Decomposizioni ortogonali e prodotti hermitiani, Algebra Lineare

Decomposizioni ortogonali e prodotti hermitiani

Def: Se sottospazio ortogonale:

• Spazio vettoriale reale _(<,>)

Prop: Sia W⊆V, se sottospazio ortogonale di W è W^⊥:

• {v∈V: <v(w)>=0 ∀w∈W}

Esempi:

W^⊥

Se W sono proporzionali, quindi se un v è ortogonale ad un w lo è a tutti i vettori di W, ecco perché “∀w∈W”

Esempio in R³

Anti-def: W^⊥={v∈V: <v(w)>=0 ∀w∈W}

ωₙnω^⊥ = la retta ortogonale

W^⊥ = ∪ ω∈W ω = R³

Prop: Sia dim(V) < ∞, allora V= W⊕W^⊥ ∀ω∈V

Dimostrazione parziale:

Tesi: W∩W^⊥={0}

Supponiamo x∈W∩W^⊥