Parte 5 appunti sistemi fiscali

Un individuo, se non si ammala (probabilità = 2/3), può produrre un reddito completo (perché è

sano e può lavorare) pari a 1000. Se si ammala (probabilità = 1/3) può produrre un reddito di 250.

 il valore atteso del reddito (o reddito atteso) è dato dalla lotteria tra i due possibili valori

che il reddito può assumere. Quindi E(Y) = (0,75 X 1000) x (0,25 X 250) = 750

L’utilità del valore atteso quindi è l’utilità di 750.

 il valore atteso dell’utilità dalla lotteria (o utilità attesa) è invece dato dal valore atteso

dell’utilità nei due diversi casi (malattia e non malattia), quindi è dato dall’utilità di 1000

moltiplicata per 2/3 + utilità di 250 moltiplicata per 1/3.

L’individuo preferisce con certezza un valore intermedio di reddito pari al valore atteso del reddito

(750) o una lotteria tra i due possibili valori incerti (1000 e 250)?

 l’individuo avverso al rischio ha utilità del valore atteso superiore al valore atteso dell’utilità

→ lavoratore dipendente → U(750) > E(U(y))

La sua curva di utilità è concava: quando un individuo è avverso al rischio, la sua utilità del

valore atteso è sempre superiore all’utilità attesa (curva U(y) superiore a curva E(U(y)) )

 l’individuo indifferente (neutrale) al rischio ha utilità del valore atteso uguale al valore

atteso dell’utilità → imprenditore → U(750) = E(U(y))

U(y) e E(U(y)) sono sovrapposte

 l’individuo amante del rischio ha utilità del valore atteso inferiore al valore atteso dell’utilità

→ giocatore d’azzardo → U(750) < E(U(y))

U(y) è convessa e sotto a E(U(y))

Il certo equivalente è il livello di reddito che goduto con certezza da la stessa utilità della lotteria:

se l’individuo è avverso al rischio, il CE è posizionato a sinistra rispetto al valore atteso del reddito.

L’individuo avverso al rischio quindi preferisce un valore certo ad una lotteria. Ma questo valore

certo chi glielo può dare? Un imprenditore che è indifferente rispetto ad assumersi il rischio oppure

no, quindi un assicuratore. Quando c’è una situazione di incertezza, e quando ci sono individui

avversi al rischio, c’è sempre spazio per un mercato assicurativo. L’individuo avverso al rischio è

disposto a rinunciare a parte del suo reddito per ridurre l’incertezza sul futuro (in questo caso

dovuta alla possibile malattia). Il contratto di assicurazione è stipulato tra individui avversi al

rischio e un’impresa che invece è neutrale rispetto al rischio.

È possibile risolvere il problema dell’avversione al rischio anche senza un mercato assicurativo,

attraverso al pooling dei rischi di tutti gli individui avversi al rischio: essi si mettono insieme tra di

loro e decidono che se si realizza il rischio per qualcuno di loro, si redistribuiscono i soldi tra di loro

a favore di chi ha subito il rischio (meccanismo corporativo). Problema: quando le persone sono

tante il coordinamento diventa difficile. È più facile se c’è un coordinatore, ovvero l’assicuratore.

Equilibrio sul mercato assicurativo

Un equilibrio sul mercato assicurativo è possibile ed è un equilibrio efficiente, ma in alcuni casi il

mercato fallisce. Per determinare l’equilibrio bisogna prima determinare la domanda di

assicurazione da parte degli individui avversi al rischio e poi l’offerta di assicurazione da parte

dell’imprenditore neutrale rispetto al rischio.

La domanda di assicurazione

 copertura completa → il danno subito corrisponde al risarcimento pattuito

 copertura parziale →il danno subito è superiore del risarcimento pattuito

Un individuo avverso al rischio cerca una copertura completa del danno; il contratto di

assicurazione efficiente è un contratto a copertura completa.

 premio → è l’ammontare pagato all’assicurazione per ogni unità di risarcimento (premio

totale = pXq). Il premio è definito attuarialmente equo quando il premio individuale pagato

è uguale alla probabilità π che il danno d si realizzi.

Se ho copertura completa e premio equo, le entrate sono uguali alle uscite → pXq=πXd

Il modello

 il reddito y è esogeno

 se non si realizza l’evento negativo, allora l’individuo percepisce un reddito pari a ya

 se si realizza l’evento negativo, l’individuo percepisce un reddito yb

Mettiamo il tutto in un grafico:

- sull’asse orizzontale abbiamo ya (reddito nel caso di non realizzazione dell’evento negativo)

- sull’asse verticale abbiamo yb (reddito se si realizza l’evento negativo)

- la bisettrice di questo quadrante è la linea della certezza; qui ya=yb

- il punto E è il punto in cui l’individuo non si assicura, quindi ha coordinate y (su ya) e y-d (su yb)

- il punto E’ è un punto generico intermedio, in cui c’è qualche livello di assicurazione, ed ha

coordinate y-pq (su ya) e y-pq-d+p (su yb)

- il punto di assicurazione (q=d) è quello in cui i redditi sono identici; questo è il punto preferito

dell’individuo avverso al rischio.

Il vincolo di bilancio del consumatore passa per E ed E’; la sua pendenza è data dalla differenza tra

le coordinate verticali sulla differenza tra le coordinate orizzontali.

La pendenza del vincolo di bilancio del consumatore è pari a – (1-p) / p

quindi dipende solo dal premio pagato

Su questa retta di bilancio devo appoggiare una curva di indifferenza; il livello di copertura ottimo

si determina massimizzando l’utilità attesa dell’individuo, dato il vincolo di bilancio. L’individuo

massimizza la sua utilità attesa (o valore atteso dell’utilità) scegliendo il suo livello di copertura.

Bisogna massimizzare l’utilità attesa

e per farlo bisogna calcolare la condizione di primo ordine e quindi la derivata prima della funzione

rispetto alla variabile che sto massimizzando. Per garantire la condizione di massimizzazione della

funzione, la poniamo uguale a zero →

Svolgendo una serie di calcoli otteniamo il rapporto delle utilità marginali uguali a 1; ma le utilità

marginali sono uguali quando il livello di reddito è identico, ed esso è identico sulla linea della

certezza. Quindi con premio attuarialmente equo, l’individuo massimizza la sua utilità scegliendo

un contratto a copertura completa.

L’offerta di assicurazione

L’impresa:

 riscuote con certezza premi totali pari a numero di individui n X premi totali (pXq)

 risarcisce in termini attesi n X π X d

 quando il premio è equo p = π e n è sufficientemente grande (per la legge dei grandi numeri,

se un danno si realizza con probabilità 1/3, 1/3 delle persone subirà il danno), l’impresa è in

equilibrio. Gli individui possono assicurarsi con copertura completa (q = d). Quindi con

premio attuarialmente equo, il mercato assicurativo trova un equilibrio, esso è efficiente e

prevede copertura completa.

Quindi se:

 non esistono costi amministrativi (i premi possono essere equi se pagano solo la probabilità

che si realizzi il danno e non pagano anche la copertura di costi amministrativi)

 gli eventi dannosi sono indipendenti tra di loro

 c’è perfetta informazione sulla probabilità degli eventi

 la popolazione è omogenea

esiste un contratto pareto efficiente con copertura completa per tutti gli individui senza necessità di

intervento pubblico.

Spesso però il mercato fallisce perché:

- i rischi non sono indipendenti (epidemie)

- gli individui hanno rischi diversi (giovani, anziani, fumatori ecc)

- le imprese non conoscono i loro clienti → Adverse Selection e Moral Hazard

1. Adverse Selection

Abbiamo due soggetti, il principale P e l’agente A. P ignora alcune caratteristiche di A, preesistenti

alla stipula del contratto che sarebbero rilevanti per definire le condizioni del contratto (se le

condizioni fossero note, il contratto sarebbe stipulato in maniera diversa).

Questo è il tipico caso dell’assicurazione sanitaria.

Immaginiamo una situazione in cui esistono individui di due tipi: α, che si ammalano più facilmente

con probabilità pari a 0.4; β, che si ammalano più difficilmente con probabilità pari a 0.1.

L’assicuratore non può distinguere gli individui nei due gruppi.

→ Se l’impresa assicuratrice fosse in grado di distinguerli, offrirebbe due contratti su misura,

entrambi con copertura completa e quindi efficienti, con l’individuo β che paga un premio inferiore

e l’individuo α che paga un premio superiore.

→ Se l’impresa assicuratrice non è in grado di distinguerli, non è in grado di offrire due contratti su

misura, perché se facesse questo, tutti gli individui sceglierebbero l’assicurazione con premio

minore (siccome in entrambi i casi si offre copertura completa).

 Può provare ad offrire un contratto unico, con premio basso (0.1), ma se tutti pagano 0.1

l’ammontare dei ricavi non è in grado di coprire i costi quindi l’impresa fallisce.

 Può provare ad offrire un contratto unico con un premio intermedio (compreso tra 0.1 e

0.4), ma qui gli individui β non si iscriverebbero all’assicurazione e gli individui α si

assicurerebbero invece tutti. Ma anche in questo caso l’ammontare dei ricavi non è in grado

di coprire i costi.

 Può provare ad offrire un contratto unico con un premio elevato (0.4); a maggior ragione,

gli individui β non si iscrivono, e si assicurano solo gli individui α. Questa opzione però è

l’unica che porta ad un equilibrio (anche se è inefficiente). Questa situazione è molto grave,

perché un pezzo di mercato si distrugge, non esiste pur essendoci un’offerta e una domanda.

Si dice che “il lato cattivo del mercato scaccia quello buono”.

Esiste una soluzione migliore; la soluzione proposta da Rothschild e Stiglits nel 1976 dice

bisognerebbe offrire un contratto duplice che permetta agli individui di auto-selezionarsi.

L’assicuratore dovrebbe offrire agli individui due contratti diversi:

 un contratto con premio elevato pari a 0.4 e copertura completa;

 un contratto con premio pari a 0.1 ma con copertura parziale.

In questo modo, gli individui α sceglieranno per forza quello con copertura completa e non faranno

mimiking (siccome la seconda opzione non consente la copertura completa), e gli individui β

scegl