Esercitazione Metodi quantitativi

T,C.

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ES~HPiO

T,cI .

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J.

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I~ i

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p(,):: +00

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T

¾-~ /.O{X) fvVl'\-CO

C

oL-'., "1-(X) {

llQ, +-:}.00(-1-p)

f2IXJ2, l'Y:Jo·P =laxJ

r~ e =

x(T) 1'300-la:b.::&:x,

x(c)

X -'500

+ae>-lOOO::

DEFINIZIONE Funzioni misurabili X,

Per evitare che le probabilità P non siano definite conviene restringere la nozione div.a. alle applicazioni

x x

O, X: s

P X(w)

definite su a valori reali, purché risulti ben definita, per ogni numero reale ossia

purché, x,

• comunque si scelga il numero

Ax x

w A

s

X(w)

• l'insieme degli eventi elementari tali che sia un evento, ossia appartenga ad (in

E A).

Ax

simboli O A.

Tali funzioni da verso l'insieme dei numeri reali sono dette misurabili (nel senso di Borel} rispetto ad Si

dicono anche B-misurabili.

DEFINIZIONE Variabile aleatoria O A,

è

La variabile aleatoria (v.a.) definita su una funzione misurabile rispetto all'algebra di eventi associata

O,X:

ad

Variabile aleatoria discreta e funzione di probabilità

• X sia una v.a. che può assumere un valore qualsiasi tra quelli dell'insieme finito

xl, x2, ... , xm (o un insieme numerabile di valori xl, x2, ... )

• l'assegnazione di probabilità su O trasferiti da X sull'insieme dei numeri reali può descriversi il

X;

associando a ogni possibile valore il valore p; che rappresenta la probabilità che X assuma valore

X; Pt X1)

= =

P (X(w)

nel primo caso per gli m valori indicati, nel secondo per l'intera successione

• In ogni caso sarà Ps

O I 1

P;~ per ogni i e =

L è

La funzione che associa ad ogni x; la probabilità p1 detta funzione di probabilità

•

1.ll'<.-4">< 8

Variabile aleatoria continua e funzione di densità di probabilità

x(UJ)

tk

G>,,o~ CMf.o

u h

<x

X11 X"+~

è

e la probabilità descritta da una funzione di densità di probabilità p(x)

f ')('

La probabilità che il valore della variabile giaccia su un determinato segmento dell'asse orizzontale è uguale

all'area della regione verticale delimitata da tale segmento e dalla funzione di densità.

Funzione di ripartizione

DEFINIZIONE

La distribuzione di probabilità di una v.a . può essere comunque e soddisfacentemente descritta tramite la

F

c.d . funzione di ripartizione, una funzione definita da :

sx]

F P[X(w)

X=

• In sostanza, asserendo che F(x)=0,6

Variabile aleatoria discreta

Per le v.a. che possono assumere solo m determinazioni xl, x2, ... , xm

con probabilità associate pl, p2, ... , pm

-~

1. --- - - - - - - ,I

,..._, "tt."-'

f

l •

Variabile aleatoria continua è

Quando l'insieme delle determinazioni infinito non numerabile ci si trova tipicamente di fronte a funzioni

di ripartizione con il grafico della funzione di ripartizione di questo tipo

x,+h x

Variabile aleatoria assolutamente continua

DEFINIZIONE

è

Una v.a. assolutamente continua se esiste una funzione f non negativa tale che la funzione di ripartizione

F può essere rappresentata come segue:

=t

=

F(x) P[X(w) x] J(t)dt

0

t ;'

o

Segue che ,- oo) e +oo) l

= = =

F( f(t)dt

F(

è

• La funzione f chiamata la funzione di densità della v. a. X

(a ~JbjC><)~

~xfb) f(b)-f(o-)

p = :e

J: j(x)<A~

(x~ ~)

p O

()<<Oj::

p p(>< ~().) xl+h

xl,

Considerato un intervallo d'estremi per valutare

P(xl X(w) xl +h)

s

<

possiamo ricorrere all'espressione corretta

F(xl F(xl)

= + h) - xl+h.

xl

rappresentante l'incremento della funzione di ripartizione al passaggio da a Si può scrivere

= =

F(xl h) - F(xl) (xl) f(xl) o(h) O

+ + +

F' h o(h) h h

per

Valendo f

Quindi la funzione densità di probabilità non esprime una probabilità, ma moltiplicata per l'ampiezza di

un intervallo di valori assunti da X dà una valutazione approssimata della probabilità che X cada in tale

intervallo

f(x1)dx1 P(x1 S X

SX1 dxi)

+

= FO<>

Esercizio ~o

f

( 1

1

e 4)

wJ:

= x w w

x P

p" P ( 1)-:. 1 • f= ½

,w~)

p p =>< ,) ::

(x(w) W2

P ~(

;

2

w., +IDO

.

w~ -W

W3 -1/)

h;_

_ _

4--100

T Wil-

~;.u:;. --·- --

J

-- -

'

-+O A '

\Oo

FN 1

j .

[ 2

2 '2 -lO IOO

Valore atteso /Speranza matematica è il

valore atteso

Il di una variabile aleatoria X valore medio che si ottiene considerando le probabilità:

DEFINIZIONE

è discreta, è è

il

-Se la v.a. cioé il numero di possibili determinazioni finito, valore atteso definito come

= }:f,;

E(X) pi

X •

1 1

L: f x :

è continua

-Se la v.a. con funzione di densità

00

=

E(X) t • (t)dt

f

Esempio 6.2: lancio di un dado

><>;:3 .

><--z::2 '><4=4 ><s=S :::.6

XA-=1 X-

f 6

P(><t)=

Péx1);: PC><6)'.::.

p[xs) =

P(x4)=

p(x"!,)::

f (><) = .. "' ::: 3, 5

Proprietà fondamentali

~) y 0-

oAo.lon.._ t

2) Y~ r1.o-

AA. t(

t3t) :: o...E(Y) .}-

f ( t)

C\.Y + X

~) - t::.tL o--

I\F",

Una misura di dispersione: la varianza

è

Una misura di deviazione dalla media la varianza.

y E(y):

Data una v.a. di valore atteso

è

• y - E(y) una v.a. di valore atteso nullo

= =

E[y - E(y) ] E(y) - E(y) O

, f[?- (t)]'":,-o

-r; ~(">')]2

y -

• il. Ot, [

Varianza e Deviazione Standard

DEFINIZIONE 2

è

varianza della v.a.

La y definita come il valore atteso della v.a. (y-E(y))

y

a 2

2

-y)

var (y) = E [(y = dove = E(y)

O

]

è

Se la v.a. continua:

L:=

= [t - E (y ) J2 f (t )dt

var(y )

DEFINIZIONE

Deviazione standard =

= 2 J

ay [(y - y) è

È espressa nella stessa unità di misura della quantità y ed un'altra misura con cui y devia dal proprio

valore atteso.

Formula (6.2) per calcolo della varianza

il -[E 2

(yfl

E['/]

(y)::

Nib1,

Proprietà della varianza

>< ~(}-

~b o):>

y ..f..t

0-.X O:• (x)

E (Y,):::

(Y)

=9' tJ?)Jt., rJ7)Jt-

J

(1) "' dlx)

I ·

x) \ o.

2

O' (l.. "17)17.. (

•

Distribuzione di bernoulli e binomiale

-Controllo qualità

-Analisi di mercato

DISTRIBUZIONE DI BERNOULLI (n=l prova)

Eseguiamo una prova/esperimento i cui possibili esiti posso essere:

p

• successo con probabilità p con O s s 1

• insuccesso con probabilità 1-p

è

X

La v.a. detta di Bernoulli se: è X=O

• assumerà valore X=l (se l'esito un successo) e varrà (in caso di insuccesso)

X

• con funzione di probabilità di

e

PX=1=p PX=0=1-p

DISTRIBUZIONE BINOMIALE (n prove)

Eseguiamo n prove in modo indipendente ognuna delle quali abbia come possibili risultati un successo con

probabilità p e un insuccesso con probabilità 1 - p. è

X X

La v.a. rappresenta il numero di successi che otteniamo nelle n prove, allora detta v. a. binomiale di

parametri (n, p) . è

Quindi una variabile aleatoria di Bernoulli semplicemente una variabile aleatoria binomiale di parametri

(1,p). è

La funzione di probabilità di una v. a. binomiale di parametri (n, p) data da

G)i (l

p(k) P (X= k) -p)n-k

= =

è X= = O,

che la probabilità che k successi, con k 1, 2, ... , n, dove :

cn 11 !

= e =n (n-1)0(n- 2)J .. ·2·1

k!(:~k) !

Triangolo di Tartaglia per il calcolo dei coefficienti binomiali

1. fJ

K ~ (

K1r1M,Wy;_, < (-1-p)

(>\.-K

• m, ~r-~

(1-p)tt-·K

p

Hp K,

H-Pr-1(

R) K) ,

= (

p ()(,;: pK.

(;-~)t

(t)"= K!

Esempio

4

(t\..~

( Ì) 6 si) -s ~) ( ss)

(se

(ss ~s)

(s s s)

L L

( i. s ( et.-

i.

~i.,)

4l (~p (1;-p)2

2

Proprietà delle variabili aleatorie binomiali

è

-se X una variabile aleatoria con distribuzione binomiale di parametri n e p il valore atteso E(x)= n·p

è

Scriveremo X~ Bin (p; n) per indicare che X una v.a. di parametri p and n.

Grafico in corrispondenza di n = 15 e diversi valori di p=0.2; 0.5; 0.7

f()(-k.)

\'-0,1.

-,

" ' '

' ,

1 ' '

I

I

o AD l3

Variabili aleatorie normali

è è µ

Una v. a. X detta normale o gaussiana (o che X distribuita normalmente), di parametri e o2 se la

è

funzione di densità di probabilità

1 (x-p)'

f R

(.r) == E

-e---i;;,- X

a,/'Ei è

La funzione di ripartizione Ct,-p'

P(x)"" (" _ ~ e dt

Lmuv2rr_

· ~ 1

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f"'-,;:r )J--r ft2tr J>+!>tr

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cr~ ,A'IA.'4MJQ.

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N 1

Proprietà importanti

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X-

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N 2

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(Statistica per l'azienda)

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