Preparazione per esame orale Analisi matematica 1

MAGGIORANTE

preso insieme A⊆R (≠∅) → k è maggiorante se k≥a con a∈A

MINORANTE

preso insieme A⊆R (≠∅) → k è minorante se k≤a con a∈A

INSIEME SUPERIORMENTE LIMITATO

un insieme è superiormente limitato se possiede almeno un maggiorante

INSIEME INFERIORMENTE LIMITATO

un insieme è inferiormente limitato se possiede almeno un minorante

MASSIMO - MINIMO

max(A) - min(A)

con A⊆R limitato k è massimo di A se k è maggiorante

k∈A

k è minimo di A se k è minorante

k∈A

ESISTENZA ESTREMO SUPERIORE

sup(A)

se A è superiormente limitato → ∃sup(A) è il minimo dei maggioranti

(supA := min{k maggiorante di A; k∈R})

se A non è superiormente limitato → sup(A) = +∞

ESISTENZA ESTREMO INFERIORE

inf(A)

se A è inferiormente limitato → ∃inf(A) è il massimo dei minoranti

(infA := max{k minorante di A; k∈R})

se A non è inferiormente limitato → inf(A) = -∞

CARATTERIZZAZIONE sup(A) = inf(A)

ℓ = sup(A) ⇔ ∀x∈A ℓ ≥ x

∀ε>0 ℓ-ε < x (∃x∈A)

ℓ = inf(A) ⇔ ∀x∈A ℓ ≤ x

∀ε>0 ℓ+ε > x (∃x∈A)

INDUZIONE

teorema con P(n), famiglia di predicati con n∈N n≥n₀.

• PASSO INIZIALE ammettendo P(n₀) vero.
• PASSO INDUTTIVO da veridicità P(n) deriva veridicità P(n+1)

⊢ P(n) è vero

FUNZIONE

f : X → Y

presi X,Y (≠∅) si dice funzione da X in Y la relazione che associa ad ogni x∈X uno e un solo elemento y∈Y

• x=dominio
• y=codominio

VALORE ASSOLUTO

|x|

con x∈R si dice valore assoluto di x l'elemento così definito

• x con x≥0
• -x con x (** con e pfissato)
  1. se E Inf R : [0