Meccanica quantistica - parte 5

CAPITOLO 5: IL POTENZIALE CENTRALE E L'ATOMO DI IDROGENO

5.1 Sistemi con potenziale centrale

Consideriamo un sistema con 2 particelle interagenti, cioè a 6 gradi di libertà.

Quando il potenziale di interazione è centrale (dipende solo dalla distanza tra le particelle) il problema si riduce da 6D a 1D.

\[\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_1} \nabla_1^2 - \frac{\hbar^2}{2m_2} \nabla_2^2 + V(\lvert\vec{r_2}\rvert)\]

Ci spostiamo nel sistema di riferimento del centro di massa, e introduciamo, quindi, nuove variabili:

\[\hat{R} = \frac{m_1 \hat{r}_1 + m_2 \hat{r}_2}{m_1 + m_2}, \quad \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1, \quad \vec{P} = \hat{p}_1 + \hat{p}_2, \quad \hat{p} = \frac{m_2 \hat{p}_1 - m_1 \hat{p}_2}{m_1 + m_2}\]

dove \(\hat{p_1} = -i\hbar \nabla_1\), \(\hat{p_2} = -i\hbar \nabla_2\), velocità relativa, \(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\)

Le nuove variabili sono canonicamente coniugate:

\[[\hat{R}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}, \quad [\hat{r}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}, \quad [\hat{R}_i, \hat{p}_j] = 0 = [\hat{r}_i, \hat{P}_j] = [\hat{P}_i, \hat{p}_j] = [\hat{P}_i, \hat{r}_j]\]

Ora l'hamiltoniana si scrive come: \(\hat{H} = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \left( \frac{\hat{p}^2}{2\mu} + V(\hat{r}) \right)\), quindi è la somma di due pezzi che commutano tra loro, per cui è separabile.

I due pezzi sono:

• È del centro di massa (particella libera), \(\hat{H}_R = \frac{\hat{P}^2}{2M}\), \(\hat{\psi}(\vec{R}) = Ne^{i \frac{\vec{P}\cdot \vec{R}}{\hbar}}\), \(E_R = \frac{\vec{P}^2}{2M}\), \(\vec{P} \in R^3\).

• È del sistema ridotto: \(\hat{H}_r = \frac{\hat{p}^2}{2\mu} + V(\hat{r})\)

  Cerchiamo le funzioni d'onda: \[\left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla_r^2 + V(\hat{r}) \right] \psi_r(\vec{r}) = E_r \psi_r(\vec{r})\]

Passiamo alle coordinate polari sferiche, in cui il laplaciano si scrive come:

\[\nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{1}{\sin\theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\]

La parte angolare di \(\nabla^2\) coincide con l'espressione di \(\hat{L}^2\) in coordinate polari sferiche, a parte che per un fattore \(-\frac{\hbar^2}{r^2}\):

\[-\frac{\hbar^2}{r^2} \hat{L}^2 = -\frac{\hbar^2}{r^2} \left( \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \cot\theta \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right) + \frac{\hbar^2}{r^2}\]

Non essendoci dipendenza dalle coordinate angolari capiamo che il problema è a simmetria.

CAPITOLO 5: IL POTENZIALE CENTRALE E L'ATOMO DI IDROGENO

5.1 Sistemi con potenziale centrale

Consideriamo un sistema con 2 particelle interagenti, cioè a 6 gradi di libertà. Quando il potenziale di interazione è centrale (dipende solo dalla distanza tra le particelle) il problema si riduce da 6D a 1D.

\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}_1^2}{2m_1} + \frac{\hat{p}_2^2}{2m_2} + V(\lvert \vec{r}_1-\vec{r}_2 \rvert) \]

Ci spostiamo nel sistema di riferimento del centro di massa, e introduciamo, quindi, nuove variabili:

\[ \hat{R} = \frac{m_1 \hat{r}_1 + m_2 \hat{r}_2}{m_1+m_2} \quad \vec{r} = \vec{r}_1-\vec{r}_2 \quad \hat{P} = \hat{p}_1 + \hat{p}_2 \quad \hat{p} = m_2 \hat{p}_1 - m_1 \hat{p}_2 \frac{m_1+m_2} \]

dove \[ \hat{p}_i = \hat{p}_1, \hat{p}_2 \] velocità relativa \[ \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \]

Le nuove variabili sono canonicamente coniugate:

\[ [\hat{R}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij} \quad [\hat{r}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij} \]

Ora l'hamiltoniana si scrive come \[ \hat{H} = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \frac{\hat{p}^2}{2\mu} + V(\lvert \vec{r} \rvert) \], quindi è la somma di due pezzi che commutano tra loro, per cui è separabile. I due pezzi sono:

- H del centro di massa (particella libera): \[ H_{Cm} = \frac{\hat{P}^2}{2M} \], \[ \psi(R) = Ne^{i \frac{\vec{p}_0 \cdot \vec{R}}{\hbar}} \], \[ E_R = \frac{\vec{p}_0^2}{2M} \quad \hat{R}^3 \]

- H del sistema ridotto: \[ \hat{H}_r = \frac{\hat{p}^2}{2\mu} + V(\lvert \vec{r} \rvert) \] cerchiamo le funzioni d'onda: \[ \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu} \Delta_r + V(\lvert \vec{r} \rvert)\right] \psi(\vec{r}) = E_r \psi(\vec{r}) \]

passiamo alle coordinate polari sferiche, in cui il laplaciano si scrive come:

\[ \Delta = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) \frac{1}{r\sin\vartheta} \left(\sin\vartheta \frac{\partial}{\partial \vartheta}\right) + \frac{1}{\sin^2\vartheta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \]

La parte angolare di L coinciderà con l'espressione di L² in coordinate polari sferiche, a parte per un fattore -\hbar²:

\[ -\hbar^2 \Delta_r = -\frac{\hbar^2}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{l^2}{r^2} \]

\[ \frac{1}{2\mu} \left[ -\frac{\hbar^2}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial }{\partial r} \right) + \frac{l^2}{r^2} \right] \psi(r) + V(r)\psi(r) = E_r\psi(r) \]

Non essendoci dipendenza dalle coordinate angolari capiamo che il problema è a simmetria

sferica, quindi invariante per rotazioni. Poiché le rotazioni sono generate dal momento angolare, allora , commutano, quindi le sono autostati simultanei di , e , cioè armoniche sferiche a meno di una funzione che dipende da r:

Digressione: introduciamo

( è il momento coniugato a r)

Il termine è un potenziale centrifugo, insieme al termine V(r) rappresentano il potenziale efficace cui è sottoposta la particella (fittizia), mentre è energia cinetica del moto radiale.

Questa equazione descrive un problema 1D che dipende da e (in realtà sono un’infinità numerabile di equazioni).

Introduciamo la funzione d’onda ridotta:

Affinché sia ovunque finita deve essere:

Questa rappresenta l’equazione agli autovalori per una particella in moto unidimensionale sotto l’azione del potenziale efficace

La barriera infinita in r=0 simula r [0,

La norma delle autofunzioni è:

Per capire la natura dello spettro vediamo cosa accade nelle regioni asintotiche:

a sinistra e , quindi non c’è degenerazione per un fissato e, quindi nella

soluzione del problema radiale (poi bisogna moltiplicare per l'armonica sferica, e per

ogni e ci sono 2ℓ+1m, (è possibile la degenerazione accidentale)).

a destra dipende da v(r)

- Se v(r) è t.c. Vett va a zero dall'alto per r→∞, per e≥0 si ha E₃v(r), quindi lo spettro è continuo e la funzione d'onda è oscillante per r→∞ (stati non legati)

- Se v(r) è t.c. Vett va a zero dal basso per r→∞, per e>0 si ha spettro continuo, per e\omega$$ a dx, $$E c₁ = ^α _β c_o

x¹: 2c₂ + 2c₁ - ℓc₁ - αc₁ =0 => c₁ = ^α+1 _β ^α _β c_o

x²: ... => c₃ = ^α+2 _β ^α+1 _β+2 ^α _β c_o

_(β+1)3!

Quindi: νℓ(x) = co [1 α β x + αα1 (β 2)! x 2 + αα+1 β x + α+1 β x 3 ] = co F(α,β,x)

F (α,β,x) è detta funzione ipergeometrica confluente.

Per x → ∞ F(α,β,x) e^νx (non accetabile).

Tuttavia, per valori particolari di α: = €+1-ν (quindi d1 ν, cioè d1 ℓ ), i coefficienti della

funzione ipergeometrica confluente si annullano da un certo ordine in poi, da una serie

infinita passiamo . una serie troncata (un polinomio). I valori per cui si tronca sono:

α = eℓ + 1 - ν - n', n'=0,1,2,... =>ν = ℓ+1-n' +n

Definiamo n' numero quantico radiale, ed n numero quantico principale.

υ= ¹ _xa = ℓ+1+n'

^-2mE _{h ²} = (ℓ+1+n') ² => ^{m e 4 / (4πε_ο) 2} _{-2E h ²} = (ℓ+1+n')²

-2mE h2 n 2 me 4 / (4πεο) 2 me 4 / ( 4πεo) 2

E_n = ^{me 4} _{-2h ² ( 4πεο )} ¹ _{(ℓ+1+n') ²}

ℜ=-13.6: ℜ = ℜ_y (costante di rydberg)

...