Progettazione dei controllori 1

SINTESI DEI CONTROLLORI

Partendo dal primo sistema si hanno diversi metodi per la sintesi dei controllori:

a) per _{DISCRETIZZAZIONE}

Si fa la sintesi del controllore continuo per poi portarlo nel digitale mediante alcune tecniche (ma perdita di informazione per campionamento).

In fase di sintesi, è necessario tener conto del deterioramento delle informazioni causato del ricostruttore 1/(s). È necessario introdurre nell'anello una FIT che vada a bilanciare l'effetto della ricostruzione.

Tale operazione tuttavia introduce ritardo, che può essere rappresentato con l’approssimazione di PADE:

e^-Ts = ^b(s)/_a(s) = ^{b₀ + b₁ s}/_{a0 + a1 s} ≈ ^{1 - T_s/₂}/_{1 + ^Ts/2}

dunque H₀(s) ≈ ^{1 - T_s/₂}/_{1 + ^Ts/2}

esempio G_p(s) = ¹/_s, dev’essere stabile

È dunque necessario fissare il passo di campionamento tenendo conto:

• PERDITA di INFO → T piccolo
• RITARDO → di diminuire al Trenamento il numero di operazioni del controllore
• Deve comunque essere applicato il teorema di Shannon.

Da solito si sceglie

W_s = 4 ⋅ 10 = 20 W_b

dove T = ^2π⁄_Ws

Se viene assegnato il tempo di salita

(t_R = ^π⁄_w1) o una delle variabili si può operare come segue, poiché

t_r, w_b = 2.5

dato W_s si ricava T

Dato G_p(s) si prende la costante di tempo più grande

(polo più vicino a ω_M) e si prende

G_p(s) = ^N(s)⁄_{(1+ ts) (1+ ts) ...}

T = ^t_M⁄_{2 ⋅ 10}

Potremmo dover scegliere il numero di campioni in uno pseudo periodo

(se il sistema è anello chiuso e del 2°^nd sottordinato)

• M_C = ^P⁄_T = ^2π⁄_wT = ^2π⁄_Θ

Quando bisogna sintetizzare un controllore

vengono assegnate le specifiche e il front end G_p(s). nel primo caso e de forse, e fissato il tempo di campionamento e poi procedere alla sintesi di D_c(s) e "infine discretizzare" D_c(s)

D_c(s) → D_i(z)

METODO di DISCRETIZZAZIONE per DIFFERENZE dell’INDIETRO

Assumiamo di aver sintetizzato D_C(s) e vogliamo trovare D_d(z)

D_c(s) = ^a⁄_{s + a}

^U(s)⁄_E(s) ⇒ sU(s) + aU(s) = aE(s)

a cui è associato l'eq differenziale i’[t] + au[t] = ae(t)

^{∫u’(t)dt +a∫U(t)dt = a∫ e(t) dt}⁄_(k-1)T⁄_(K-1)T⁄_KT⁄_KT

Per calcolare l’uscita devo approssimare gli integrali

u( KT) – U((K-1)T) + aU T(K) = aT e_(k))

OSS

Si osserva un effetto di schiacciamento, ovvero il comportamento in alta frequenza del controllore discretizzato non sono lo stesso del controllore continuo, poiché trasformiamo componenti distorti nel regolatore continuo in componenti a frequenze vicini nel discretto.

Se nel continuo abbiamo una grande larghezza di banda (frequenza in corrispondenza della quale si ha un'attenuizione del modulo di almeno 3dB rispetto al valore in bassa frequenza) potremmo ritrovarlo in bassa frequenza.

La larghezza di banda è associata alla rapidità del sistema, in questo caso il controllore se è un controllore continuo e veloce potrebbe essere lento nel discreto.

Per ovviare a questo problema si ricorre alla trasposizione di Tustin con PRECOMPENSAZIONE FREQUENZIALE, che in una frequenza assegnata garantisce l'equivalenza delle due risposte armoniche.

• PRECOMPENSAZIONE FREQUENZIALE

Per ω_s= u_c, il termine T è veloce a ω_c e ω_s, le due funzioni di risposta armonica hanno stessa ampiezza.

ω_s² = (ω_u²)/2 - stesso segno dei picchi in modulo di fase passata.