Moti rigidi piani

Moti Rigidi Piani

Un moto rigido si può ritenere piano quando è possibile individuare il moto dell'intero corpo a partire dal movimento dei soli punti appartenenti ad un piano del corpo stesso.

Consideriamo un piano fisso, un corpo e consideriamo due piani di questo corpo, m, m', paralleli tra di loro ed equidistanti tra di loro e con la medesima distanza da. Mantengono la loro distanza durante tutto il moto.

Dimostriamo che il moto dei soli punti appartenenti a m permette di individuare il moto di tutti gli altri punti del sistema.

Prendiamo due punti sul piano m, diciamo (P,Q) e consideriamo i punti (P',Q'), che sono la proiezione di (P,Q) sul piano m'. Essendo il moto rigido i piani m, m' rimangono paralleli ed equidistanti tra di loro.

Si ricava: P - P' = Q - Q' = u₀ (vettore costante)

Da ciò si ricava che:

• V_p - V_p' = 0 ⇒ { V_p = V_p' }
• a_p - a_p' = 0 ⇒ { a_p = a_p' }

Quindi (P',Q') si muoveranno rispettivamente come (P,Q) ossia le traiettorie dei punti del piano m sono sovrapponibili a quelle dei corrispettivi punti del piano m'.

Definizione

Un moto rigido si definisce piano quando esiste un piano dello spazio solidale che resti costantemente equidistante e parallelo ad un piano fisso. Il piano fisso è detto piano direttore e il piano dello spazio solidale è detto piano mobile.

Caratterizzazione

• W

Invariante Cinematico

Velocità pura di traslazione

v ∈ (lm)

I = v ∧ ω

P - P'₀

V_P - V_P' = 0

V_P = V_P'0 + ω (P - P_o)

ω ∧ (P - P') = 0

ω ∧ lm

V ∈ lm

ω ∦ lm

ω ⊥ lm

∑ = 0

Atto di moto puramente traslatorio se ω (t^*) = 0

Atto di moto puramente rotatorio se ω (t^*) ≠ 0

Valutiamo i gradi di libertà

Vediamo quanti parametri sono necessari per individuare il moto della terna solidale rispetto alla terna fissa

I primi due parametri sono necessari ad individuare la posizione della terna solidale rispetto la terna fissa: (x₀, x_0')

L'ultimo mi darà l'anomalia di A₁ rispetto a e₁: θ = Θ (t)

I PARAMETRI SONO 3 (x₀, x_0', θ) => QUINDI I GRADI DI LIBERTÀ SONO 3

APPLICAZIONE

1) Esempio (Ellissografo)

Consideriamo una barrette vincolata in due estremi a scorrere su due guide fisse. Assegnata la velocità del punto A determinare: il modulo, la direzione e il verso di un punto Q della bielletta.

Con questo primo esempio vogliamo dimostrare come la conoscenza del centro di istantanea rotazione permetti di determinare le velocità di tutti i punti del sistema.

Per determinare il centro di istantanea rotazione vado a considerare il teorema di Chasle quindi il centro di istantanea rotazione si trova sulle normali.

V_Q = ω × (Q - C_I)

V_A = ω × (Q - C_I) => |V_A| / |V_A| = |A - C_I| / |Q - C_I| => V_A = |V_A| |Q - C_I| / |A - C_I|

La direzione di Q varia ortogonale al vettore (Q - C_I).

Il verso del punto Q è quello concorde al verso del punto B e del punto A perché tutti i punti ruotano intorno all'asse di istantanea rotazione ed è normale al piano dove giace la bielletta è passante per il centro di istantanea rotazione.