Numeri complessi - Analisi matematica I

I NUMERI COMPLESSI C

in ℝ le eq. di II grado con ∆ < 0 non hanno soluzione ⇒ necessità di ampliare ℝ ⇒ C

det. si definisce numero complesso (z) una coppia ordinata di numeri reali z = (a,b) a,b ∈ ℝ

oss. z₁ = (a,b) z₂ = (c,d) → z₁ = z₂ se e solo se a = c ∧ b = d

det. sono z₁ = (a,b) e z₂ = (c,d) due numeri complessi.

• somma → z₁ + z₂ = (a,b) + (c,d) := (a+c, b+d)
• prodotto → z₁ · z₂ = (a,b)·(c,d) := (ac - bd , ad + bc)

Soddisfano le proprietà commutative, associative e distributive.Inoltre:

• z₀ = (0,0) è elemento neutro per la somma;
• z₀ = (1,0) “ “ il prodotto;
• z₁ = (-a, -b) è l’opposto di z₁ = (a,b)[ z₁ + z₁ = (0,0) ]
• se (a,b) ≠ (0,0) esiste l’inverso z₁ = (^a⁄_a²+b², ^-b⁄_a²+b²)di z₁ = (a,b)[ z₁ · z₁ = (1,0) ]

teo. ℂ è un CAMPO numerico come ℝ e ℚ [proprietà R1 e R2]

oss. insiemisticamente parlando, ℂ ≡ ℝ² = ℝ × ℝ

possibile rappresentazione su un piano cartesiano

I NUMERI COMPLESSI ℂ

in ℝ le eq. di II grado con Δ < 0 non hanno soluzione⇒ necessità di ampliare ℝ ⇒ ℂ

det.

Si definisce numero complesso (z) una coppia ordinata di numeri realiz = (a,b) a,b ∈ ℝ

oss.

z₁ = (a,b) z₂ = (c,d) → z₁ = z₂ se e solo se a = c ∧ b = d

det.

Sono z₁ = (a,b) e z₂ = (c,d) due numeri complessi.

• Somma z₁ + z₂ = (a,b) + (c,d) := (a+c, b+d)
• Prodotto z₁ · z₂ = (a,b) · (c,d) := (ac - bd , ad + bc)

Soddisfano le proprietà commutative, associative e distributive.Inoltre:

• z₀ = (0,0) è elemento neutro per la somma;
• z₀ = (1,0) " " " il prodotto;
• z_i = (-a,-b) è l’opposto di z_i = (a,b) [ z_i + z_i = (0,0) ]
• Se (a,b) ≠ (0,0) esiste l’inverso z_i = ( ^a/_a²+b² , ^-b/_a²+b² ) di z_i = (a,b)[ z_i · z_i = (1,0) ]

teo.

ℂ è un CAMPO numerico come ℝ e ℚ [ proprietà R1 e R2 ]

oss.

Insiemisticamente parlando, ℂ = ℝ² = ℝ × ℝpossibile rappresentazione su un piano cartesiano

la somma può anche essere interpretata coi vettori

ℝ ⊂ ℂ ⇨ i numeri immaginari de tipo (a,0) sono i numeri reali

in ℝ x {0_ℝ}

ℝ è un SOTTOCAMPO di ℂ

UNITÀ IMMAGINARIA

(0,1)² = (0,1) ⋅ (0,1) =(0⋅0 - 1 ⋅ 1 , 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0) = (-1,0)

abbiamo provato che ∃ un numero complesso il cui quadrato è -1. ciò è impossibile in ℝ. Abbiamo ampliato ℝ.

Indiciamo i = (0,1) t.c. i² = -1

ℂ NON è un campo ordinato

DIMOSTRAZIONE

per assurdo pongo i > 0 (quindi condizione di ordinamento tra i e 0)

allora -1 = i² > 0 e quindi i³ = i² ⋅ i = -1 ⋅ i = -i > 0

quindi: 0 = i + (-i) , ma i + (-i) > 0 ⟹ 0 > 0 ASSURDO!

FORMA ALGEBRICA dei n. comp.

(0,1)⦁(b,0) = (0⦁0, 0⦁b) = (0,b)

quindi z = (a,b) = (a,0) + (0,1)(b,0) = a + ib

a = Re z → parte realeb = Im z → parte immaginaria

quindi dati z₁ = a + ib e z₂ = c + id

• somma z₁ + z₂ = (a + c) + i(b + d)
• prodotto z₁⦁z₂ = (a + ib)⦁(c + id) = ac + iad + ibc + i²bd = (ac - bd) + i(ad + bc)

confermano le regole precedentemente poste

det.

dato z = a + ib si ha z̅ detto CONIUGATO con parte reale uguale e parte immaginaria opposta→ z̅ = a - ib

oss

1) z̅̅ = z2) z̅ = z se b = 0 (quindi z ∈ ℝ)

det.

z = a + ib si ha |z| = √(a² + b²)

( NO i )

oss

|z| = lunghezza che congiunge O con la punta del vettore. È sempre ≥ 0

PROPRIETÀ dei numeri complessi

1. z + z̅ = 2⦁Rez
2. z - z̅ = 2i⦁Imz
3. z⦁z̅ = |z|²
4. se z ≠ 0, allora 1/z = z̅ / |z|²

RECIPROCO

| dimostrazioni sulle slide

5) |Re z| ≤ |z| e |Im z| ≤ |z|

6) z₁ ± z₂ = z̅₁ ± z̅₂

7) z₁·z₂ = z̅₁·z̅₂

8) (¹/_z)̅ = ¹/_z̅ V z ≠ 0

teo se z = a·i·b, allora:

1. |z| ≥ 0 e |z| = 0 ⇔ z = 0
2. |z| = |z̅|
3. |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|
4. |z₁ ± z₂| ≤ |z₁| ± |z₂|

FORMA TRIGONOMETRICA dei num. complessi

• ρ = raggio polare è uguale a |z|.
• θ = angolo rispetto ad x. è chiamato anche arg(z).

es. z = √3 + i

oss 1) z̅ = ρ (cosθ - i·sinθ)

2) z₁ = ρ₁(cosθ₁ + isinθ₁) z₂ = ρ₂(cosθ₂ + isinθ₂)

z₁ = z₂ ⇔ ρ₁ = ρ₂ e ∃ k ∈ ℤ | θ₁ = θ₂ + 2kπ

PRODOTTO (e potenza) e QUOZIENTE

La forma trigonometrica funziona bene per qst operazioni

teo z₁, z₂ ∈ ℂ e non sono nulli | dimostrazione sulle slide

Ip. z₁ = ρ₁(cosθ₁ + isinθ₁) e z₂ = ρ₂(cosθ₂ + isinθ₂)

Ts.: a) z₁·z₂ = ρ₁·ρ₂[ cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂) ]

b) ^z₁/_z2 = ^ρ₁/_ρ2[ cos (θ₁ - θ₂) + i sin (θ₁ - θ₂) ]

det. z numero complesso. Dato n ∈ ℤ

• 1 se n = 0
• z, z², ..., zⁿ se n > 0
• ¹/_z, ¹/_z², ¹/_zⁿ se n < 0

TEOREMA di de MOURVE

teo Ip: z = ρ (cosθ + isinθ) | dimostrazione sulle slide

Ts: zⁿ = ρⁿ[ cos(nθ) + i sin(nθ) ]

Fissato |z| = 1 = ρ , si ha z = cosθ + isinθ

Moltiplicare un numero complesso per z comporta solo aggiungere θ al suo argomento.

Questa, geometricamente, è una rotazione. Se ρ ≠ 1, si ha anche una dilatazione.

o contrazione

rotazione

rotazione e dilatazione

FORMA ESPONENZIALE

ρ e^iθ := ρ (cosθ + i sinθ)

soddisfa le proprietà delle potenze

• θ = 0 ρeⁱ⁰ = ρe⁰ = ρ
• ρe^i(-θ) = ρ(cosθ - i sinθ) = _ρ/^{cosθ + i sinθ} = ρ(e^iθ)^-1 z → z̅

inoltre

• ρ₁e^iθ₁ ρ₂e^iθ₂ ρ₁ρ₂e^{i(θ₁+θ₂)}
• (ρe^iθ)ⁿ = ρⁿe^inθ ∀n ∈ ℤ Teorema di de Moivre

RADICI nel PIANO COMPLESSO

• z numero complesso. n ∈ ℕ. w numero complesso si dice radice n-esima
• di z se wⁿ = z

z = ρ (cosθ + i sinθ)

∃ n radici n-esime distintre di z:

ρ^1/n (cos (_{θ + 2kπ}/n) + i sin (_{θ + 2kπ}/n))

se , è facile rappresentare sul piano le radici n-esime. Esse sono i vertici di un poligono regolare con n lati, di lato

teorema fondamentale dell’algebra

un’equazione polinomiale della forma

a_n.zⁿ + a_n-1.z^n-1+ … + a₁.z + a₀ = 0

ha esattamente n radici in C

z² = 1 → z₁=1

→ z₂ = -1

z² = -1

=

|z²| = -1 , = π k=0,1