Metodi matematici e numerici - parte 1

V-O

"✓ Il > 0 e I/✓ 11=0

b) ∀ VEV (proprietà di OMOGENEITÀ)

111 v11 = HIIIVII

∀ SEIK (DISUGUAGL.TL ANGOLARE)

C) ∀ V, WEV Il vtwil ≤ I/VII + I/WII

ESEMPI DI NORME

1) NORMA EUCLIDEA ½

m

VEG" ✗ ∈ E =

11×112 = È ✗ i /✗ il"

1=1

2) P-NORMA ⅓

p con 1 spa o

✓ e ci 11×1/p =

✗ ∈ E IX:/P

1=1

2. 1) TAXI P-NORMA (p-1) 11×111 = È, /✗ il

3) NORMA INFINITO "✗ 110 = max { /✗ il}

1=1,-.-, m

DIMOSTRAZIONE delle PROPRIETÀ

① Proprietà operatore aggiunto: AEC"" allora

∀ X, Y E ¢": LAX, Y > = CX,#y >

VETT. VETT. MATRICE VETT

MATRICE di VITTORE PRODOTTO

SCALARE

DIM LAX, Y) = Σ (ai; ×;) % = EI è; ×; I = E ×; (ai; Y;)

I,;-1

I, 1

= (X, AY >

Le matrici UNITARIE preservano il prodotto

(4#= 4'")

② LUX, UYS = (X, Y)

DIM LUX, UYS =

↓ CX, 4' Uys = ex, Idy > = (X, Y)

per la propr. Id

1

③ Una matrice Hermitioma (A'= A) da mate. unitarie

sono diagonalizz.

D'" A-A Hermitiana ⇒ D= EAU diagonale

Si noti che D Hermitiana, infatti

☐ * = (Wan)"= (HAU) = U'AU =D

(ABI = BTAT

D

una matrice Hermitiana ha tutti autovalori reali

3. 1

dij = di:* = di ⇒ dii = - di ⇒ di: EIR ⇒ dii EIR autovalori

• di A

D AUTOAGGIUNTO Simmetria in I

4) Ogni matrice unitaria ha autovalori di norma 1

DIM ∀ ✗ €0 LX, ✗ > = cux, uxs = Cdx, DX '=L] ai

autovalore per 1 E. ✗ > - E. ✗ > - ⇒ 1=1112 ⇒ 111=1

allora dividendo ↳ , ✗ > = DX CX, ✗ > -

5) Le matrici unitarie preservano la 11-112

LUX, Ux, (-2)

dim Il 41112 = ⇒ 110×112=11×11

- 11×112

✗ , \

E A E IK M '" e in t r o d u c o 1/A ll : = m a x

1 la ij i

s i p ro va c h e è un a n o rm a m a I n E ss o

n o n è S U B M O L T IP L I C A T I V A

S ia ( m in - 2 ) c o n s id e r s A = B = ( 1 ) → A B : ( ? ? )

p r o d o tt o r ig h e x c o lo n n e

H o ch e 11A M 11 B II = 1 e c h e H A B II = 2

è e v id e n t e c h e H A B II F U A LI - IIB II c io è 2 € 1 .1

N O R M A D I F R O B E N IU S ( s p e c ie d i n o r m a 2 s u m a t r ic e v is t a

2 c o m e u n g r a n d e v e tt o r e )

E I E 12 1, 12 è l a n o r m a d i F r o b e n iu s o n o r m a m m

I/ A lle 1= 1 5 = 1 e u c li d e a in ¢

c o m p a t i b il e c o n l a n o rm a v e tt o r i a l e e v e li d e a 11 . 1 12

P o n ia m o pe r s e m pl i c it à m = n

1 2

IIA X III = , È ( 1 E i a È / È / a i: 1) ( E N I )

j D IS U G U A G L . e x ,» / ≤ /P X A N Y U

D I S C H W A R Z ↳ I

= IIA X I II ≤ Il A LE 11× 112 2 c o m p a t i b il e c o n Il . 1

1. 2. 4 NORME NATURALI M, M

Due norme su C" e ¢" producono una norma su ¢

DEF Siamo 11.11m e II. In due norme su c'e [rispettivom.

Allora si definisce 111 • 111min : am"→ IR

dove 111.111min - SUP "AX/In questa è una norma matriciale su ci", che viene

detta NORMA MATRICIALE INDOTTA O NORMA MATRICIALE

✗ E 4-103 11 ✗ 11m NATURALE

(Ricorda 11.11 norma vettoriale!)

Dimostra che sia una norma

1) Il/ A 111 > o voglio dimostrare la POSITIVITÀ ✓

Il/ All 1=0 ⇔ 11 AXIlm = 0 ⇔ AX = O E) A = 7

dove ✗ non può essere zero

2) OMOGENEITÀ 111 da /Il ≤ 111 Il/A /11 sup IIAXIlm

111 dall/= sup 11 AX 11m - sup 1 I IIAXIlm d

11111m - ×#11111m

¥0 "✗ 11m ✗ ¥0 non

dipende da ✗ è IIIAIII

- 111 - MIA/Il ✓

3) DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE Il/ AtBIl/ ≤ 11/A/Il + Ill Bill

Im

si osserva Il/All = sup IIAX IIAXIlm (⇒ MANI ≥ "Axum

✗ ≠ o Ix/In

IX/In 11411m

essendo il sup

⇒ MAX 11m ≤ Il/All- 11111m

↑

ho dimostrato la compatibilità

Norme naturali sono COMPATIBILI ✗ DEF

Sostituisco CAAB) al posto di A ed ottengo

Il CAT B) ✗ 11m ≤ 111 ATB 111. 11×1/n

≤ I/Axl/m + Il BXIlm

11m

≤ (IIIA Il/ + Il/Bill/11.x

Segue che 111 AtBIII ≤ Il/A 111 + IIIBIII

Esempi di Norme Naturali

1) Partendo da 11×111 = EI /✗ il si dimostra che

è la somma massima

Il/Allle = sup, MAX/In = majx II laijl T a le colonne

in Ja

Cioè fisso una colonna ji e sommo le righe ottenendo ✗

1

~ ~ lo rifaccio per le altre colonne ottenendo ✗ 2, ✗ 3 --

↓

✗ 1 ✗ 2 13 Delle ✗

1. _in prendo il Max (+ grande)

2) Partendo da 11×110 = max /✗

il} si dimostra che

1=1,---in

111 Alla = max È, laiji somma mox delle righe

PROPRIETÀ AGGIUNTIVE delle Norme NAT.

1) Ogni norma NAT è compatibile ✗ def. 11 AXII ≤ 111A/Il 11×11

2) Il/ IIII = 1 infatti 111 Ill/ = sup 111×11 = 1

✗ #O 11× "

NORME e AUTOVALORI

• Spettro e Raggio Spettrale

Sia A ∈ 6" " definisco lo spettro di A z

OCA) = IDEE dove I autovalore di A

definisco il Raggio spettrale di A

9 (A) = max 111 t.C.DE OCA)}

TEOR (Norma NAT. INDOTTA DA NORMA 2 )

Data AEC"" Il/Alla = 9 (AXA)

TEOR DI HIRSCH (lega qualsiasi norma not. di A con 9)

PCA) ≤ Il/Alll in altre parole p (A) rappresenta un minimo di tutte

le norme naturali

Dim sia I autovalore di A tre. AX = XX

111 11×11 = 111×1/= HAXII ≤ IIIAIII 11×1 ⇒

dalla compatibilità

⇒ 11111×11 ≤ INAIII 11×1 → 111 ≤ INAIII ∀ d autovalore

SIA) ≤ / All/

autovalore di modulo →

massimo

Propos. Il teorema dice che data:

AEC"" 1 E > 0 allora ∃ 111- Illa, t. c. Il/Alla, ≤ GIA/+ E

• CONVERGENZA

Introduciamo la SUCCESSIONE (◦ SEQUENZA) di matrici come:

A"" dove A'M ∈ 6mm

sia KEN motrici complesse

- CONVERGENZA DI UNA SEQUENZA DI MATRICI

DEF Una successione di motrici si dice CONVERGENTE alla moto. AECI'

"

se lim 11AM'-All = 0 la convergenza rispetto ad una norma

K-70 implica convergente risp a tutte le altre norm

- CONVERGENZA DI UNA SERIE DI MATRICI

DEF come limite della successione

Definisco la SERIE aΣ, A CRI delle somme parziali:

A 'l)

Su = (li←m

→ Su = ET M)

÷

TEOR (lega convergenza e raggio spettrale) INFO

A'" 'è il k-esimo

① lime, ∄" -o ⇔ SAI < 1 elemento della succes

AK - A-A-..- "

② È A" converge ⇔ FAI 41

K-O =

Nb In particolare Σ AK converge ⇔ lim "

K-7W

Inoltre se 2 È A" = (Id -A) "

K-O

DIMOSTR.si 1

(⇐ ) Prendo un Σ te. " ' All'A. E < SIA/+ E < 1

111 All'A. e ≤ Il' All'A. {Il/Allla,, = 111 All ,

III A"ILLA, ≤ Illa Illa; > O per k → a

analogom

Sia lim AK- ^ ✗ autovettore a I autovalore ⇒

→ ) K-M ≠ 0

⇒ AX-DX → A" X = "✗ ☆ =D ⇒ 111<1

⇒ ligny A" X = O ⇒ lim XX = O =D lim

K-> A

K → O

Quindi PLA) < 1

DIM sia 1 autoval e ✗ suo autovett

2

(Id-A) X = X-AX = ✗ (1- dx) = (1- d) ✗

⇒ 1- > è autovalore per Id-A

Poi vale (Id-A) (la TATA? + ---+ A" ) = Id -A"""

Pertanto (Id-Al - Σ: A"= L'd- A) lim (Idtat-TAK)

Id-Akte

= liggy

La Σ CONVERGE ⇔ GIA' 21 e È A" = (E, la-A") (Id-15'

l

= (10-cin A (Id-15'

LEZ 3 - 07/10/24

DEF Data AEC

mm è detta a PREDOMINANZA DIAGON per se

RIGHE

ti-1,---i" /ai:/ > nΣ lei;/

¼; sommatoria per j da 1 am e #i

A è detta a PREDOM. DIAG per COLONNE se

∀j= 1, -- , m /ai:/ > Èi lait

i#

COROLLARIO Una motrice a PREDOM DIAGONALE è INVERTIBILE

Es an è > della somma della riga

(100

8 33

DIM vogliamo dimostrare A predomin diog ⇒ A invertibile

oppure (è =) A non invertibile ⇒ A non predom diag

A non invertibile ⇒ detta) = 0

ED ∃ ✓ E ¢" t.c.AT = o

Indichiamo con Vi = max lui te. 5=1,-. _, m Essendo 1 Vi/ ¥0 ⇒ anche IV: 170

L elementi di ✓ = {un..

_, un} ≠ 0

=

(AV) = O ⇒ È Rij Vi ⇒

◦ ⇒ Σ RIJV; = - ai vi ⇒

⇒ , aij vi + ai; vi = ,

diag

SEI DISUG TRIANG

tutte le altre Nils / Vil per come defin Vi

⇒ laiil/vi/= È Qij Vi/ ≤ 1 ai; i/Vi / ≤ III /ai/ /Vil

mm I

i#J

/ aiil ≤ IL/ai:|

Dividends

per lui' J#i PREDOM DIAG quindi è

⇒ A non invertibile ⇒ A non è a

vero il contrario (a invertibile A predom Diag)

1. 3 - MATEMATICA NUMERICA

Trovare ✗ ER" tale che:

F- (x, d) = 0 d E D ≤ RM dei dati (iniziali)

•

Abbiamo 3 "ingredienti" • ✗ ∈ R" vett. delle incognite

• F è la formulazione algebrica del problema

2 Tipologie

- , ✗ incognita

(1) DIREITO = Fed note

(2) INDIRETTO = Fex note , d incognita

(inverso)

055 Formalmente - matematicamente

✗ < > d sono formalmente equiv

diretto < > indiretto

• PROBLEMA BEN POSTO

DEF un problema FIX, d) =D è detto BEN POSTO se

ammette un'unica soluzione + dato dED e dipende

da in maniera continua.

Ovvero: incremento

∀ deD, ∀ Jd t.c.at Sd ED

(I) ✗ + SXER" t.c.FI#Sx,d+Sd)=0

∃!

(II) 1>0 7K. > o tic. Il Sall ≤ % ⇒ 115×11 ≤ Ko- Ilsall

∃

In base a quanto sarà il Ko tra sx e Sd si parlerà di problema

Ben Condizionato

ben posto o Mal Condizionato

1. 3.1 NUMERO DI CONDIZIONAMENTO

DEF Dati un problema FIX, d) =D definiamo il NUM. di CONDIZ. RELATIVO:

118×11

K (d) = sup Se 11×11 molto piccolo

Sdfo n d. + Sd ED non conviene utilizzare

"sa" il m. e. relativo

11111 NUM CONDIZ

118×11

(d) : = sup

ABS

K 1 Sd#o a disdED} ASSOLUTO

118111 è:

DEF Dati un problema FIX, d) -0 diremo che il problema

"abbastanza" piccolo

• BEN CONDIZIONATO se K (d) ◦ KABS (d) è

• MAL CONDIZIONATO se K(d) o "abbastanza" grande

KABS (d) è

OSS se Kays (d) ≈ 1 (=) 118×11 ≈ 118211 SITUAZIONE IDEALE

DEF Un operatore G:D → 12" per cui

∀ LED F (Gia) d) = O ⇒ G (d) = ✗

allora Gè detto un OPERATORE per F (d, ×) -0

RISOLVENTE

Es (nei sist cinesi) AE E'", d ∈ Ci e