Prima parte appunti Ingegneria elettrica

COLLEGAMENTO IN SERIE

Due o più elementi sono detti in serie se hanno un nodo in comune e sono percorsi

dalla stessa corrente.

INGEGNERIA ELETTRICA 8

COLLEGAMENTO IN PARALLELO

Due o più elementi sono detti in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi

(stessa tensione ai capi).

COLLEGAMENTO SERIE E PARALLELO

RICORDA! Pur avendo un morsetto in comune, due elementi possono essere né in

serie né in parallelo

INGEGNERIA ELETTRICA 9

INDUTTANZA

La relazione fra la tensione v e la corrente i in una induttanza L è espressa

dall’equazione:

di(t)

= L

v(t) dt

in tale relazione L è costante e si misura in Henry (H).

CAPACITÀ

La relazione fra la tensione v e la corrente i in una capacità C è espressa

dall’equazione:

dv(t)

=

i(t) C dt

in tale relazione C è costante e si misura in Farad(F).

INGEGNERIA ELETTRICA 10

GENERATORE DI TENSIONE IDEALE

Per generatore di tensione ideale si intende un elemento che presenta ai suoi capi una

d.d.p. v indipendente dalla corrente che lo attraversa e quindi dal carico applicato,

ossia:

=

v(t) V

g

il grafico che esplicita l’indipendenza della tensione v dalla resistenza di carico R(curva

di carico) è:

GENERATORE DI CORRENTE IDEALE

Per generatore di corrente ideale si intende un elemento la cui corrente erogata i risulta

indipendente dalla d.d.p. (differenza di potenziale) presente ai suoi capi e quindi dal

carico applicato, ossia:

=

i(t) I

g

il grafico che esplicita l’indipendenza della corrente i dalla resistenza di carico R è

INGEGNERIA ELETTRICA 11

GENERATORI DIPENDENTI

Per generatore dipendente si intende un generatore di tensione o corrente, la cui

grandezza erogata dipende dalla tensione o dalla corrente in un’altra parte del circuito

Le quattro possibilità sono rappresentate in figura, si noti che i parametri μ e h sono

adimensionali, mentre α e g hanno rispettivamente le dimensioni di una resistenza e di

una conduttanza.

INGEGNERIA ELETTRICA 12

DEFINIZIONI

Per rete elettrica si intende un insieme di elementi elettrici interconnessi, ciascuno

dei quali è descritto attraverso la relazione tra la corrente che lo attraversa e la

tensione ai suoi capi.

Il punti di confluenza di almeno tre elementi è detto nodo.

INGEGNERIA ELETTRICA 13

L'insieme di elementi compresi tra due nodi è detto ramo.

Più rami formati da un percorso chiuso costituiscono una maglia.

Le reti elettriche sono studiate attraverso le Leggi di Kirchhoff.

LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI

La somma algebrica delle correnti che confluiscono in un nodo è uguale a zero:

INGEGNERIA ELETTRICA 14

Dove N è il numero di rami che confluiscono nel nodo considerato.

LEGGE DI KIRCHHOFF DELLE TENSIONI

La somma algebrica delle tensioni lungo una maglia è uguale a zero

Dove M è il numero di nodi che comprende la maglia considerata.

INGEGNERIA ELETTRICA 15

PARTITORE DI TENSIONE

La corrente che scorre in ognuna delle due resistenze è:

= =

I I I

1 2

Per la legge di Ohm, la tensione ai capi di ogni resistenza è:

= =

V R I R I

1 1 1 1

= = =

V V R I R I

2 0 2 2 2

Ricordando che Vi = V1 + V2 si ha:

= +

V IR IR

1 2

I V

=

I i

+R

R 1 2

La tensione ai capi del resistore R2 sarà quindi, sempre per la legge di Ohm:

R

= 2

V V

2 i +R

R 1 2

PARTITORE DI CORRENTE

Per la legge di Kirchhoff delle correnti

= +

I I I

1 2

Mentre per la legge delle tensioni

=

R I R I

1 1 2 2

In quanto i due resistori sono collegati in parallelo, quindi presentano la stessa

differenza di potenziale ai loro estremi.

INGEGNERIA ELETTRICA 16

Ricavando I2 dalla prima equazione si ha I2=I-I1. Sostituendo questa espressione nella

seconda si ottiene la formula

R

= 2

I I

1 +R

R 1 2

La tensione ai capi del resistore R2 sarà quindi, sempre per la legge di Ohm:

R

= 1

I I

2 +R

R 1 2

GENERATORI DIPENDENTI

Utilizzando le leggi di Kirchhoff e le equazioni caratteristiche di ciascun elemento si

può risolvere qualsiasi rete elettrica.

Se la rete è lineare è però possibile utilizzare metodi particolari che permettono di

semplificarne lo studio.

I due principali metodi per studiare una rete elettrica sono:

-Principio di sovrapposizione

-Teoremi di Thévenin e di Norton

PRINCIPIO SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

Consiste nel determinare gli effetti di ciascun generatore indipendente presente nella

rete, annullando tutti gli altri generatori indipendenti.

Un generatore indipendente si annulla sostituendolo con un cortocircuito, se è un

generatore di tensione, o sostituendolo con un circuito aperto, se è un generatore di

corrente.

INGEGNERIA ELETTRICA 17

La risposta totale, ad esempio la corrente in un ramo, si stabilisce attraverso la

somma delle correnti in quel ramo determinate da ciascun generatore preso

singolarmente.

TEOREMA DI THEVENIN E NORTON

Il teorema di Thévenin afferma che una qualsiasi rete lineare compresa tra due

morsetti risulta equivalente ad un generatore reale di tensione.

La forza elettromotrice VE rappresenta la d.d.p. che si misura tra i due morsetti

della rete, quando questi sono aperti.

Il teorema di Norton, duale del precedente, afferma che una qualsiasi rete lineare

compresa tra due morsetti risulta equivalente ad un generatore reale di corrente

IE è la corrente che attraversa i due morsetti quando questi sono collegati tra loro

(quando sono cortocircuitati)

La resistenza si valuta applicando ai due morsetti una d.d.p. ve trovando la

R

E

corrente erogata i, dopo aver annullato tutti i generatori indipendenti, risulta:

= v

R

E i

VALIDITÀ MODELLO A PARAMETRI CONCENTRATI

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Stiamo ipotizzando che i segnali elettrici si propaghino alla velocità della luce. Un

esempio di segnale elettrico è la corrente

L —> corrisponde alla dimensione lineare

lambda —> corrisponde alla lunghezza d’onda del segnale elettrico

c —> corrisponde alla velocità della luce

viene ipotizzato che la corrente si muova alla velocità della luce, ma da cos’è data tale

velocità?

Dagli elettroni che si muovono con la velocità della luce?

Qual’è la particella responsabile per la trasmissione di questo segnale?

INGEGNERIA ELETTRICA 19

Tale immagine rappresenta un conduttore con un generatore di tensione (+ e -), le

palline che vediamo sono gli elettroni carichi negativamente che si spostano verso il

polo positivo indicato dalla freccia.

I portatori di carica si muovono con velocità (in m/s), lo spazio Δ (in metri) che essi

percorrono nel tempo è:

Δ = Δ

v

d ,

Se chiamiamo il numero di elettroni liberi che viaggiano attratti dalla forza elettrica

(non per niente si chiama elettro motrice) verso il polo positivo, il numero di cariche nel

volume, Δ per la sezione (in m2), sarà:

= Δ

v

d

N —> rappresentano il numero di elettroni liberi

Se definiamo l'intervallo di tempo Δ, in un intervallo di distanza Δ, la quantità di carica

Δ è uguale:

ΔQ = = Δtq

Nq nSv

d

(tale formula mi serve per trovare la corrente)

.

Dove è la quantità di carica di un elettrone = 1.6 · 10^−19

rappresenta la velocità di deriva ovvero la velocità con cui si muovono gli elettroni.

v

d

Se dividiamo ambedue membri per l'intervallo Δ, durante il quale avviene il flusso di

cariche si ottiene la corrente media nel conduttore che come abbiamo detto è la velocità

per la densità di cariche nel conduttore:

ΔQ =

=

I nSv q

d

Δt I

=

La velocità di deriva risulta:

v v

d d nSq

Dalla tavola periodica degli elementi conosciamo la massa molare (peso atomico) del

/. /3

rame = 63.5 Sappiamo che la sua densità = 8.95 quindi possiamo

calcolare il volume occupato da una mole:

3

= = 7, 09cm /mol

M

V ρ

Una mole di qualsiasi sostanza dell’universo contiene un numero di Avogadro (6.02

·10^23) di atomi.

Sapendo che nel rame il numero delle cariche libere è una per ogni atomo, il numero di

INGEGNERIA ELETTRICA 20

,

cariche libere nel rame per ogni centimetro cubo di rame sarà:

23

6,02⋅10 22 3

=

= 8, 49 ⋅ 10

n elettroni/cm

V 2 −6 2

= 1mm = 1 ⋅ 10

Se supponiamo una sezione di possiamo calcolare la

S m

,

velocità degli elettroni di una corrente elettrica di = 1 fissata una densità di cariche

libere. 1 −5

= = = 7, 36 ⋅ 10

I

v m/s

d 28 −6 −19

8,49⋅10 ⋅10 ⋅1,6⋅10

nSq

/h

= 26 —> non corrisponde alla velocità della luce

Quindi non sono gli elettroni i responsabili della velocità della corrente.

QUINDI COME FA LA CORRENTE ELETTRICA A PROPAGARSI ALLA VELOCITÀ

DELLA LUCE?

E’ il Vettore di Poynting S (rappresenta la direzione dell’onda elettromagnetica) che si

propaga alla velocità della luce.

E’ definito come il prodotto vettoriale tra il campo elettrico E ed il campo magnetico H

nella materia:

(effetto prodotto da grandezze elettriche o magnetiche)

RELAZIONE TRA CORRENTE E CARICA

ΔQ

=

I ΔT

(assumendo che la carica si opponga al moto degli elettroni)

RELAZIONE TRA CORRENTE E CARICA

(corrente alternata)

dq

=

i(t) dt

INGEGNERIA ELETTRICA 21

RELAZIONE TRA CORRENTE E TENSIONE

(legge di ohm in un resistore)

=

v(t) Ri(t)

RELAZIONE TRA TENSIONE E FLUSSO MAGNETICO

V —> tensione

∆φ

=

V ∆T

legge che sta alla base dei motori elettrici:

rotore: dφ

=

v(t) dt

dφ= derivata del flusso magnetico

dt =derivata del tempo

RELAZIONE TRA TENSIONE E CARICA ELETTRICA

= ⋅

Q C V

Q= carica accumulata

C=capacità del sistema

V= tensione

RELAZIONE TRA CORRENTE E FLUSSO MAGNETICO

= ⋅

φ L I ⋅

flusso= induttanza corrente

SIMMETRIA DELLE RELAZIONI

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RELAZIONE TRA TENSIONE E CORRENTE NEL RESIST