Parametri delle linee equivalenti coefficiente di riflessione in mezzi stratificati perdite nelle guide metalliche non ideali perdite nel dielettrico per modi tem te e tm casi di propagazione con perdite

Dovremo risolvere le equazioni di Maxwell nella regione omogenea all'interno

della guida (zona 0) poi nella regione all'interno delle pareti della guida (zona 1)

e poi nella regione all'esterno della guida (zona 2) .

Infine, bisogna imporre le condizioni di raccordo sulle due superfici di

discontinuità (le due circonferenze).

Tutto ciò servirebbe per avere una spiegazione rigorosa.

Caso 2 (caso ancora complicato)

Diciamo che lo spessore della parete di metallo è significativamente più grande

dello spessore di penetrazione dei campi all'interno del metallo.

Se i campi sono diversi da zero all'interno della guida, penetreranno un po’

all'interno delle pareti ma se lo spessore delle pareti è grande rispetto allo

spessore di penetrazione, il campo non riesce a raggiungere la seconda

interfaccia e quindi all'esterno continua a essere nullo.

Quindi possiamo studiare le equazioni di Maxwell soltanto all'interno della

guida e all'interno delle pareti e poi imporre le condizioni di raccordo sulla

superficie di separazione. Useremmo quindi la zona 0 e 1 .

Caso 3 (caso che utilizzeremo)

Possiamo sfruttare la condizione al contorno di LEONTOVIC per il metallo.

Studiamo le equazioni di Maxwell soltanto all'interno della guida, come

facevamo per il conduttore elettrico perfetto solo che invece di usare come

condizione al contorno quella sul cep,cioè che la componente tangente del

campo elettrico si annulla, usiamo la condizione al contorno di LEONTOVIC cioè

la componente tangente del campo elettrico sul contorno è

(in prossimità della superficie di un metallo).

Nel vuoto il campo E è come ordine di grandezza pari a

14

Sappiamo anche che E << di altre componenti perché ζ <<ζ

tg M 0

15

Usiamo il cosiddetto approccio perturbativo.

1. Valutiamo i campi come se fossimo nel caso di pareti di conduttore

elettrico perfetto e quindi ci troviamo il cosiddetto ‘campo imperturbato’.

Il campo imperturbato avrà anche un campo magnetico e quindi

potremmo valutare per il campo imperturbato Hxi .

n

2. Calcoliamo E TG

usando la condizione di LEONTOVIC dove

3. Usiamo E per calcolare il flusso di potenza attiva per unità di lunghezza

TG

attraverso le pareti laterali ossia la potenza dissipata nelle pareti per

unità di lunghezza che possiamo chiamare

4. Utilizziamo e il principio di conservazione dell'energia (usiamo

Poynting) per calcolare il coefficiente di attenuazione α .

z

“Usando questa procedura abbiamo che tutto accade come se fossimo in

presenza di guide ideali solo che la costante propagazione k avrà anche una

z

piccola parte immaginaria α che si affianca alla parte reale.Quella piccola parte

z

immaginaria produrrà un'attenuazione .

Passiamo alla pratica: (min 33’)

Consideriamo un tratto di guida compreso tra la sezione Z e la sezione Z (dove

1 2

Z = z +Δz).

2 1

Se ammettiamo che le perdite siano solo nella parete della guida fatta di

metallo, possiamo usare il principio di conservazione dell'energia ovvero il

teorema di poynting, la cui parte reale si scriverà come somma del flusso di

potenza uscente dal volume (quindi dalla superficie che racchiude il volume) e la

potenza dissipata all'interno del volume

ma all'interno del volume non c'è potenza dissipata.

16

C’è potenza dissipata nelle pareti però noi consideriamo il volume all'interno

della guida quindi le pareti sono escluse quindi all'interno della guida non c'è

potenza dissipata.

Siccome la potenza dissipata nel mezzo all'interno del volume V è nullo,il flusso

di potenza complessiva uscente (flusso di potenza attiva attraverso la superficie

che racchiude il volume V costituita dalle due basi Z e Z e dalla parete laterale

1 2

della guida) sarà zero.

NOTA: flusso di potenza attiva uscente dalla base all’ascissa Z 2

flusso uscente dalla base Z

1

Avremo che il flusso di potenza attiva uscente dalla base all’ascissa Z + il flusso

2

uscente dalla base Z (ossia “ meno” il flusso entrante attraverso la base Z ) + il

1 1

flusso di potenza attiva attraverso la parete laterale (che è la potenza dissipata

nelle pareti laterali ) deve essere uguale a zero .

In formule:

Calcoliamo il flusso di potenza attraverso le pareti laterali che è la potenza

dissipata.

Dobbiamo calcolare la parte reale del flusso del vettore di poynting attraverso la

parete laterale della guida.

(S spf laterale )

L

Usiamo la proprietà del prodotto misto per far comparire “H vettor i ” .

n

→E

Spostiamo tutto di una posizione verso sinistra finisce all'ultimo posto e

quindi 17

“H*x i è perpendicolare a i (perché un prodotto vettoriale è perpendicolare a

n n

tutti e due i vettori del prodotto vettoriale) e quindi quando andiamo a

moltiplicare scalarmente il vettore H* per E, la componente di E lungo i non da

n

contributo al prodotto scalare e quindi l'unica componente che da contributo al

prodotto scalare è la componente E tangente alla superficie laterale della guida .

Sostituisco E con E TG (min 38’)

Usiamo la condizione di Leotovic perché siamo sul contorno della guida (siamo

sulla superficie laterale)

La condizione è

Quindi l’integrale diventa

In definitiva abbiamo che la potenza attiva che attraversa le pareti laterali,che

poi verrà dissipata per effetto joule nel tratto compreso tra Z e Z , è

1 2

“Analizziamo la parte compresa tra le parentesi {}.

L'unica parte complessa nell’integrando è ζ

m 2

Perché il modulo quadro di un vettore complesso (|Hx̂ | ) è una quantità reale

.

quindi la parte reale agisce solo su ζ ,che è una quantità costante perché

m

abbiamo supposto che le pareti sono fatte di un metallo omogeneo.

Quindi portiamo fuori dall'integrale ζ

m

Ma Hx̂ è la componente tangente di H quindi abbiamo

Dove per H uso quello imperturbato.

TG 1+

Infine sappiamo che ζ = .

m σδ

Se ne prendiamo la parte reale e se suddivido l’integrale esteso alla spf laterale

del cilindro lo possiamo scrivere come: 18

“integrale tra Z e Z dell’integrale curvilineo esteso al contorno della sezione

1 2

trasversa”.

In formule avremo

Infine, abbiamo

“Per calcolare P dobbiamo andare a vedere separatamente cosa accade nei

d

modi TEM,TE e TM per capire come può essere scritto quell’integrale”.

1:06:00 (riepilogo e continuo …)

Calcoliamo i valori dei campi come se fossimo nel caso ideale (tali campi

vengono detti campi imperturbati perché siamo nel caso di guida ideale).

Poi usiamo il valore ideale del campo magnetico Hx̂ .

Calcolo la componente tangente del campo elettrico sul contorno.

Uso poi E per calcolare il flusso di potenza dissipata attraverso le pareti laterali

tg

della guida.

Calcolo P attraverso la spf laterale della guida compresa tra l’ascissa Z e Z .

d 1 2

2

Una volta calcolato, non ci resta che calcolare |H | .

tg

Supponiamo che si stia propagando un solo modo nella guida.

(si scelgono le dimensioni della guida in base alla frequenza di lavoro in modo

che nella guida si propaghi solo il modo fondamentale).

Supponiamo che si stia propagando solo l'onda progressiva.

Andiamo a vedere quanto vale H per i vari modi a seconda se il modo che si

TG

sta propagando sia TEM,TE,TM.

Nel caso dei modi TEM e TM→H ha solo la componente trasversa perché nel

modo TEM sia il campo elettrico che campo magnetico sono trasversi mentre

nel caso di TM è traverso solo il campo magnetico.

Se il campo magnetico ha solo componente trasversa,H si può scrivere la

TG

proiezione della H trasversa (H =i xh) proiettato sulla direzione tangente al

T z →

contorno i (versore tangente al contorno) H = i xh∙i (H sarà diretto lungo

c tg z c TG

i ) .

c (mi sa che il prof ha mancato di dire

qualcosa rispetto alla formula scritta qui)

Per quanto riguarda i modi TE, dobbiamo tener conto che H ha anche

componente lungo z e quindi 19

abbiamo la componente trasversa e componente

lungo z (che è tangente perché la direzione i è

z

tangente al contorno della guida che è in variante con Z).

Quando calcolo il modulo quadro devo calcolare il modulo quadro delle

componenti:

Ma per i modi TE 0TE

Inoltre se è presente solo l'onda progressiva V(Z)=Z I(Z) (perché in generale

V(Z)=Z I(Z)) avremo che:

Z

In generale possiamo scrivere 2 2

Sia nel caso TEM che nel caso TE,nella formula di |H | ci sarà |I| che si può

TG

mettere in evidenza e poichè dipende solo da z si può portare fuori

dall'integrale esteso al contorno .

Con “f” si intende una funzione che assume i seguenti valori:

Quindi avremo che

Facciamo tendere Δz→0 perché ciò che ci interessa è (cioè la potenza

dissipata in un tratto di lunghezza infinitesima Δz).

→l'integrale

Se prendiamo un tratto Δz infinitesimo da Z a Z diventa

1 2

semplicemente l’integrando per Δz (se intervallo è molto piccolo l’integrando si

può considerare costante).

Avremo

Ho usato I(Z ) tanto rimane costante da Z a Z .

1 1 2

20

Moltiplichiamo e dividiamo per Z in modo tale che la potenza dissipata la

0

possiamo scrivere come

1 2

|( )|

Ora è proprio la potenza attiva il flusso di potenza attiva all’ascissa

0 1

2

Z ,

1

Ovvero la potenza dissipata nel tratto compreso tra z e z + Δz. Questa la

1 1

chiamo P (z )

a 1

Questa quantità la chiamiamo 2α z .

Ritornando all’equazione iniziale

Possiamo scrivere

Dividiamo primo e secondo membro per Δz.

Al primo membro otteniamo il rapporto incrementale che al limite per Δz→0

viene la derivata rispetto a z.Quindi abbiamo

(P =potenza attiva)

a →

Sappiamo che α è una costante non dipende da z.

z

Abbiamo quindi un’equazione differenziale del primo ordine, la cui soluzione è

la funzione esponenziale:

Ma siccome stiamo considerando solo l'onda progressiva

−2α

2 2

Dove |I| e |V| si attenuano come il che vuol dire che s