Mezzi dispersivi e non

MEZZI DISPERSIVI

Mezzi materiali per cui l'effetto in un certo punto e in un certo istante di tempo dipende

dalla causa in tutti gli altri punti e negli istanti di tempo precedenti sono MEZZI DISPERSIVI

SIA NELLO SPAZIO CHE NEL TEMPO.

Oppure con riferimento allo spazio si dice che il MEZZO È NON LOCALE se l'effetto in un

punto non dipende solo dalla causa in quello stesso punto ma dipende anche dalla causa

negli altri punti dello spazio.

Per quanto riguarda la dispersività nel tempo si parla anche di MEZZO NON ISTANTANEO (o

MEZZO CON MEMORIA) se l'effetto in un certo istante di tempo t non dipende solo dalla

causa in quello stesso istante di tempo ma dipende anche dalla causa negli istanti di tempo

precedenti.

In generale i mezzi sono dispersivi cioè sono non locali e non istantanei quindi con

memoria.

Esistono dei MEZZI NON DISPERSIVI SPAZIALMENTE (LOCALI) se l'effetto del campo

induzione elettrica d in un punto r dello spazio dipende solo dalla causa in quello stesso

punto dello spazio .

Ora la relazione costitutiva se l'uscita in r deve dipendere solo dall'ingresso in quello stesso

→G

punto diventa

ε

In questo modo l’integrale triplo su r’ scompare per le proprietà di campionamento della

delta. nel dominio di integrazione dovrei scrivere t-|r-r’|

ma r=r’

Ho la dipendenza di d da e nell’istante r per questo

scrivo e(r,t’) e non e(r’,t’)

MEZZO ISTANTANEO (mezzo non dispersivo temporalmente o mezzo senza memoria).

Quando l'uscita ,cioè il campo di induzione elettrica d, nell'istante di tempo t dipende

solo dal valore del campo elettrico e in quello stesso istante di tempo.

Se un mezzo è istantaneo vuol dire che l’uscita in un certo istante di tempo t dipende da ciò

che fa l'ingresso in quello stesso istante di tempo t ma se stiamo valutando l'uscita in un

punto r diverso da r’ in cui è stato messo l'ingresso è chiaro che deve passare un certo

tempo da quando è stato attivato l'ingresso nel punto r, perché bisogna dare il tempo alla

perturbazione prodotta dall'ingresso di arrivare nel punto in cui stiamo valutando l’uscita e

quindi d in (r,t) non potrà dipendere da e in r’ e nello stesso tempo t.

QUINDI SE UN MEZZO È ISTANTANEO (NON DISPERSIVO TEMPORALMENTE)

NECESSARIAMENTE DEVE ESSERE ANCHE LOCALE (NON DISPERSIVO SPAZIALMENTE).

Ma non è vero il contrario: se il mezzo non è istantaneo può essere tranquillamente locale.

Ora nella relazione costitutiva deve scomparire anche l'integrale rispetto al tempo,quindi

vuol dire che G sarà:

ε (ho delta per una funzione)

E quindi quando sostituiamo,l'integrale scompare e otteniamo

MEZZI OMOGENEI E NON OMOGENEI.

Si può parlare di omogeneità spaziale (detta semplicemente omogeneità) e omogeneità

temporale (detta anche stazionarietà).

Un MEZZO sì dice OMOGENEO SPAZIALMENTE se ad una traslazione dell'ingresso

corrisponde la stessa traslazione dell'uscita qualunque sia l'ingresso e qualunque sia

l'entità della traslazione.

Per ogni campo elettrico e per ogni traslazione (che è un vettore perché la traslazione di

una certa lunghezza è in una certa direzione e in un certo verso), se ad e(r,t) corrisponde

d(r,t) allora all'ingresso e(r-r ,t) corrisponderà d(r-r ,t).

0 0

Nella relazione costitutiva G non dipende separatamente da r ed r’ ma dipende dalla

ε

loro differenza (nell’argomento di G ε

abbiamo r-r’ )

(DIMOSTRAZIONE RIMANDATA DAL PROF)

SOTTOCASI

Se combiniamo insieme l'omogeneità spaziale e anche la non dispersività spaziale cioè se il

→

MEZZO è sia NON DISPERSIVO IN R CHE OMOGENEO IN R ,essendo locale

G dovrebbe dipendere separatamente da r,t,t’ ma se il mezzo è omogeneo non può

ε

dipendere separatamente da r e r’ ma dalla loro differenza e quindi vuol dire che la

dipendenza da r non ci può stare .

Quindi nella relazione costitutiva non solo scompare l'integrale triplo spaziale ,perché il

mezzo è non dispersivo spazialmente cioè locale ,ma nella G scompare anche la

ε

dipendenza da r perché il mezzo è omogeneo .

Per un mezzo locale e omogeneo

Per un MEZZO LOCALE E OMOGENEO E in più ISTANTANEO essendo non dispersivo sia

spazialmente che temporalmente si ha un legame algebrico:

Se il MEZZO è OMOGENEO , ε non può dipendere da r ma al massimo può dipendere dalla

differenza r-r’ ,e quindi ε è in funzione solo di t.

MEZZO OMOGENEO TEMPORALMENTE (STAZIONARIO o TEMPO-INVARIANTE)

UN MEZZO È OMOGENEO TEMPORALMENTE (ovvero stazionario o anche tempo

invariante) QUALUNQUE SIA L'INGRESSO (campo elettrico e) E QUALUNQUE SIA IL

τ

RITARDO (tau) AD UN RITARDO TEMPORALE DELL'INGRESSO CORRISPONDE LO STESSO

RITARDO TEMPORALE IN USCITA:

Quindi avremo che:

Abbiamo la dipendenza dalla differenza di (t-t’)

Ora

Potremmo scrivere l’integrale tra ±∞ purchè G (t,t’)=0 per t’>t ovvero t-t’<0

ε

Se

Avremo che

Scompare l’integrale in dt’ e ho dipendenza da t-t’.

Se poi è anche omogeneo spazialmente scompare anche la dipendenza da r

NOTA sull’integrale di convoluzione:se il mezzo è locale e stazionario

Se facciamo la trasformata di fourier o la trasformata fasoriale ( i campi sono sinusoidali),e

ricordando la definizione di convoluzione avremo:

La trasformata di fourier di G (r,t) la chiamiamo ε.

ε

In questo caso L’INTEGRALE DI CONVOLUZIONE DIVENTA UN PRODOTTO.

Invece NEL DOMINIO DEI FASORI NON ABBIAMO LA DIPENDENZA DA ω (perché è un

parametro),quindi

NOTA BENE (min 30):

Affinché nel dominio dei fasori /della frequenza il legame tra d ed e sia algebrico senza che

compaiano integrali basta che il mezzo sia lineare , continuo ,locale e stazionario.

Mentre nel dominio del tempo per avere una relazione algebrica bisogna avere un MEZZO

LOCALE ed ISTANTANEO (ovvero non dispersivo sia spazialmente che temporalmente).

MEZZO ISOTROPO (INVARIANZA RISPETTO ALLA ROTAZIONE)

UN MEZZO SI DICE ISOTROPO QUANDO QUALUNQUE SIA L'INGRESSO E QUALUNQUE SIA

LA ROTAZIONE (ovvero per una rotazione intorno a un'asse qualsiasi e di un angolo

qualsiasi) ALLA ROTAZIONE DELL'INGRESSO CORRISPONDE LA STESSA ROTAZIONE

DELL'USCITA.

SE IL MEZZO OLTRE A ESSERE ISOTROPO È ANCHE LOCALE E ISTANTANEO (CIOÈ È NON

DISPERSIVO SIA SPAZIALMENTE CHE TEMPORALMENTE) ALLORA LA PROPRIETÀ DI

ISOTROPIA IMPLICA CHE INGRESSO E USCITA SIANO ALLINEATI ,quindi sono legati da un

coefficiente di proporzionalità scalare (questo vuol dire che due vettori sono paralleli se

uno è pari a uno scalare moltiplicato per l'altro).

Si ha ε (che è uno scalare) per la matrice identità in modo che quando si va moltiplicare per

e ,la matrice identità I scompare.

DIMOSTRAZIONE

Dimostriamo per assurdo che se il mezzo è locale, istantaneo ed è pure isotropo allora

ingresso e uscita devono essere necessariamente allineati.

Ipotesi:

Il mezzo è locale ed istantaneo quindi l'uscita d in un

punto dello spazio e in un certo istante dipende solo

dall'ingresso e in quello stesso punto dello spazio e

quello stesso istante di t.

Dimostriamo per assurdo.

Supponiamo pure che il mezzo sia isotropo cioè che a

ogni rotazione dell'ingresso corrisponde la stessa

variazione dell'uscita qualunque sia la rotazione

considerata e ipotizziamo per assurdo che e ed d non

siano allineati (hanno direzioni diverse )

Allora la proprietà di isotropia dice che se effettuiamo una qualunque rotazione del campo

elettrico e ,a questa rotazione del campo elettrico corrisponde un'uguale rotazione del

campo di induzione elettrica d e questo deve valere qualunque sia la rotazione (qualunque

sia l'asse di rotazione e qualunque sia l'angolo).

Allora immaginiamo di fare questa rotazione dell'ingresso cioè ruotiamo l'ingresso intorno a

un'asse che coincide proprio con la direzione di e ,ruotiamo di un angolo di pigreco .

Il vettore e rimane uguale a se stesso,per isotropia d deve ruotare di 180 ° intorno all'asse

e quindi otteniamo che al nuovo ingresso ruotato corrisponde un altro valore dell’uscita

→ deriviamo l'assurdo che allo stesso ingresso corrispondono due diverse uscite.

Per un mezzo locale ed isotropo ma non istantaneo

la funzione di green non è più una matrice perché produrrà la matrice identità.

MEZZI NORMALI

TUTTI I MEZZI SONO CAUSALI E VALGONO QUESTE PROPRIETÀ:

IL MEZZO È

• LINEARE E CONTINUO

• LOCALE (QUINDI NON DISPERSIVO SPAZIALMENTE)

• STAZIONARIO (OMOGENEO TEMPORALMENTE)

• ISOTROPO

MEZZI CHE HANNO QUESTE PROPRIETÀ SONO MEZZI NORMALI.

Nei mezzi normali la relazione costitutiva è data da

Il legame tra d ed e, è tipo integrale perché il mezzo è lineare e continuo però non ci sono

gli integrali in dr’ (integrale triplo spaziale) perché il mezzo è non dispersivo spazialmente ,

la G non è una matrice ma è uno scalare perché il mezzo è isotropo e inoltre la dipendenza

ε

è data da t-t’ perché il mezzo è omogeneo temporalmente.

In realtà l’integrale lo posso scrivere da - ∞ a + ∞ tenendo presente però che

quando t-t’ è negativo (t-t’<0)→G =0.

ε

Nel dominio trasformato per la proprietà della trasformata di furier/fasoriale dove alla

convoluzione del tempo corrisponde il prodotto tra le trasformate nel dominio trasformato

avremo (legame algebrico di ε scalare per E)

Dove ε è la trasformata di furier della funzione della risposta

impulsiva G (r,t).

ε

tenendo presente che per la causalità G (r,t)=0 per t<0 .

ε

ε è una quantità complessa perché la trasformata di furier di una funzione reale è in

generale complessa.

L'unico caso di G in cui una trasformata di furier è reale, è quando la funzione nel dominio

ε

del tempo è reale e pari .

Nel nostro caso G non può essere pari perché dovrebbe valere 0 anche per t>0 (per la

ε

proprietà di una f pari).

Quindi

Ora G è reale e pari quando è un impulso posto nell’origine in modo t