Modulo 2 - Meccanica del continuo per mezzi a due fasi

INVARIANTI UTILIZZATE IN GEOTECNICA

lu condizioni di sforzo anial-simmetrico, possiamo deficure 2 INVARIANTO,

una me definisce la componenre Isotropa e la seconda

deviatorica (corrisponae alla traccia della matuce)

60 +26r

P = 3 19 da eas un suca di quanto sianco loutan

a lo sparo core de france, qui e ipocana

2 9= 60-6r

9 (b

For panare dallo staro A allo staro B è possibie percorrere unoenissini

percorsi diversi, ma por un reneno cambierá moenissi uno seguire l'uno o

e altro percorro, ad esempio:

in ou) primo c'è un aumento repentino du 9 a p costaure, poi

ammenna p e a rimane costanne, ecc.

in b) prima p aumenra molro a a cosranre e poi a amenra du poco

as p cosnaure.

→ Dunque quando si studia un teneno nou ci si puó liceinare a

conoscere solo stato iniziale e finale, ma è fondamenrale

capire come variano pe 9 per comprendere le percorro fatto.

(10-11- 2021)

Tax

Ixy

6 6 y ISOTROPA) + /deviatoria)

Oxy tyz =

Tryz 6z (b)

(0)

(01) lo shoco di sgorra ISOTROPO è uguale in vilte le direzioni e quali

non variou se si camubia il aferncurs

(b) E tulto có cue devia dallo stato di sfocro isotropo. Si la se

ci sono sforzi taug enziali, oppure se on, 6y e 6a socio duerre

tra

In geotecnica si fa egerimenro a stan di sforzo ASSIALSIMMETRICI. do s. di s.

in condizioni di simmetria raduale, assume ma confornanone moero

semplice 0 6r

6 = 6г

Sono quindi necenane due granal za per caratter zare lo stato ou

sforzo iso (6a, 62). Si e delto, invece di couriderare Ga e 62, di untizzare

due grandezze invariann, una telenva alla parre isotropo (P) e ena

riferita alla parre deviatorica (9)

P: 6m = tel] 60+263

=

3 3

9=60-6

vetre a quello anial-simetrico, si puó fare aferimento a uno stato au.

Sforzo PIANO 0 (6y; - Exy)

yw 6 20

6 ж Try = tys tysu 6y

E caratterizzato dal fatto ce la reunone valla dire none noruale

al piano è muela; Ance in questo cano é possibile deficure dua

invarianni (ma recanva alla comp. isotropa (S) e una a quella

deviatorica (t)

61 + 62 6x0 + 6y

S = = 2

2

61 - 62

t :

Mole si è cero couro cue, al ruotare del aferimento, le combinazion

di Get cambiano e descrivono ena circongerenza

STATO

DI SFORZO

SUL PIANO

VERTICAL 090 STATO DI

SFORZO SUL PIANO

ORIZZONTALE

secondo las reo nas di Mona, il contro del cercio si trovas sull'ane

Ogui punto del cercio rappresenta lo stato du sforzo du quel puuro, una

in giagurre deverre

Ance il cercio di Mone indiviana ma conuponenre isotropa e ma

deviatorica: la seconda è dara dalla aumennone del ermio (pue-

grande, maggiore saro la conup. deviatorica e quindi preseura di

reunoni tangenriali), mentre il contro del cercio e quinou la

sua posizione inauviana la conuponenre isotrope (se e spostaro

verno l'origine la componenre isotropa e maggiore).

(11 - 11-2021)

ll polo 1 lo indiviano intersecands il piano ourourale pansaure per o e il

verncale passaure per V. K ni consenre di trovare l'inclinazione di

parricolari shan di sforzo, tra cui quelei PRINCIPALI

Ci sono peró de can in cui le cercio di Mole nou risucte particolarente

funzionale, ad escuupro 16.

6z = 62 dall'ane y

vedo 6x

6x = 63 6х 16.

6y = 61

lu base a có cue vedo dall'ane y posso costrure un cercio di

Mouz 62 61

Dall'alto invece vedo un altra stazione e analo gamere

posso diseguare un altro cercuio (63- 61)

Ripero l passaggio aume cospetto all'ane si e fare le cercio

→ Se vogeo rappresentare lo STATO DI SFORZO TRIDIMENSIONALE lO

di 3 cercui

in georecuica si unlizza spesso lo s. dis. analsimetrico; su unarra uu

cerchio unico, nonostante sia comuque uno s. dis. traicenno nale,

porce v cercio é degenere e un altro 6 г

61=60

61= 6r

PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI (15-11-2021)

Ci si chiede come la commponenre saluda e quella liquida del

renero si ripartiscano lo snato reunionale: ll liquido parrecipa solo

a enello di componenre isotropa e non deviatorica.

de reunioni in un puuro in ma sezione du reneno sono nore, se sono

reunioni principali ronali si dividono in due parsi: ma parre ul

agisce nellacqua e sui granuli solidi con uguale ureusina- in ogui

direnone. de differeure 61 = 61-11, 6'= 62-11 1 63'= 63-41

rappresentano un incremento aspetto alla premione uversnivale

hamo sede escensivamenre vella fase solida dul reneno.

Quesno parre della reus. princ. Totale, sará unamare TENSIONE

PRINCIPALE EFFICACE

Tulti gli effetti misurabili di ma variazione di snato au sforzo, sono

dovun escenivamenne a variazioni delle rennoni (as)

CONTINUO CONTINUO

SOUDO LIQUIDO INTERS

COUTINUO TERRENO

NEL SUO COMPLESSO

(0)

(a) Quesn due courimmi sono sovrapposn è occupano lo sreno spazio. Nel

CONTINUO SOLIDO agISCOnO le 6', meurre nel contano liqui du

u. da loco sonna di da ll rennoni torali due agiscono nee

conticuo notale.

61 61 = 61- u

62 → u + 62' = 62-11

63 63' = 63=11

6' = 6-1

6 = 6'+u → ge sfori tangennali sons rolanvi esclusivameure alla

parre SOLIDA, qui nou il questo cano nou appare la

= Gis - udis

1 i

Sis DELTA DI KRONECKER

i ‡J

Coundero a parre de reneno e ma sezione ce pana peri puun di

contatto tra igrame, seura peró attraversare i granuli steni; e un pucro

Pe ena sua areo las SA = SAC.+SAV

SAC (AREA PUNTi DI CONTA ITO)

SAN (AREA VUOTI)

Daro me SAc «sAv, allora posso dire ce SAv = SA.

coundero ora l'areola rettificata

5Fm SF 1 бА

da risultaure delle arioni oF puó enere scouuposta il SEn e SFr, quindi

SFm

6 = licu

TENSIONE SA

→

SA 0

NORMALE SFe

T= licu

TENSIONE SA

→

бА О

TANCIENUALE 8Fm

TT

8Fm

En e ca risultaure delle forze normali ni scambiare tra i granli

e delle forze u trasmene dai liquidi

0Fn = E mi + uSAv

SFE

S

SFe

oFt e ca risultaure degli sforzi tangenriali si scambiati dai granei

per attrito SFe = E si

Sostiviamo in funzione di 6 e'2 u SAv

Eni + lice

5m , віш SA

6= lim SA→0

SA

SA + 0 2 mi + u

6= lice SA

= →

бА 0 (PRINCIPIO DELLE T. EFFICACI)

+ u

6'

6 Iwi

6 '= lic

= SA

Nou si tralta di tennoni di contalto. Ee percue quelle sono date

da una media (forre trasmene deviso area di couraro)

EMi

dAc I si

SFE

= lic

I= віш

→0 SA

→0

&A бА

бА

T=T' E Si

E' = SAN SA

Nou eniste eo strumento in grado di misurare le t. efficaco, quindi

le ricavo sempre come differenza tra reunoni torali e premione

dece a cana.

LIMITI DI APPLICAZIONE DEL PRINCIPIO

• le princepio delle t. efficaci vale quando le reneno è saturo

• Se le reunoni sono troppo elevare perde di valicutá (nel nostro campo

ou applicazione, coe 100-200 m solto rena, e aucoca valido)

(17 - 11-2021)

3 00 .C.1

da DEFORMAZIONE di un corpo la analizzo confrontando vettori spostameno.

Deficiamo u lo spostamenro n direzione se, cue e funzione della

posizione; analogamenre definiamo ~ e w.

и (x, y, ()

~ (x, 4, 7)

W (2, , ()

consideriamo un caso mono dimensionale (banelta)

Se MA = Us allora la banetta lia TRASLATO

Se MA > UB allora la banelta su e: ALLUNGATA

Per valutare la deformazione aniale lugo se, valuto come varia ul in nur

i puun della banetta LE IN DIREZIONE 2U

DEFORMAZIONE ASS

=

=

Ex rul

А posso trasfomanco in una

auaunno - fiere

Ey = ou

Ez = 0(

Coundero un caso piano

Facciamo ruotare egidamenre gli ani carrenianti

м=Х ul =ry

V =-rx MATRICE

RIGIDA

- = 0 бу

v=-ry 5V=0

dv =-r

Da có si deduce cue la rotazione rgida si ha se soniando quesni

dv

du

+ CONDIZIONE ROTAZIONE RIGIDA

=r-r=0

2∞0

бу

due remini oltengo 0. Tulto có le è maggiore o minore corrisponde e

ma deformazione.

du =Exy = Eyso DEFORMAZIONE PIANO DUY

+

dy

dv.+ ow = Eyz =&zy

ду

0( = Ez20 = Exuz

+ Se its sono DEFORMAZIONI ANGOLARI

Exy Exz

E xix se i=s sono DEFORMAZIONI ASSIALI

Ey z

Eyxo Eyy

Ezy E zz

luvariause vocuiernco (anociato alla componena ISOTROPA)

D

Vo

Analogamenre enste auce Es (anocato alla e. DEVIATORICA)

(22-11-2021)

MATTON A = 100 c"=

= 0,01 m l

P = 5 kg =

= 0,005 KN TT 1 T

6v

Peso coloma/ Area (EQ. EQUILIBRIO VERTICALE)

GuA = P.

=0,02/ 0,01 = 2 Kla

6. FOT

Se lego i mattoncini tra di loro la 6y nou varia, percus nou vascono

sforzi raugeuziali tra un mattoue e l'altro

• Supponiamo ora cue i maltaci perico tutti 0, 0ós, traie quelli della

secorda colonna cue pesano 0,01 oguus

Se foscero slegais, sotto la sécovidia colo una agisce una 6u = 4 Kla;

se ruvece lego i mattori nascons érici raugeurali, porcue la col. 2

recide ad abbanarsi pu sulle altre.

10,003

0,005. 0,01 0,00

114) 1

Ora alla 6v contribuiramo anche le E, dunque per determinarcas

non e pui sufficeure l'Op. di equilibrio (Prob. staticameure indererivaro)

→ Ho bisaguo quindi delle eq. du equilibrio alla TRASLAZIONE (ocizzourale)

• Тух. + 0022

X=0620- =

+

дж 0 & ,' forca di mane in durezione x

(ile coud, shanche sono uguali e

d6y. бЕчу

Y = =0

020 бу > lu questo caso non e o percue

SEyz

Z crespouore al peso (2=8).

8)=

020 J y 2 &

•EQUAZIONI INDEFINITE DI

d'epproccio un GEOTECNICA è quello di semplificare e problema in modo

da caroerlo isostanco, quindi risolvibice tramure il solo equeubreo

verhcale.

→ Consideriamo la T. VERTICALE COLE MA TENSIONE PRINCIPALE

p.c. (piallo ou'

campagua

→ estero)

шегго

оподенс mezzo cou strat.

por rondere il problema isostanico faccamo 2 IPOTESI :

1) Piano di campagna orizzontall infinitamenre esteso

2) le mezzo soltostaure è omogeneo o stratificato ouzzoutalmenre

in questo modo ogui piano vernale di taglio sará un PiANO DI

SIMMETRIA, CIOè un p. principale su un agiscono solo tennoci

поставі

Quindi 20, 1,7 sono direzioni principali su cui agiscono solo le 6 e

quicou il prob. duenra stancamenre dereruminaro

X= 26x0 cost. lungo ne

=0

Y = cost lurgo y

= 0

06& 8.7+ 62

z = -X=0

8&

Per deverminare ll COSTANTI avrÓ biSognO delle CONDIZIONI AL CONTORNO

p. с.

v &

Per z = 0 6z = 0 → 6z = 8.7+C2 → C2 = 0

connderiamo un sistema di rigeneuro a due direzioni

64 = 87