Prodotti scalari, proiezioni ortogonali ed endomorfismi - Dimostrazioni teoremi spiegate

Prodotti Scalari

Proposizione (!)

Sia V uno spazio vettoriale metrico con norma || ||.

Allora:

• (i) ||v|| = 0 <=> v = 0
• (ii) ||v|| > 0   ∀ v ≠ 0
• (iii) ||λv|| = |λ| ||v||   ∀ λ ∈ R ∀ v ∈ V ||v+w||² = ||v||² + 2⟨v,w⟩ + ||w||²   ∀ v, w ∈ V
• (iv) Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (l'uguaglianza vale <=> v e w sono lin. dip.) |⟨v,w⟩| ≤ ||v||·||w||   ∀ v, w ∈ V
• (v) Disuguaglianza triangolare |||v|| - ||w||| ≤ ||v+w|| ≤ ||v|| + ||w||
• (vi) ⟨v,w⟩ = ¹/₄ [||v+w||² - ||v-w||²]   ∀ v, w ∈ V

Dimostrazione:

In uno spazio vettoriale metrico la norma || || : V → (R)⁺ è definita da: ||v|| = √_⟨v,v⟩

Quindi:

• (i) Se v = 0, allora ||v|| = √0 = 0, 0 ≤ 0
• (ii) Se v ≠ 0, allora, essendo la norma una funzione

∀v∈V (v≠0)

omogeneità

additività 1^a variabile

additività 2^a variabile

simmetrica

(iv)

Se v=0 (oppure ω=0) allora la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è banalmente verificata!

Supponiamo, quindi, che v, w ≠ 0. Siccome, da ipotesi della proposizione, siamo in uno spazio vettoriale metrico, per definizione di quest'ultimo, sappiamo che ⟨⋅,⋅⟩ è definito positivo (ovvero <v,v> ≥ 0 ∀v ≠ 0). Quindi si ha ∀a, b ∈ ℝ:

per il punto (iii) e ipotesis

In particolare, prendendo a=‖w‖² e b=<v,ω>≤0, otteniamo

Proposizione

("Combinazioni lineari" per basi ortogonali e ortonormali)

Sia \(\{v_1, \ldots, v_n\}\) una base ortogonale di uno spazio vettoriale metrico \(V\).

Allora \(\forall v \in V\)

\(v = \frac{\langle v, v_1 \rangle}{\langle v_1, v_1 \rangle} v_1 + \ldots + \frac{\langle v, v_n \rangle}{\langle v_n, v_n \rangle} v_n\)

In particolare, se \(\{v_1, \ldots, v_n\}\) è una base ortonormale si ha

\(\forall v \in V\)

\(v = \langle v, v_1 \rangle v_1 + \ldots + \langle v, v_n \rangle v_n\)

Dimostrazione:

Siccome \(\{v_1, \ldots, v_n\}\) è una base, allora

\(v = \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n\)

Moltiplicando tutto scalarmente per \(v_j\), otteniamo

\(\langle v, v_j \rangle = \langle \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n, v_j \rangle\)

che grazie all'ortogonalità della base diventa

\(\langle v, v_j \rangle = \alpha_j \langle v_j, v_j \rangle\)

Quindi :

\(\alpha_j = \frac{\langle v, v_j \rangle}{\langle v_j, v_j \rangle}\) \(\forall j = 1, \ldots, n\)

\(\rightarrow\) Coefficienti di Fourier

Di conseguenza,

\(v = \frac{\langle v, v_1 \rangle}{\langle v_1, v_1 \rangle} v_1 + \ldots + \frac{\langle v, v_n \rangle}{\langle v_n, v_n \rangle} v_n\)

(ii) ⇒ (iii)

Sapendo che {v₁, ..., v_n} è una base ortonormale si ha che:

• v = <v, v₁>v₁ + ... + <v, v_n>v_n ∀v∈V
• ||v||² = |<v, v₁>|² + ... + |<v, v_n>|² ∀v∈V

Allora, abbiamo che

||T(v)||² = <T(v), T(v)> ||T(v)||² = <T(∑_i=1ⁿ <v, v_i>v_i), T(∑_j=1ⁿ <v, v_j>v_j)> ||T(v)||² = ∑_i=1ⁿ <v, v_i><T(v_i), ∑_j=1ⁿ <v, v_j>T(v_j)> ||T(v)||² = ∑_i=1ⁿ ∑_j=1ⁿ <v, v_i><v, v_j><T(v_i), T(v_j)>

Per le proprietà delle sommatorie: ∑_i=1ⁿ b_j δ_ij= b_i ||T(v)||² = ∑_i=1ⁿ |<v, v_i>|² = ||v||²

In particolare, T(v) = 0 ⇔ ||v|| = ||T(v)|| = 0 ⇔ v = 0 ⇔ Ker T = {0} ⇔ T è invertibile

(iii) ⇒ (i)

Ricordando che <v, w> = -¹/₄[||v+w||² - ||v-w||²], troviamo che

<T(v), T(w)> = -¹/ ₄ [||T(v) + T(w)||² - ||T(v) - T(w)||²] = -¹/₄ [||T(v+w)||² - ||T(v-w)||²]

||v||² = -¹/₄ [||v+w||² - ||v-w||²]