Decomposizioni ortogonali e prodotti hermitiani, Algebra Lineare

Decomposizioni ortogonali e prodotti hermitiani

Il sottospazio ortogonale

Consideriamo uno spazio vettoriale reale con il prodotto scalare <·|·>. Definiamo il sottospazio ortogonale.

Definizione: Sia W⊆V, il sottospazio ortogonale di W è W^⊥ = {v∈V: <v|w>=0 ∀w∈W }

Esempio in R³

Anti-definizione: W^⊥ = {v∈V : <v|w>=0 ∃*}αW ∧αW^⊥ = la retta ortogonale. W^⊥ = ∪_α∈W αW = R³

La definizione scritta ci darebbe un intero spazio, ma uno spazio vuoto.

Proprietà

Sia dim(V)<∞, allora V = W⊕W^⊥ ∀W⊆V.

Dimostrazione parziale:

Tesi: W∩W^⊥ = {0}. Supponiamo x∈W∩W^⊥

Decomposizioni ortogonali e prodotti hermitiani

Sottospazio ortogonale

Consideriamo uno spazio vettoriale reale con il prodotto scalare ⟨:|:⟩.

Definizione: Sia W⊆V il sottospazio ortogonale di W è W^⊥ = {v∈V : ⟨v|ω⟩=0 ∀ω∈W}

Esempio in ℝ³

Anti-definizione: W^⊥ = {v∈V:⟨v|ω⟩=}αW ∧ αW^⊥ = la retta ortogonaleW^⊥ = ⋃_∀ω∈W αW = ℝ³

Proprietà

Sia dim(V) < ∞, allora V = ω^⊥⊥∀ω⊆V.

Dimostrazione parziale:

Tesi: W∩W^⊥ = {0}. <x|x>=0 ⇒ x = 0ω₁ ⊥ ω

Proiezioni ortogonali

Dato un proiezioni associato alla decomposizione V = ω ⊕ ω^⊥, Pω^ort: V → V le proiezioni ortogonali dipendono solo da ω.

Esempio

Pω(v)R² = ω ⊕ Z, Z = ωv Z₁ Z-Z₂ v' π_^ort le proiezioni di V^ort ω associato a ω Ott e ω Ott₂ Z.

Calcolo delle proiezione ortogonale

Proposizione: Sia W ⊆ V (di dimensione finita) e sia β = {v₁, ..., v_k} una base ortogonale di W. Allora ∀ v ⊆ V : PW^ort(v) = Σ_{λ = 1}^k &langle;v|v_λ&rangle; v_λ²

Esempi

• W = Span &langle;³⁄₄ &rangle; v = &lbrace;²⁄₃ &rbrace;P_W(v) = <&frac23;,&frac43;> v(³⁄₄)

Legame con presentazione cartesiana e parametrica

Proposizione: Sia \( W = \{ x \in \mathbb{R}^n : Ax = 0 \} \) e sia \( v_1, \ldots, v_k \) l' insieme delle colonne della At. Allora \( W^{\perp} = Span(v_1, v_k) \).

Sia adesso \( W = Span(w_1, \ldots, w_r) \) e sia \( B = (w_1, \ldots, w_t) \). Allora \( V = \{ x \in \mathbb{R}^n : Bx = 0 \} \) (una p. cartesiana di \( W^{\perp} \)).

Prodotti hermitiani

V è uno spazio vettoriale su \( \mathbb{C} \). Non possiamo ripetere la definizione del prodotto scalare perché la terza proprietà chiede che \( \langle U | U \rangle > 0 \).

Definizione: Un'applicazione \(:\langle \cdot | \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{C} \; \text{si chiama un prodotto hermitiano sse}

• È sesquilineare: \(\forall v_1, \, v_2, \, v_3 \in V \, \forall d_1, \, d_2 \in \mathbb{C} \)
• \(\Rightarrow \langle d_1 v_1 + d_2 v_2 | v_3 \rangle = d_1 \langle v_1 | v_3 \rangle + d_2 \langle v_2 | v_3 \rangle \)
• \(\Rightarrow \langle v_3 | d_1 u_1 + d_2 u_2 \rangle = \overline{d_1} \langle v_3 | u_1 \rangle + \overline{d_2} \langle v_3 | u_2 \rangle \)
• È hermitiano: \(\forall u, \, v \in V \)
• \(\langle u | v \rangle = \overline{\langle v | u \rangle} \)
• È definito positivo: \(\forall u \neq 0 \)
• \(\langle u | u \rangle > 0 \)

Osservazione: La terza proprietà ha senso perché \(\langle u | u \rangle = \overline{ \langle u | u \rangle } \Rightarrow \langle u | u \rangle \in \mathbb{R} \).

Esempi

2 è il prodotto hermitiano canonico su \( \mathbb{C}^n \)

\(\langle u | w \rangle = \overline{ w^t } \cdot u = v^t \cdot \overline{ w } \)

Ad esempio in \( \mathbb{C}^2 \):

\(\langle \begin{pmatrix} 1 + i \\ 1 - i \end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 2 + i \\ - i \end{pmatrix} \rangle = (1 + i) \overline{(2 + i)} + (1 - i) \overline{(- i)} = (1 + i) (2 - i) + (1 - i) (- i) \)

= 1 + 3 i - 1 - 1 = 2 i