Parte prima Idraulica I

Idraulica

All'interno delle particelle, le proprietà fisiche devono essere conosciute, cosicché si possa immaginare soltanto la materia divisa in tante particelle di dover avere una grandezza adeguata allo studio che devo effettuare.

Sistema di riferimento:

FORZA Kgf LUNGHEZZA m TEMPO s

1 Kgf è una particella di M = 1 Kg m sottoposta alla forza gravitazionale

1 Kgf = 9,81 ^Kg/_m²

Nota: Per trovare una grandezza nel S.I. forza dividere per 9,81

Stati della materia:

• Solido: presentano forme e dimensioni proprie che possono essere
  • Rigidi: (minerali e perfettamente rigidi) Non σ _deformano
  • Elastici: ritornano alla loro forma originale
  • Plastici: Non σ ........
• Liquidi: hanno un volume proprio ma non una forma
  • I liquidi "fermi" non oppongono resistenza alle forze "lente" i liquidi quindi oppongono una resistenza direttamente proporzionale alla forza esercitata.
  • I liquidi hanno un comportamento elastico.
• Gassoso: Non oppongono resistenza alle deformazioni lente, ma non hanno né forma né dimensioni.

L'insieme dei liquidi e dei gas forma i fluidi. Si definisce un corpo una porzione di esso.

Si definisce DENSITÀ (p) la quantità di massa contenuta in un volume unitario di 1 m³ data dalla formula:

q = ^m/_w di unità di misura della densità e kg/m nel SI. Nel sistema tecnico unico.

Le più importanti sono:

• Acqua = 1000 kg/m³ (SI) 1,02 kg/C²/m⁴ (ST)
• Ghiaccio = 43560 kg/m³ (SI) 1300 kg/C²/m⁴ (ST)
• Cera = 4,3 kg/m³ (SI) 0,13 kg/C²/m⁴ (ST)

La densità varia al variare del volume in particola nei liquidi. Se aumenta la pressione il volume varia di poco quindi approssimativamente la densità non varia. Nei gas invece la variazione di T e P cambia notevolmente la densità.

Indichiamo il peso specifico come: g = ^g/_w

Essendo G = Mg ⇒ g = ^M/_w g

Quindi g = q e si esprime in kg/m³.

Le stesse considerazioni fatte per la densità valgono per il peso specifico.

• Y_acqua = 9,810 N/m³
• Y_mercurio = 1382,26 N/m³

Definiamo la tensione superficiale

Consideriamo l’acqua che è una molecola bipolare. Il legame è di tipo elettrico, tutti questi legami formano una rete virtuale che ad esempio separa una goccia dall’aria circostante.

Supponiamo di avere una superficie continua e di togliere una parte di superficie: nel caso dell’acqua togliamo delle molecole quindi rompiamo i legami che formavano la rete. Se sostituiamo le molecole tolte con altri fuori uguali alla forza del legame eliminiamo nel tenere unita la superficie.

Se indichiamo un punto generico P nel foglio e consideriamo un intorno _∆S su questo intorno agiscono delle forze la cui risultante sarà _{∆T. Calcoliamo allora il rapporto incrementale:}

_{∆T∆S; poniamo aumentando la grandezza dell'intorno quindi}

^lim_{∆S→0 ∆T∆S = σ dove σ è la tensione superficiale}

DEF:

Si definisce tensione superficiale la forza di attrazione delle molecole che tendono a separare un liquido

σ = _{FL (^Nm)}

SI N/m

SI kg/(l) m

Introduciamo la viscosità apparente definita come:

FLUIDI DILATANTI:

I fluidi con comportamento dipendente dal tempo si dividono in:

TI XOTROPICI:

Mantenendo _{γ = cost} la forza di attrito diminuisce all'aumentare del tempo.

Quando lo sforzo raggiunge τ₀ si comporta come un liquido newtoniano.

REOPETICI:

Hanno un comportamento opposto ai tixotropici.

Aumentando la deformazione mostrano una resistenza maggiore.

Infine ci sono i FLUIDO ELASTO-VISCOSO.

Se studiamo l'equilibrio di rotazione rispetto all’asse di un parallelepipedo attorno all'asse z, ci accorgiamo che le componenti tangenziali seguono i seguenti criteri:

con dx, dy, dz valgono le relazioni:

τ z = τ xy - τ yx

τ y = τ xz - τ zx

τ x = τ yz - τ zy

Alla luce di queste nuove relazioni il sistema diventa:

{

ϕ x = G x cos n̂ x + τ z cos n̂ y + τ y cos n̂ z

ϕ y = τ z cos n̂ x + G y cos n̂ y + τ x cos n̂ z

ϕ z = τ y cos n̂ x + τ x cos n̂ y + G z cos n̂ z

Che ha d.o.f. Riduciamo il sistema in forma matriciale:

[ϕ x ϕ y ϕ z] = [G x τ z τ y τ z G y τ x τ y τ x G z] [cos n̂ x cos n̂ y cos n̂ z]

Le 1^ matrice prende il nome di TENSORE DEGLI SFORZI T

La 2^ matrice equivale alla NORMALE n̂

Quindi la relazione si riduce a:

ϕ n = T ⋅ n̂

Nota: Ci sono sempre 3 piani mutuamente ortogonali in cui lo sforzo è puramente normale; per tutti gli altri piani lo sforzo è sempre disgiunto, risolto.

Nei liquidi l’equazione da usare è:

$$PF - p \\frac{dV}{dt} = \\frac{\\partial \\Phi}{\\partial x} + \\frac{\\partial \\Phi}{\\partial y} + \\frac{\\partial \\Phi}{\\partial z}$$

Poiché il liquido è in quiete esterna V = 0 e T = 0 quindi:

• $\\Phi_{x} = \\frac{\\partial \\Phi}{\\partial x}$
• $\\Phi_{y} = \\frac{\\partial \\Phi}{\\partial y}$
• $\\Phi_{z} = \\frac{\\partial \\Phi}{\\partial z}$

$PF = \\left( \\frac{\\partial P}{\\partial x} \\hat{i} + \\frac{\\partial P}{\\partial y} \\hat{j} + \\frac{\\partial P}{\\partial z} \\hat{k} \\right)$

La quantità dentro parentesi prende il nome di gradiente.

Quindi l’equazione di equilibrio in forma indefinita diventa:

$$PF = grad P$$ (il gradiente indica la variazione di P)

Il gradiente, essendo un vettore, ha sua direzione e la direzione in cui P ha la massima variazione, nella sua ⟨...⟩ unica la variabile non cambia (cioè non c'è variazione) da pressione cambia solo se mu questo lungo la direzione di F di pressione.

⟨...⟩ verso il basso, lungo la retta ⟨...⟩ diminuisce il volume, quindi aumenta

le diminui.

Le superfici a uguale elevato sono dette isocore

Le superfici a uguale pressione sono dette isobare o equipotenziale

Il principio dei vasi comunicanti in realtà è un'applicazione della legge di Stevin: infatti ogni recipiente in comunicazione avrà un h uguale agli altri vasi, il carico da considerarsi è uguale per tutti.

Consideriamo un recipiente:

Essendo il corpo in equilibrio significa che il liquido eserciterà nel pistone una forza uguale e opposta a P data, ma delle pressioni esercitano le pressioni verticali π dovute:

Π = P⋅A   ⟹   P = Π/A = P'/A

Il piano dei carichi idrostatici si trova:

h = P/ρg = π/ΔAδg = P'/ρg

P + ΔP₂   PC₃

P + ΔP₂   PC₂

ρ'      PC₁

Applichiamo STEINER per un asse passante del baricentro, otteniamo:

I = I_c + Mη_G²

η_C = I_C + Mη_G²

Otteniamo che η_C - η_G = I_G

ECCENTRICITA'

Se calcoliamo del momento rispetto a η_G risulta:

S = ∫_A η_G ξ dA = I_η

Il punto di coordinate C = (I_G/M, I_ξ/M) è detto CENTRO

DI SPINTA

NOTE:

• La posizione di "C" non dipende da ξ
• η si annulla se l'asse x è un asse di simmetria per A

ECCENTRICITA':

S = ∫_A P_nm ξ dA = ∫_A I_η

Sη = I_ηη = I_ηM