Indici di posizione e proprietà

LA MEDIA TUTTAVIA HA TUTTA UNA SERIE DI PROPRIETÀ :

Proprietà della media: rappresentatività a.

●​ Se i dati sono tutti uguali ad un valore a allora, anche la media è uguale ad

●​ Infatti, se

●​ Questa proprietà della media viene chiamata, a volte, rappresentatività.

●​ La quasi totalità degli indici di posizione possiede questa proprietà.

●​ Dico quasi perché ci sono alcuni indici di posizione che non soddisfano questa proprietà

Proprietà della media: internalità

●​ SE SI VIOLA QUESTA PROPRIETÀ SI RISCHIA LA BOCCIATURA ALL’ESAME

●​ NON RENDERSI CONTO DI STAR VIOLANDO QUESTA PROPRIETÀ PER UN ERRORE DI CALCOLO

È MOLTO GRAVE

●​ La media è sempre compresa tra il più piccolo e il più grande dei valori osservati.

-​ quindi se ho 100 dati la media aritmetica sarà compresa tra il valore più

piccolo e quello più grande dei dati

●​ In simboli, si ha che:

PRIMA PARTE DELLA DIMOSTRAZIONE:

●​ infatti per quanto riguarda la prima disuguaglianza, si ha che:

-​ x lo possiamo scrivere come la somma di n volte x diviso la numerosità campionaria

(1) (1)

-​ questa rappresentazione di x mi serve perché ognuno di questo x necessariamente sarà

(1) (1)

più piccolo di un numero qualsiasi degli altri valori, infatti per definizione è il minimo e

quindi il più piccolo

-​ quindi x sarà minore uguale del primo dato, del secondo dato e via dicendo

(1)

-​ x rappresentato in questo modo è minore della somma dei dati diviso n ma la somma dei

(1)

dati diviso n è per definizione la media aritmetica

●​ Questa proprietà della media viene chiamata, a volte, internalità

●​ Anche in questo caso, la maggior parte degli indici di posizione possiede questa proprietà.

●​ Se otteniamo che la media aritmetica è fuori da questo range dobbiamo renderci conto che

c’è qualche problema matematico

Proprietà della media: associatività

●​ La media rimane invariata se un sotto-insieme di dati viene rimpiazzato con la loro media

parziale.

-​ quindi ho tanti dati e li divido in due gruppi, per semplicità diciamo la prima metà e la

seconda metà

-​ prendo la prima metà e la butto via e la sostituisco con la media parziale di quel gruppo

lì

-​ sostituisco ciascun singolo dato del primo gruppo con la media dei dati contenuti nel

primo gruppo che in questo esempio qua viene indicata con m (m non è la media di tutti

dati ma solo del primo gruppo)

●​ In simboli, si ha che la media dei dati

●​ ⇒

x , . . . , x è il primo gruppo

1 k

●​ ⇒

x , . . . , x è il secondo gruppo

k+1 n

●​ prendo tutto questo primo gruppo e lo butto via e lo sostituisco con m dove m è la media del

sottoinsieme x , . . . , x

1 k

1

●​ ∑

m=

=1

●​ Infatti, basta notare che

●​ Questa proprietà della media viene chiamata, a volte, associatività.

●​ questa è una delle proprietà peculiari della media quindi non tutti gli altri indici di posizione

l’hanno

Proprietà della media: trasformazione lineare

●​ in questo caso abbiamo dati che sono esprimibili in scale diverse, (immaginiamoci i celsius e i

fahrenheit)

●​ abbiamo un unità di misura e l’altra unità di misura è esprimibile con una combinazione

lineare dei dati originali

●​ La media di una trasformazione lineare dei dati coincide con la trasformazione lineare della

media

●​ COSA SI INTENDE PER COMBINAZIONE LINEARE?

-​ abbiamo dei dati y , . . . , y che sono esprimibili in questo modo:

1 n

-​ quindi prendo i dati originali e li moltiplico per una generica costante b e aggiungo una

generica costante a

-​ e questi saranno i nuovi dati

-​ il caso dei celsius e i fahrenheit rientrano in questo caso, i fahrenheit infatti sono

esprimibili con una combinazione lineare

-​ la domanda a questo punto è:

MA LA MEDIA DEI DATI IN SCALA ORIGINARIA IN CHE MODO È COLLEGATA ALLA MEDIA DEI

NUOVI DATI ?

-​ L’opzione 1 è che non è collegata in nessun modo, quindi mi ricalcolo tutti i dati trasformati

e rifaccio la media dei dati trasformati

-​ oppure opzione 2, vale una proprietà che è quella che vediamo qui

●​ questa uguaglianza vuol dire che, anche dal p.v pratico, che se io ho dei dati originali di cui

ho calcolato la media aritmetica, e ci viene chiesto la media dei dati trasformati, non è

necessario rifare tutti i conti ma semplicemente prendiamo la media che abbiamo già

calcolato e la modifichiamo

●​ a e b possono valere 0 ? sì

●​ La relazione precedente permette di calcolare agevolmente la media delle y senza dover

i

calcolare le y stesse.

i

●​ La dimostrazione è anche in questo caso immediata

Proprietà della media: baricentro

●​ La somma, e dunque la media, delle differenze dei dati dalla loro media, detti scarti, è sempre

pari a 0.

●​ In altri termini,

●​ Si tratta di una conseguenza delle proprietà precedente, con a = − , b = 1. Oppure, basta notare

che VEDI PROPRIETA 5 DELLE SOMMATORIE SECONDO CUI

∑ (α ± β) = α ∑ ± β

=1 =1

●​ Questo risultato mostra che la media costituisce il baricentro della distribuzione di frequenza.

●​ Infatti, alcuni scarti (x − ) saranno positivi, altri negativi, ed alcuni (a volte) nulli. Tali scarti si

i

compensano esattamente.

Proprietà della media: scarti quadratici

(Non molto usata)

Lemma A

Sia a R un numero qualsiasi, allora…

∈

Infatti: Risolvo il quadrato; A questo punto notiamo

che abbiamo la somma di vari termini e

quindi possiamo andare ad usare le

proprietà delle sommatorie,in particolare ci

interessa quella dove possiamo spezzare una

sommatoria nei suoi componenti quando ci

sono delle somme

2 2 =

∑ ( − ) + ∑ ( − ) + ∑ [2( − )( − )]

=1 =1 =1

2 2

∑ ( − ) + ( − ) + 2( − ) ∑ ( − )

=1 =1

2 e 2( − ) sono delle costanti

( − )

é uguale a 0 per proprietà del baricentro

∑ ( − )

=1

2 2 per la proprietà della sommatoria di una costante che non dipende da i

- =

∑ ( − ) ( − )

=1

-Non vengono messe le [ ] per indicare che questi termini sono esclusi dalla sommatoria precedente

Proprietà della media: scarti quadratici

(Non molto usata)

●​ Il Lemma appena descritto ha una importante conseguenza.

●​ La somma degli scarti quadratici da una costante è minima se e solo se la costante è posta

uguale alla media.

●​ In simboli, si ha che

●​ Infatti:

poiché il secondo termine che compare nel Lemma A è strettamente positivo.

2

Esercizio. Si dimostri questo risultato studiando la funzione , ovvero considerando

ℓ() = ∑ ( − )

=1

derivata prima e seconda di .

ℓ()

Non proprietà della media

La media della trasformazione non lineare dei dati è diversa dalla trasformazione della media

Funzioni concave e convesse

possiamo dire qualcosa in più se la funzione oltre a non essere lineare presenta una proprietà

aggiuntiva : cioè che deve essere o concava o convessa

●​ convessa

La precedente non-proprietà può essere resa più precisa quando f (x) è una funzione

concava.

oppure

●​ Funzione convessa. Una funzione f (x) : (a, b) → R (una funzione definita nell’insieme a, b e che

assume valori reali) si dice convessa se vale che

●​ abbiamo due numeri qualsiasi x,y∊ (a,b) e poi abbiamo un valore lambda λ che di fatto gli unisce

●​ quando abbiamo questa formulazione qui è il modo per indicare un segmento, cioè è un

qualunque punto che appartenga a quel segmento lì, cioè è un qualunque punto che appartenga

al segmento che unisce x ed y

●​ Quindi la funzione calcolata in qualunque segmento che unisce x ed y è minore o uguale del

segmento che unisce i valori risultanti

●​ λ è semplicemente un numero compreso tra 0 e 1 (il prof ha detto che potremmo chiamarlo come

vogliamo)

●​ concava se la precedente disuguaglianza ha verso invertito. (VEDI DISEGNO ↓ )

Viceversa, si dice