune tecniche, ma con perdita di informazione per campionamento.

In fase di sintesi, è necessario tener conto del deterioramento delle informazioni causato dal ricostruttore 1/(s). È necessario introdurre nell'anello una FIT che vada a bilanciare l'effetto della ricostruzione. Tale operazione introduce ritardo, che può essere rappresentato con l'approssimazione di PADE:

e^-Ts = ^b(s)/_a(s) = ^{b₀ + b₁ s}/_{a0 + a1 s} ≈ ^{1 - T_s/₂}/_{1 + ^Ts/2}

Dunque H₀(s) ≈ ^{1 - T_s/₂}/_{1 + ^Ts/2}.

Esempio: G_p(s) = ¹/_s deve essere stabile.

È necessario fissare il passo di campionamento tenendo conto di:

• Perdita di informazione: T piccolo
• Ritardo: ridurre il numero di operazioni del controllore

Deve comunque essere applicato il teorema di Shannon. Di solito si sceglie W_s = 4 ⋅ 10 = 20 W_b, dove T = ^2π⁄_Ws.

Se viene assegnato il tempo di salita (t_R = ^π⁄_w1) o una delle variabili, si può operare come segue, poiché t_r, w_b = 2.5. Dato W_s, si ricava T. Dato G_p(s), si prende la costante di tempo più grande (polo più vicino a ω_M) e si prende G_p(s) = ^N(s)⁄_{(1+ ts) (1+ ts) ...}.

T = ^t_M⁄_{2 ⋅ 10}.

Potremmo dover scegliere il numero di campioni in uno pseudo periodo (se il sistema è ad anello chiuso e del 2^nd sottordine) M_C = ^P⁄_T = ^2π⁄_wT = ^2π⁄_Θ.

Quando bisogna sintetizzare un controllore vengono assegnate le specifiche e il front end G_p(s). Nel primo caso, è fissato il tempo di campionamento e poi si procede alla sintesi di D_c(s) e "infine discretizzare" D_c(s) in D_i(z).

Metodo di discretizzazione per differenze dell’indietro

Assumiamo di aver sintetizzato D_C(s) e vogliamo trovare D_d(z):

D_c(s) = ^a⁄_{s + a} ⇒ ^U(s)⁄_E(s) ⇒ sU(s) + aU(s) = aE(s), a cui è associato l'equazione differenziale i’[t] + au[t] = ae(t).

^{∫u’(t)dt + a∫U(t)dt = a∫e(t) dt}⁄_(k-1)T⁄_(K-1)T⁄_KT⁄_KT

Per calcolare l’uscita, devo approssimare gli integrali:

u(KT) – U((K-1)T) + aU T(K) = aT e_(k).

Si osserva un effetto di schiacciamento, ovvero il comportamento in alta frequenza del controllore discretizzato non è lo stesso del controllore continuo, poiché trasformiamo componenti distorti nel regolatore continuo in componenti a frequenze vicine nel discreto.

Se nel continuo abbiamo una grande larghezza di banda (frequenza in corrispondenza della quale si ha un'attenuazione del modulo di almeno 3dB rispetto al valore in bassa frequenza), potremmo ritrovarlo in bassa frequenza. La larghezza di banda è associata alla rapidità del sistema; in questo caso, il controllore se è un controllore continuo e veloce potrebbe essere lento nel discreto.

Trasposizione di Tustin con precompensazione frequenziale

Per ovviare a questo problema si ricorre alla trasposizione di Tustin con precompensazione frequenziale, che in una frequenza assegnata garantisce l'equivalenza delle due risposte armoniche.

Per ω_s = u_c, il termine T è veloce a ω_c e ω_s, le due funzioni di risposta armonica hanno la stessa ampiezza, con ω_s² = (ω_u²)/2, mantenendo lo stesso segno dei picchi in modulo di fase passata.