Moti unidimensionali elastici

Lezione del 02/05/2022

Moti unidimensionali elastici

Gli urti elastici si verificano quando durante l'urto non si verifica nessuna perdita di energia. È complicato risalire al motivo per cui è stato persa un po' di energia, molto si deve imputare all'eventuale deformazione di uno o di entrambi i corpi durante l'urto stesso.

Se il materiale è molto oppure è flessibile, si possono verificare degli urti anelastici dove una parte dell'energia viene persa nel momento in cui un corpo interagendo con l'altro va a comprimersi, cioè modifica la sua forma e una certa quantità di energia viene trasformata in calore oppure assorbita per ide deformazione.

Il corpo cambia forma, una parte dell'energia in un movimento proprio nella modifica della sua forma.

Avente una modifica meccanica del nostro corpo e quindi una parte dell'energia viene persa.

Nei due urti elastici non si perde energia, cioè l'urto e l'energia si trasforma.

Cominciamo a schematizzare le cose in maniera il più semplice e chiara che possibile.

Abbiamo un primo corpo di massa m₁ che ha una sua velocità.

Per semplificare la notazione (oggi useremo non solo la conservazione della quantità di moto ma anche la conservazione dell'energia) diremo che la velocità del primo corpo prima dell'urto che va a colpire un altro corpo e quello che succede è che il secondo corpo potrà viaggiare con una sua velocità v'₂ (velocità che il corpo ha dopo l'urto), in maniera indipendente rispetto agli urti completamente anelastici, cioè quelli in cui i due corpi viaggiano insieme.

Da opposte parte, dopo l'urto ci sarà il nostro primo corpo (massa m₁) che però avrà una velocità v'₁ che sarà diversa da quella che aveva all'inizio perché una parte di energia è stata ceduta al secondo corpo.

Scriviamo la nostra equazione per la conservazione della quantità di moto.

Prima dell'urto c'è un unico corpo in movimento (corpo m₁) che avrà una velocità v_i iniziale.

Subito dopo l'urto i due corpi hanno velocità distinte.

Il corpo m₂ avrà una velocità v₂ finale perché prima dell'urto non aveva nessuna velocità.

Dopo l'urto avremo due velocità dei due corpi.

m₁v_i = m₁v_1f + m₂v_2f

Immediatamente conosciamo la velocità del primo corpo (prima dell'urto).

Non saremmo in grado di trovare queste due velocità perché abbiamo solo un'equazione.

Per poter trovare queste velocità bisognerà o conoscere una delle due oppure imporre una condizione

riguardo l'urto stesso.

La condizione che andremo ad introdurre sarà la conservazione dell'energia cinetica.

Diremo che l'energia cinetica iniziale dovrà essere uguale alla somma delle energie cinetiche

dopo l'urto.

1/2m₁v²_i = 1/2m₁v²_1f + 1/2m₂v²_2f

m₁v_i = m₁v_1f + m₂v_2f

1/2m₁v²_i = 1/2m₁v²_1f + 1/2m₂v²_2f

Avremo due equazioni e due incognite (velocità dei due corpi dopo l'urto) per risolvere il problema.

Stiamo considerando il caso in cui il primo corpo prima dell'urto è in movimento e il secondo è fermo.

Cosa accadrebbe se anche il secondo corpo fosse in movimento?

Anche utilizzando 2 equazioni non potremmo sapere questa la velocità del secondo corpo prima dell'urto

almeno che non ci venga detto.

Potremmo considerare anche il caso in cui il secondo corpo aveva una certa velocità prima dell'urto.

Per poter avere un urto, i due corpi devono possedere delle velocità di segno opposto (altrimenti potrebbero riman

mer separati per tutta la durata dell'evento (tranne se un corpo è più veloce di un altro).

(59: m1=2m2)

v1f = v1i ^(1-m2/m1)/_(1+m2/m1)

v2f = v1i ²/_1+m2/m1

CASO 1: m1 = m2 ⇒ m2/m1 = 1

v1f = v1i ^1-1/₁₊₁

v2f = v1i ²/₁₊₁

La velocità del primo

corpo dopo l'urto sarà nulla

La velocità del secondo

corpo dopo l'urto sarà uguale

alla velocità del primo corpo

prima dell'urto

=>

{

v1f = 0

v2f = v1i

PRIMA

DOPO

m1 v1i m2 m1 v2f = v1i

Ec^(2)g = Ec⁽¹⁾ⁱ

perché v2 dopo l'urto = v1 primo urto

Nel "PRIMA" avevamo il nostro corpo m1 con una velocità v1i e poi m2 che era fermo. Nel "DOPO" urto sarà che il corpo m1 è fermo, il corpo m2 ha una velocità v2g = velocità del primo corpo prima dell'urto. Se i due corpi sono uguali : dopo l'urto il primo corpo si ferma e il secondo parte con la stessa velocità che aveva il primo prima dell'urto.

È come se il primo corpo trasfesse tutto la sua energia cinetica al secondo corpo (se le due masse sono uguali)

1^o caso: il primo corpo colpisce il secondo corpo (il corpo m2 è fermo)

La velocità del secondo corpo primo dell’urto sia nulla

Il primo corpo avrà una velocità finale che forma un certo angolo con quella del secondo corpo (v2₁). Avremo un angolo θ₁ e un angolo θ₂

Dovremo scrivere la prima equazione in forma di componenti, cioè quello che succede lungo x e lungo y

Nel momento in cui parliamo di conservazione della quantità di moto e di conservazione dell’energia stiamo considerando delle trasformazioni, cioè sistemi di particelle che interagiscono tra di loro in un’interazione immediata

Abbiamo parlato della prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi precisando che è legata al movimento del centro di massa su spostamenti di tipo rettilineo. Il passo successivo è considerare quando i nostri sistemi tendono a ruotare e fanno dei movimenti che sono separati da semplici traslazioni; quindi parliamo di come possiamo considerare i sistemi complessi: imposti e con elementi complessi funzionalmente congegnati.

Per poter parlare di rotazione bisogna passare dalle forze che agiscono lungo direzioni ben spazialmente definite fino ai momenti delle forze

Momento di una forza

Situazione in cui abbiamo un sistema di riferimento, dove si trova un corpo singolo posto in una specifica posizione che identifichiamo tramite \(\vec{r}\)

Nel momento in cui m₂ è vincolato a muoversi intorno ad un polo/asse di rotazione perpendicolare al piano che stiamo considerando, si può avere una forza che agendo sul nostro corpo tenderà a metterlo in rotazione

La situazione che abbiamo appena descritto si può identificare introducendo il momento della forza \(\vec{r} \times \vec{F}\)

• forza che agisce sul corpo
• vettore posizione/braccio della forza

Quando il nostro corpo è vincolato ad una distanza fissa dall’origine, cioè dal punto attraverso cui passa l’asse di rotazione. Se \(\vec{r}\) non cambia e applichiamo una forza, il corpo sarà costretto a ruotare a causa del momento della forza applicato al corpo