Aggiornamento lezioni Metodi quantitativi

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• La figura mostra con linee tratteggiate il profitto (che comprende il rendimento e il costo inizié!!e)

associato a ognuna delle componenti. è

• La funzione di profitto complessiva della combinazione la somma delle singole funzioni

componenti. è

• Questa ,particolare combinazione porta a un profitto positivo se il prezzo del titolo alla scadenza

è

K2,

vici110 a altrimenti la perdita abbastanza piccola.

• Il rendimento di questo spread si ottiene sollevando la curva in modo c~e i tratti orizzontali

tocchi.no l'asse: la distanza di tale spostamento corrisporde al cos,o netto delle opzioni.

è

Questa combinazione utile se si crede che il prezzo S(T) del titolo sottostante alla scadenza T sia:

K2,

• prossimo a cioé prossimo al prezzo corr~nte S(0);

K1< < K3

• ,rimanga nel range S (T) '

'

E' importante sottolineare che le combinazioni di opzioni e titoli consentono di approssimare qualsiasi

I '

funzione di rendimento mediante una sequenza di segmenti rettilinei.

è

Il costo complessivo pari alla somma dei costi delle singole componenti. ·

• Nel caso di posizione lunga {cçin;-ipra) si paga un premio ,

• Nel caso di posizione corta (vende) si incassa un premio 41

Parità put-call

Per le opzioni europee esiste una semplice relazione teorica tra i prezzi /premi delle corrispondenti opzioni

put e cali con lo stesso strike price e sullo stesso sottostante.

Questa relazione si ottiene con un'opportuna combinazione di:

• Una vendita di un'opzione put

• Un acquisto di un'opzione cali K a

• un prestito privo di rischio di importo scadenza con lo stesso payoff del titolo sottostante

+

K Cali -

S(T) = Put S(TJ

Parità put-call all'epoca O

Payoff in T:

• Si incassa il payoff della cali

• · Si paga il payoff della put

• Si incassa la somma K

• S(T) è il sottostante +

= +

S(T) Call(T, K )- Put(T,K) K ,

Strategia da attuare in O vedi

• Si acquista una long cali .

• Si vende un short put

·• Si presté;i la somma d • K

Si denoti con:

• · S =S (O);

K è

• d = ilval~re attuale in O di K, dove K esigibile in T

1

1

.

• ,è =Val Att Càll(T, K )

• · p·;,, Val Att Put(T,K)

S- d · K c-·p

Esempio 12.2 (quasi parità) ,

Considerate le opzioni GM della Figura 12.1 p. 327 e concentratevi sulle due df marzo a 35 (con 3 mesi alla

i

è 3- _

(4

scadenza). Si hanno C = 4.25 ¼le P = 1.00. , . 4

è il

Il tasso di interesse per questo periodo di circa 5.5%, perciò in 3 mesi abbiamo: t2

J

= = rl=

o,.986. •. ,·

+ - 1 ~

· d 1/(1 0.055/4) o, +

6- =

'.25 - 5 <t

-1 + 3

+

Prezzo teorico S =C - P d K = 8 b • ,

'.j ?,

1

Ciò si awicina molto al prezzo effettivo del titolo 37.875 dollari, ma:non lo ~guaglia·.

il

La differenza tra valore teorico e quello reale si può spiegare in vari modi:

1

· • le quotazioni del titolo e dell' opzione•

non provengono dalle stesse fonti.

è

• Anche i dividendi possono influenzare la· relazione di parità, come discusso nell'Esercizio 2.

I Il ' I ,I L{l.

Premessa

Il prezzo delle opzioni può essere ottenuto attraverso due strategie equivalenti:

il

- Strategia di replicazione: si costruisce un portafoglio che replica payoff dell'opzione. (x+b)

x= quantità di euro investiti nel titolo rischioso

b= quantità di euro investiti nel titolo certo

- Strategia di Delta-Hedging (Cenni): si costruisce un portafoglio composto da un'opzione e un numero

opportuno di azioni.

Opzioni nel modello binomiale uniperiodale

PREMESSA: Metodo del Risk-neutral Pricing

il il

• Esistono differenti metodi per pricing delle opzioni, basati su diverse assunzioni riguardo

mercato, le dinamiche di comportamento dei prezzi dei titoli e le preferenze personali.

• Le teorie più importanti poggiano sul principio di assenza di arbitraggio.

• La più semplice di queste teorie si basa sul modello binomiale delle fluttuazioni del prezzo discusso

nel Capitolo 11, ed è ampiamente usata nella pratica per la sua semplicità e facilità di calcolo.

11 pricing dei prodotti finanziari derivati si basa sul fondamentale «principio di non arbitraggio»

• valore «atteso» scontato del suo valore futuro del payoff dell'opzione al tempo T

il

• dove calcolo del valore atteso viene fatta rispetto una «opportuna» misura di probabilità

I passaggi sono i seguenti:

1. Si stima la distribuzione dei prezzi futuri del sottostante; il

2. Per ogni possibile prezzo futuro del sottostante si calcola valore futuro del corrispondente payoff

dell'opzione;

3. Si assume

• Assenza di arbitraggio

• Mercato completo

4. Si applica la tecnica delle probabilità neutrali al rischio

Ipotesi di mercato perfetto (Parte I)

• sono consentite vendite allo scoperto;

• (ii) i prezzi rappresentano simultaneamente prezzi di acquisto e di vendita dei titoli, owero non vi

sono attriti sul mercato: differenze denaro-lettera (bid-ask spread), imposte o costi di transazione;

• (iii) i titoli sono infinitamente divisibili ne possono acquistare o vendere anche quantità

arbitrariamente grandi;

• (iv) i titoli sono infinitamente disponibili, cioè si possono acquistare o vendere quantità arbitrarie.

Legge del prezzo unico

In assenza di arbitraggio vale legge del prezzo unico (L.O.P.) che richiede che i portafogli che hanno lo

O.

stesso vettore dei payoff in T debbano avere anche lo stesso prezzo al tempo iniziale in

Il prezzo all'epoca iniziale viene detto prezzo di non-arbitraggio.

Opzioni nel modello binomiale uni-periodale

O:

Epoca prezzo iniziale S del sottostante

Epoca 1: il prezzo sarà

• u•S con probabilità «reale» p oppure O

• d·S con probabilità «reale» (1-p) con u > d >

Inoltre si suppone che sia possibile scambiare denaro al tasso di interesse senza rischio r. Poniamo:

R = 1 + r = fattore di montante dopo 1 periodo

Per eliminare opportunità di arbitraggio deve valere la seguente relazione:

u>R=l+r>d

Reticoli binomiali uni-periodali

• S prezzo del titolo

• Valore di un titolo privo di rischio

• Payoff di un' opzione CALL dopo 1 periodo·

?

• C prezzo call al tempo O

u5

·<: <<--•·

I< ~-.;Q

Il e o

in

Ricerca del prezzo di una call è

• ntolo privo di rischio: in t=l il valore deterministico e pari a R il

• Titolo rischioso (titolo sottost~nte): in t=l se il prezzo si muove verso l'alto, allora titolo senza

rischio e l'opzione call si muovono entrambi verso l'alto.

S= S(O)

S(T) = U·S oppure d·S

C sarà determinato a partire dai valori .in t=l attraverso quello che verrà chiamato "Portafoglio di

replicazione"

Valore della Call dopo 1 periodo (CRR)

c. = S

max(u •

S - K, u.

se

O) il sottostante val~

= d-S

cd s -

max(d . K ' se

O) sottostante

il vale

Si investe in t=O:_

x= euro .nel titolo rischioso

b= euro nel titolo non rischioso 1

e imponi'amo che' il payoff all'epoca sia uguale al payoff a scadenza della call. Portafoglio (x+b)

= e

R · b u-S .

se il sottostante vale

•U • X+ u

=

'd •x.+R •b CJ il

se sottostante valed·S

.

'' 'cu

Quindi si ha un sistema con due equazioni, risolvendolo si trova:

-Cd

= --"'-.

--=-

X d I I

Ù - è

, x= quantità di euro da investire nel titolo rischioso, una quantità sempre positiva.

' '

b= u -C~.- d·C,, , ;

R• (_u.- d ) b= quantità di euro da investire nel titolo cert~.

Pre~~o del portafoglio composto da x+b

Cd)

e~ - dc.M-

M. . Ccl -

( + (M-d)

d I<

X+b -=\) .M-- Il

Che s_

i Pl;IÒ risc_rivere.come ' .

.cd]

x+b =_.!_ ,[R-d ,. C~ + u-R

R u .:.. d u-d ,

1 li

Per il pri~cipio di non-arbitraggio: valore (x + b) in O deve essere pari" aì payoff atte~o futuro, scontato con

fattore di sconto 1/R. ' ·

Condizione di non arbitraggio

~IIIQ:

• Dim per No mpney ·

pumps

• Un metodo alternativo di scrivete x: Delta-hedging

8_ C',,-C.,

x= C"-C•=S· C, - C/;_ = S -t':,.

, ù- d , :, S,(u'~ d) , $•Ji"'.,<;.d .:., .

~'-·<.~\~

·.~'f:'

:·: · ~~;_f ' : '-'i _,. '·.•','i:'

J.. '

'' • 'J

e,

• C - WJriazione tkl valore del derivaltJ ·

S •; -S •

d WJria::ione del valore del

.i =

= so«os141lte ' .. 111

Prezzo Call in O +b =,S :ll.

t = x + b 4-4-

=

Prezzo della call ·C]

Per la condizione di non-arbitraggio deve essere

C =..!._-[R-d ·C u-R

+

R u-d u-d

u d

• Valore attuale della media ponderata

• Viene chiamato fair price del prodotto finanziario derivato.

Non compare la probabilità reale/statistica p

Portafoglio (x+b) di replica della èall

• Il portafoglio costituito da x euro di titolo rischioso e da b euro di titolo privo di rischio riproduce il

pavoff finale dell'opzione.

• E' chiamato portafoglio di replica della Call, in quanto replica l'opzione.

Formula del prezzo di un'opzione/ fair price / prezzo equo

Denotiamo con R-d

q=--

u-d

> >

• da u R d

• q può essere interpretata come una pseudo-probabilità/ probabilità neutrale al rischio/ risk

neutral probability

Formula del prezzo di un'opzione: Rlsk-neutral pricing

1 {q·C., +(1-q)•Cd]

C= R

Valore atteso= media pesata

q= probabilità neutrale al rischio

Interpretazione formula

è

C una martingala attualizzata in O, cioé

è

• C il valore atteso rispetto alla probabilità neutrale al rischio q del payoff attualizzato al tasso senza

rischio. è

&b