Movimento dello stato e dell'uscita

A=TA T C=C T

dove , , , .

Questo sistema dinamico è equivalente a quello descritto dalle equazioni

( )= ( )+ )

x́ t Ax t Bu(t

( )=Cx ( ) +

y t t Du(t) ^ ^ =T

x x x x

( )

u t , t ≥ t ,

in quanto per un ingresso e due stati iniziali e legati dalla condizione i

t t t t

0 0 0 0 0

( )=Tx

^ (t)

T x t

movimenti dello stato dei due sistemi sono legati dalla matrice e dalla relazione , mentre i

movimenti delle uscite sono identici. (^ ^

^ ^

( A , B , C , D) )

A, B , C , D

Dunque le due quadruple di matrici e sono semplicemente due descrizioni

differenti di un medesimo oggetto fisico. ^ .

A A

Inoltre le matrici della dinamica e sono simili e, di conseguenza, i loro autovalori sono identici

Autovalori e modi

 Matrice A scalare (sistema LTI di ordine n=1) x

n=1 A=a

Nel caso l’ordine sia , e quindi è scalare, i movimenti liberi dello stato e dell’uscita ( e

l

y at

e

) dipendono dalla funzione esponenziale (con una costante di tempo pari al valore reciproco dello

l a

scalare ): a>0

 di tipo crescente per a<0

 di tipo decrescente per a=0

 movimento costante per =0

t

 Matrice A diagonalizzabile (n autovalori distinti del sistema LTI con )

0

s ,i=1, 2, … , n ,

Nel caso in cui gli autovalori della matrice A sono tra loro distinti, esiste una matrice di

i

T

trasformazione che rende A diagonale

D

^ ^

=T =diag{s }

T → A= A , s , … , s

D D 1 2 n

per cui il movimento libero dello stato risulta

(^ k

∞ )

A t

∑

^

A t D

( )=e

^ ^ = ^

x t x x

D

l 0 0

k!

k=0

{ }

k k k

∞ ∞ ∞

(s ( (s )

t) s t) t

∑ ∑ ∑

1 2 n

¿ ^

diag , , … , x 0

k ! k ! k!

=0

k=0 k=0 k

{ }

s t s t s t ^

¿ diag e , e , … , e x

1 2 n 0

I movimenti liberi dello stato e dell’uscita sono dunque { }

−1 −1 s t s t s t

^

( )=T ( ) =T

x t x t diag e , e , … , e T x

1 2 n

l D l D D 0

{ }

−1 s t s t s t

( )=C

y t T diag e , e , … , e T x

1 2 n

l D D 0 s t

e ,

I movimenti liberi dello stato e dell’uscita sono combinazioni lineari di termini esponenziali i

i=1, 2,… , n detti modi del sistema. =σ + =σ −

s j ω ś j ω

Le coppie di autovalori complessi coniugati , generano dei termini

i i i i i i

σ t φ

(ω )

e sin t+φ

del tipo , dove è una fase opportuna.

i i

i i =0

t

 Matrice A non diagonalizzabile (n autovalori multipli del sistema LTI con )

0 s ,i=1, 2, … , n

Quando la matrice A possiede autovalori multipli, cioè quando non tutti gli autovalori , sono

i

distinti tra loro, può risultare impossibile renderla diagonale mediante un’opportuna trasformazione. In questo caso

=T

T

esiste comunque una matrice di trasformazione capace di trasformare A nella cosiddetta forma di

J

^ ^

A A

Jordan . La matrice ha una struttura “quasi diagonale”, cioè i suoi soli elementi non nulli sono

J J

quelli sulla diagonale principale (coincidenti con gli autovalori), insieme ad alcuni, di valore unitario, posti sulla

η−1 s t

t e

sopradiagonale. I modi che costituiscono i movimenti liberi dello stato e dell’uscita sono della forma i

η−1 σ t =σ +

s s j ω η

)

t e sin(ω t+φ

se è reale e se è complesso, dove è un qualunque intero

i

i i i i

i i s , φ

compreso tra 1 e la massima dimensione dei miniblocchi di Jordan associati a e è una fase

i i

opportuna. STATI E USCITE DI EQUILIBRIO

 Equilibrio ( )= ( )+ ( )=Cx ( )

) + (t)

x́ t Ax t Bu(t y t t Du

Si vogliano ora analizzare le caratteristiche del sistema e per

quanto riguarda le condizioni di equilibrio.

ú x́

Assumendo costante e pari a l’ingresso del sistema, si può affermare che gli stati di equilibrio sono le

soluzioni dell’equazione algebrica

A x́+ B ú=0

Ad ogni stato di equilibrio corrisponde l’uscita di equilibrio

+

ý=C x́ D ú ( )≠

→ det A 0

 Matrice A non singolare (invertibile)

A x́+ B ú=0

L’equazione ammette una e una sola soluzione, per cui lo stato di equilibrio è

unico e risulta

−1

x́=−A B ú

−1

ý=(−C A B+ D) ú −1 pxm

∈

La matrice rappresenta il guadagno statico del sistema.

D−C A B R ( ) =0

→ de t A

 Matrice A singolare (non invertibile)

A x́+ B ú=0

L’equazione può ammettere infinite soluzioni o anche nessuna, a seconda anche del valore

di ú

ingresso . Vi sono allora infiniti stati di equilibrio, oppure nessuno.

STABILITÀ

Per un sistema lineare e stazionario a tempo continuo, le proprietà di stabilità sono relative all’intero sistema e

dipendono dal solo movimento libero.

Teorema

Un movimento (o uno stato di equilibrio) di un sistema lineare stazionario è stabile, asintoticamente stabile o instabile

se e solo se tutti i movimenti (o gli stati di equilibrio) del sistema sono rispettivamente stabili, asintoticamente stabili o

instabili.

TEOREMA – Stabilità e movimento libero

Un sistema lineare e stazionario è STABILE se e solo se tutti i movimenti liberi dello stato sono limitati,

t → ∞

ASINTOTICAMENTE STABILE se e solo se tutti i movimenti dello stato tendono a zero per e

INSTABILE se e solo se almeno un movimento libero dello stato non è limitato.

TEOREMA – Stabilità e autovalori

Un sistema lineare e stazionario è ASINTOTICAMENTE STABILE se e solo se tutti i suoi autovalori hanno parte reale

→

negativa [i punti del piano complesso con parte reale negativa costituiscono la regione di asintotica stabilità]

COND. NECESSARIA E SUFFICIENTE →

INSTABILE se almeno 1 dei suoi autovalori ha parte reale positiva COND. SUFFICIENTE →

Se il sistema possiede autovalori con parte reale nulla insieme ad altri eventuali con parte reale negativa si

esclude l’asintotica stabilità e quindi può essere sia STABILE che INSTABILE.

TEOREMA – Stabilità e polinomio caratteristico

( )=0]

[φ s

Si consideri l’equazione caratteristica , ottenuta uguagliando a zero il polinomio caratteristico

n n−1 n−2

( )=φ + + + +φ

φ s s φ s φ s …+ φ s , con φ ≠ 0

0 1 2 n−1 n 0

[è una equazione polinomiale di grado n, la cui soluzione si può determinare in modo semplice

fino a n=2] →

CONDIZIONE NECESSARIA E anche SUFFICIENTE solo per sistemi di ordine n=1 e n=2 un

sistema lineare e stazionario è asintoticamente stabile se il suo polinomio caratteristico ha

φ , i=1 … n

coefficienti non nulli e tutti concordi in segno.

i

CRITERIO DI ROUTH (per una nuova condizione necessaria e sufficiente di asintotica stabilità)

La tabella di Routh è costruita a partire dai coefficienti del polinomio caratteristico, ha n+1 righe ed ha una struttura

triangolare in quanto ogni 2 righe, con l’esclusione della prima se n è pari, il numero degli elementi diminuisce di uno:

φ φ φ . . . ..

0 2 4

φ φ φ . .. . .

1 3 5

. .. . .. .

. .. . .. . h h h . . .

1 2 3

k k k .. .

1 2 3

l l l . .

1 2 3

. .. . .

. .. .

. .. .

h , k l

Se si indicano con e gli elementi di tre generiche righe consecutive, si ha

i i i

([ ])

( ) h k

−1 h h +1

1 i

= =h −

l det +1

1 i

i i+1

k k

k k

1 1

1 i+1

→

TEOREMA Un sistema lineare e stazionario è asintoticamente stabile se e solo se la tabella di Routh relativa al

suo polinomio caratteristico è ben definita e tutti gli elementi della sua prima colonna hanno lo stesso segno.

LINEARIZZAZIONE E STABILITÀ DI SISTEMI NON LINEARI

I risultati ottenuti fin qui possono essere utilizzati anche per lo studio di sistemi non lineari e stazionari. Si consideri un

sistema non lineare, in generale MIMO, stazionario e proprio, descritto da

( )=f ( ) ( ))

(x

x́ t t ,u t

( )=g ( ) ( ))

(

y t x t , u t ( ) =ú x́

u t

soggetto ad un ingresso costante . Si consideri poi un suo stato di equilibrio e una sua corrispondente

ý

uscita di equilibrio , detti nominali, che soddisfano le equazioni

x́ ¿=0

ú

,

¿

f x́ ¿

ú

,

¿

ý=g

LINEARIZZAZIONE

Il procedimento della linearizzazione consiste nel descrivere il comportamento di un sistema non lineare attorno

→

all’equilibrio nominale mediante un particolare sistema lineare sistema linearizzato [approssimazione del

sistema originario]. ( ) ( ) ( ) ú , x́

δu t , δx t δy t

Se si introducono le variazioni e delle variabili di ingresso, stato e uscita rispetto a

δ x

ý x́

e e dello stato iniziale ancora rispetto a , cioè ponendo

t 0 ( ) ( )

=ú+δu

u t t

( )=x́ ( )

+δx

x t t

( )= ( )

y t ý+ δy t

=x́ +δ

x x

t t

0 0

( )=f ( ) ( )) ( )=g ( ) ( ))

(x (

x́ t t ,u t y t x t , u t

Le equazioni e diventano

´ ( )

( )=f ( ) ( )

x́+δ x́ t x́+ δx t , ú+δu t

( )=g( ( ) ( ))

+δy +δx

ý t x́ t , ú+ δu t

con la condizione iniziale

( ) =x́ +δ

x́+ δx t x

0 t 0 f g x

Supponendo poi che le funzioni e siano regolari, sono sviluppabili in serie di Taylor rispetto a e

u x=x́

in e

u=ú . Sostituendo questo sviluppo, considerato fino ai termini del primo ordine, nelle due relazioni precedenti e

x́

ricordando che non dipende dal tempo, si ottiene

| |

( (

∂ f x ,u) ∂ f x ,u)

( )=f ( ) ( ) ( )

+ +

δ x́ t x́ , ú δx t δu t

∂x ∂u

x= x́ ,u= ú x=x́ ,u= ú

| |

(x

∂ g , u) ∂ g( x ,u)

( )=g ( ) ( )+ ( )

+δy +

ý t x́ , ú δx t δu t

∂x ∂u

=ú

x=x́ ,u x= x́ ,u=ú

Da queste ultime equazioni e dalle relazioni x́ ¿=0

ú

,

¿

f x́ ¿

ú

,

¿

ý=g

( ) =x́ +δ

x́+ δx t x

0 t 0

si ha infine ( )= ( ) ( )

+

δ x́ t A δx t B δu t

( )=Cδx ( ) (