Metodo diretto - Appunti Tecnica delle costruzioni

Analisi del sistema di equilibrio del telaio

Vogliamo ricavare il sistema delle equazioni di equilibrio di questo telaio. Capire quali sono i gradi di libertà. Dobbiamo guardare il nodo A e B perché gli altri nodi sono incastrati quindi sicuramente non ci sarà movimento e per di più sono nodi esterni.

Non sto pensando ad una trave rigida e quindi sicuramente i nodi A e B potranno ruotare. La struttura è simmetrica ma non è caricata simmetricamente ma antisimmetricamente. Potrei solo studiare metà parte della struttura per semplificare i calcoli ma ora vogliamo ragionare su.

Gli altri movimenti sono la traslazione dell'asta AB. In genere si trascura la deformabilità assiale delle aste. Cioè le aste non si possono accorciare o allungare e quindi i movimenti di A e di B in orizzontale devono essere necessariamente uguali. In definitiva:

Applicare il metodo dei vincoli ausiliari. Devo quindi bloccare tutti i movimenti. Tutte e quattro le aste si trovano in uno schema.

di doppio incastro. Mettiamo in evidenza tutte le reazioni sia dei vincoli olinreali che di quelli ausiliari

Abbiamo disegnate la reazioni che dobbiamo avere alle estremità di ogni asta che possono essere date solo dal vincolo ausiliario che è il carrello, quindi se sommo le 4 frecce avrò la reazione del carrello

Diamo dei nomi ai 3 movimenti:

Decidiamo poi una convenzione di positività

Scriviamo il vettore delle reazioni di incastro perfetto (reazioni dei vincoli ausiliari) secondo questa convenzione di positività:

Noi sappiamo che il nostro sistema di equazioni sarà

Abbiamo sistemato F. Dobbiamo trovare la matrice di Rigidezza (K). Pensiamo a come si scrivono in generale le equazioni di equilibrio nel metodo delle deformazioni

Scriviamo in esplicito K

Questa è la relazione in generale tra matrice di rigidezza, movimenti e forze. Nel metodo Diretto si applicano dei movimenti predefiniti in modo che le forze che devo applicare alla struttura per avere

quei movimenti siano facili da calcolare facendo riferimento agli schemi notevoli e quelle forze corrispondono ai termini della matrice di rigidità:

Quando definisco la matrice di Rigidità non mi interessa come è caricata la struttura ma mi interessa solo la geometria e le caratteristiche delle aste.

Se io alla mia struttura applico:

Innanzitutto vuol dire che in B non devo avere rotazione (metto un morsetto) e non devo avere traslazione (carrello).

L'unico movimento che ho diverso da zero è la rotazione ed è in A.

Tutte le aste si comportano secondo uno schema:

Da questo schema notevole mi ricavo la coppia che devo applicare nella trave per avere una rotazione unitaria (Rigidezza alla rotazione) che per un'asta appoggio-incastro vale:

I tagli mi danno una coppia antioraria che è:

Tutte queste sono le forze da applicare alla trave affinché la deformata sia quella disegnata, cioè affinché si deformi così.

Vado quindi a disegnare

tutte queste forze sulla struttura I tagli devono dare una coppia opposta a quella generata dai momenti. Calcoliamo K21 che è la forza correlata al movimento 2 per avere quella deformata. Il movimento 2 è delta. Quindi vediamo quanto vale la forza orizzontale. Vogliamo calcolare K31 che è la forza generalizzata relativa alla rotazione in B che vogliamo applicare per avere questa deformata. Quindi sarà la coppia che dobbiamo applicare in B. Facendo così abbiamo calcolato la prima colonna della matrice di Rigidezza. La matrice di Rigidezza è simmetrica, quindi avendo calcolato la prima colonna abbiamo calcolato anche la prima riga. Questo è il procedimento che usiamo nel metodo Diretto. Possiamo dare un significato fisico alla matrice di rigidezza: Forza correlativa al movimento 1 da applicare in modo da avere il solo movimento 1 che è unitario e tutti gli altri movimenti pari a zero. Forza correlativa al movimento 2 da applicare in modo da avere il solo movimento 2 che è delta e tutti gli altri movimenti pari a zero.avere il solo movimento 2 unitario e tutti gli altri movimenti pari a zero. In generale possiamo dire: Forza correlativa da applicare al movimento i da applicare in modo da avere il solo movimento j unitario e tutti gli altri nulli. Procediamo così per calcolare la seconda colonna della matrice. Dobbiamo scrivere all'estremità di ogni asta quali sono le forze da applicare per avere questa deformata. La generica asta si deforma secondo questo schema di base. Trasferiamo queste informazioni sui vari pilastri e poi sommiamo le varie forze. Il pilastro di sopra è come quello di sopra ma specchiato. Adesso, sappiamo che la matrice delle rigidezze è. In generale quando si usa questo metodo gli schemi di riferimento sono. Quando ci sono le rotazioni. Quando ci sono le traslazioni. Ricapitolando, se concludiamo il calcolo abbiamo. Una volta noti i momenti dobbiamo disegnare i diagrammi della struttura. MOMENTO. Dobbiamo prendere i diagrammi di fase 1 e sommare il diagramma del momento che

si genera a seguito dei movimenti

FASE 2

Dobbiamo ricondurci agli schemi visti prima. Mi calcolo il diagramma del momento prodotto da queste rotazioni

Posso sommare i momenti dovuti ai due contributi

Io conosco il valore della coppia da applicare quando la rotazione è unitaria

Se la rotazione non è più unitaria ma è pari ad alfa sarà

Poi li vado a sommare: