Metodi quantitativi per l'impresa

CALCOLARE UTILITA’ ATTESA CON INTEGRALI

Nell’esame possono capitare 3 /pi di integrali:

a a

ò a

ba +1

a. f(r) f’(r) dr = [f(r) ]/ +1

ò ba f(r) f(r)

b. e f’(r) dr = e

ò ba

c. f’(r)/f(r) dr = ln If(r)I

Per risolvere integrale devono essere soddisfaPe formule sopra (es. 1-> la funzione deve

molYplicare la sua derivata per risolversi).

DaM: - Intervallo [a;b]

- U(w) o U(x)

1) Scrivo formula generale

2) Scrivo formula sosMtuendo intervallo e U(w)

N.B. - (1+r) deve essere molYplicato per w (DEVO METTERLO APPICCICATO A W!!)

- Se w è alla radice o elevato a qualcosa, devo farlo anche per (1+r)

2w-1/3

Es. se U(w)= e E[U(L)] = ò

à AB 2w(1+r)-1/3

e

3) Cerco di trasformare integrale: 3/4 3/4 3/4

1. Porto fuori tuPe le costanM es. |2/3r -> 2/3 |r oppure |[w(1+r)] -> w |(1+r)

(w andrà sempre portarlo fuori, quindi meglio non molYplicarlo mai per (1+r))

2. MolYplico dentro/divido fuori per creare f’(r)

n.b. quella che divido fuori, quando risolvo integrale sos:tuendolo a formula, RIMANE! Quindi ci

sarà la formula sos:tu:va+le cose che erano fuori da integrale GUARDA ESEMPI MIREA

3/2 3 -∞ +∞ +)

Altro uYle per trasformare:W =√w E =0 E =∞ LN(∞)=+∞ LN(O =-∞

Me.ere tu.o alla seconda per togliere radice

4) SosMtuisco integrale con formula (con gli estremi)

5) SosMtuisco gli estremi (b-a) e risolvo 17

1) Integrali con variabile uniforme e conMnua

ò

∞-1. U[w(1+r)] f(r) dr

FORMULA GENERALE: E[U(L)]= ò ba

-> 1/b-a [U(w) (1+r)]* dr

((1/b-a perché è LA DEFINIZIONE DELLA FUNZIONE UNIF DI STAT 1))

F(r) qui è uguale a 1/b-a

2) Integrali con variabile NON uniforme e conMnua (PIU RARO, quasi mai)

Stesso procedimento ma diversa formula iniziale

Ci dà anche f(r) ò

ò ∞-∞ +∞-∞

U(x) f(x) dx -> [U(w) (1+r)] f(r) dr

FORMULA GENERALE: E[U(L)]=

- In questo caso quando sosYtuisco U(w) mePo anche f(r) come nella formula

CALCOLARE CERTO EQUIVALENTE CON INTEGRALI

È normale come dePo per LoPeria

Consiglio: Per togliere esponenziale, trasformare in logaritmo entrambi i membri

c c

Es. e =2 -> log(e )=log(2) -> c=log(2)

Bond e stock

OBIETTIVO: Devo scegliere quanto invesYre in AZIONI (S) e quanto in OBBLIGAZIONI (1-S) per

MASSIMIZZARE LA MIA UTILITA’.

S= % invesYmento in stock (azioni) 0<S<1 (RENDIMENTO INCERTO)

1-S= % invesYmento in bond (obbligazioni) (RENDIMENTO CERTO)

a. DATI:

%rendimento decimali probabilità

Stock (S):

R1=50% -> (in decimali=0.5) P1=1/2 (RENDIMENTO ALEATORIO/RISCHIOSO)

R2=20% -> (in decimali=0.2) P2=1/2 “ “

Bond (1-S):

R0=40% -> (in decimali 0,4). No prob (RENDIMENTO CERTO)

Ricchezza iniziale=w=… (se non la dà rimane generica)

b. Definizione S: “Chiamo la S la % in azioni (stock) che l’individuo vorrà invesYre, e S-1 sarà la

% che vorrà invesYre in bond, con 0≤S≤1”

N.B una volta ha dePo nel testo di chiamare S bond

c. Calcolo la formula con U: 2 1 2 3

FORMULA: E(S)= P1 U[SW (1+%* )+W (1-S)(1+%* )] + P2 U[SW (1+%* )+W (1-S)(1+%* )]

stessa base di loPeria: E(s)= P1 U(x1)+ P2 U(x2)

X1= WS (1+%Rendimento S1) + W (1-S) (1+%Redimento 1-S)

X2= WS (1+%Rendimento S2)+ “ “ “ “

18 d. Calcolo/molMplico all’interno delle parentesi 2

e. Tolgo la U e trasformo la w in base al soggeSo (w, w ,√w)

Trasformo tuPo ciò che è nella parentesi in base alla U(w) (quindi tuPo tranne le P1,P2)

Es. ½ (1,08w-0,02sw)+ ½ (1,08w-0,02)

2 2 2

Se U(w)=w +1 ½ (1,08w-0,02sw) +1] + ½ [(1,08w-0,02) + 1]

à

2 2 2

Se U(w)=w ½ (1,08w-0,02sw) + ½ (1,08w-0,02)

à

E(S)* (risolvila fino a che è comoda per fare derivata)

àTROVO

f. E(S)’=0 (Derivata prima =0 rispeSo ad S)

S:

àTROVO

(N.B: W DEVE ANDARE VIA, se non va via c’è qualche errore di calcolo)

Es. 0.2ws-0.3w=0 -> s=0.3w/0.2w -> le w si semplificano -> s=0.3/0.2 -> risolvo

*Se S SPARISCE

o

- Quando sparisce dalla E(s) faPa prima la E(s)’=0 sarà 0=0àviene SEMPRE Asà

INDIFFERENTE, scrivo “quindi per l’individuo è indifferente invesYre in stock o in bond, in

qualunque percentuale

Es. E(s)=2.2w -> E’(s)=0 (perché 2,2w è una costante)

- Se sparisce facendo E’(S), verrà un numero=0à IMPOSSIBILEà Valuto gli ESTREMI

Es. E(s)=0.001ws -> E(s)’=0.001w=0

Non compreso nel dominio 0<S<1: valuto ESTREMI*

o

N.B. TRANNE QUANDO W NON GENERICOà se il testo mi dà un valore di w (es. w=100) io lo

inserisco nella formula, quindi S che avrò non sarà compreso tra 0 e 1 perché non è una %, ma

l’ammontare di ricchezza (in euro) da invesYre in stock (quello in bond quindi sarà W-S)

(Guarda esame 8)

Se trovo S : Studio il segno (derivata prima>0) SE S>…= MIN SE S<…=MAX

à

o

- Se c’è MAX-> ACCETTO la soluzione.

Quindi trovo un punto S=n-> n=invesYmenY stock 1-n=invesYmenY bond

FRASE: l’invesYtore investe …% nello stock e il restante (1-s) nel bond

à - Se c’è MIN abbiamo punY stazionaY, valuto gli ESTREMI*:

ànon

*ESTREMI:

sosYtuisco S=0 e S=1 a E(S) e prendo il valore + alto tra i due:

E(0)>E(1) -> meglio quando S non c’è, quindi meglio 1-Sàinvesto tuPo in bond

E(1)>E(0) -> meglio quando S è max, quindi meglio Sà investo tuPo in stock

FRASE: Il massimo dell’uYlità si ha quando S=0/1 e quindi l’invesYtore invesYrà tuPa la sua

à

ricchezza W in bond/stock

Es. E(0)=1,18 E(1)=1,16->Il valore più alto è quando S=0->quindi l’invesYtore investe tuPo in bond

per massimizzare l’uYlità aPesa 19

Tabella per Mtolo 1 e Mtolo 2 (rarissimo)

à

È uguale idenYco al procedimento di bond e stock, ma devo decidere tra 2 Ytoli di cui ho:

- 4 % (due per ogni Ytolo)

- 4 probabilità (tra l’incrocio tra le due)

PROCEDIMENTO:

a. DaM Þ 20% (A) 10% (B)

Titolo 1(sopra -> 1-S)

ß

Titolo 2 (a sx-> S)

25% (C) 1/3 (AC) 1/6 (BC)

0 (D) 1/6 (AD) 1/3 (BD)

S=% invesYmento Ytolo a sinistra (Ytolo 2 qui)

1-S= % invesYmento Ytolo sopra (Ytolo 1 qui)

0<uguale S <uguale 1

U(w)=…(avverso/propenso/neutrale)

Domanda di base: quanto invesYrà nel Ytolo 1 e quanto nel Ytolo 2?

b. Calcolo la funzione con U:

è la stessa, semplicemente faccio tul gli incroci della tabella (ogni pezzo è molYplicato per le 4

P e al loro interno mePo le probabilità che rincrociano quella P con cui molYplico il pezzo)

E(S)= P(AC) U(Xac) + P(BC) U(Xbc) + P(AD) U(Xad) + P(BD) U(Xbd)

Xac= [W S (1+% di S (qui c) + W (1-S) (1+% di 1-S (qui a))]

1 2

E(S)= P(AC) U[(1-S) W (1+%A* ) +SW (1+%C* )]

+ P(BC) U[(1-S)W (1+%B) + SW(1+%C)]

+ P(AD) U[(1-S)W (1+%A) + SW(1+%D)]

+P(BD) U[(1-S)W (1+%B) + SW(1+%D)]

*1 prima % in decimi del /tolo corrispondente a 1-S (/tolo 1 qui)

*2 prima % in decimi del /tolo corrispondente a S (/tolo 2 qui)

-> N.B vicino a (1-S) ci vanno le probabilità del Ytolo 1-S (Ytolo 2 qui) e vicino a SW ci vanno le

probabilità del Ytolo S (Ytolo 1 qui) 2

c) Tolgo la U e trasformo la w in base al soggeSo (w, w ,√w)

d) Derivata prima =0 rispeSo ad S

Se S sparisce, soggePo indifferente scrivo “quindi per l’individuo è indifferente invesYre

à

o in stock o in bond, in qualunque percentuale”

Se S non compreso nel dominio 0<S<1: valuto estremi*

o

(anche qui alcuni file dicono che che se S scompare vuol dire che la scelta tra Ytolo 1 e Ytolo 2

è indifferente)

20 Se ho punto stazionario: Studio il segno (derivata prima>0)

o

- Se c’è MAX-> ACCETTO la soluzione.

Quindi trovo un punto S=n-> n=invesYmenY in Yt a sx (2) 1-n=invesYmenY Yt sopra (1)

FRASE: l’invesYtore investe …% nel Ytolo 2 e il restante (1-s) nel Ytolo 1

à - Se c’è MIN->non abbiamo punY stazionaY, valuto gli ESTREMI: sosYtuisco S=0 e S=1 a E(S)

e prendo il valore + alto:

E(0)>E(1) -> investo tuPo in Ytolo che è 1-S (Ytolo 1)

E(1)>E(0) -> investo tuPo in Ytolo che è S (Ytolo 2)

FRASE: Il massimo dell’uYlità si ha quando S=0/1 e quindi l’invesYtore invesYrà tuPa la sua

à

ricchezza in Ytolo 1/Ytolo 2

ASSICURAZIONE (rarissimo) 21

ESERCIZIO 4

1) COURNOT

a. Con parametro A

Produzione=q=q1+q2

FUNZIONE PAYOFF (profiPo): π= P(q) (q1 o q2) – (C1 o C2) (cioè p q – C)

Determinare funzione di profiSo (π)

- mePete sempre all’inizio q1 e q2 >0 strePamente e A>0. (vincolo)

- Scrivete l’intervallo S1=S2=(INTERVALLO) ->se non lo da è (0;+∞)

- Calcolo i profiq delle 2 aziende (π1 e π2). (Ovviamente vi porterete dietro il parametro A

fino alla fine.)

-sosYtuisci q=q1+q2 nella formula di p (es. p=2-q -> p=2-(Q1+Q2)) e risolvi:

1: π1 (q1, q2) = p q1-C1

àAzienda 2: π2 (q1, q2) = p q2-C2

àAzienda

Determinare gli equilibri di Nash per q1 e q2 e (0;+∞) (UGUALE AL TEST DI NASH)

Test di nash:

- derivate= 0 ( π1/q1 e π2/q2) a sistema trovo q1 e q2 -> trovo P(q1* q2*) (punto candidato

ad essere equilibrio di Nash)

se trovo 0 o più punM oppure q1 O q2<0 non esistono equilibri di Nash

à à

- derivate seconde<0 e verifico se sono tuPe negaYve

sono entrambe <0 il punto trovato P (q1*;q2*) è equilibrio di Nash

àse à

SE EQUILIBRIO DI NASHà “q1 e q2 rappresentano le quanYtà che le aziende devono produrre

simultaneamente per massimizzare il prodoPo”

Discutere le condizioni del parametro A (A FINE ESERCIZIO)

MeSo C.E. sistema

- A ≥0

- Punto>0 (quindi q1*>0 e q2*>0)

- P (prezzo) >0 (a cui sosYtuisco q1+q2 e poi q1* e q2*)

- (Eventuali condizioni di derivate seconde)

- pongo p>0, da cui ricavo A

Prendo soluzioni comuni di A

à

SE FALLISCE APPLICO DEFINIZIONE DI NASH (guarda funzione di uMlità)

à

b. Normale (senza parametro)

IdenYco a quello col parametro (unica differenza è che non ho parametro quindi non studio A):

Determinare funzione profiSo, Equilibrio di Nash, No discussione parametro

CASI PARTICOLARI, Può anche chiedere: (DA METODI E BENEDETTA)

- Che cosa accade nel caso in cui l’azienda 1 sme.a di produrre? Quanto sar