Metodi matematici e numerici - parte 5

Nel METODO DI HEUN STAGE

O 5+1,5+1

∈ IR

1 ½ ½

O 09/12

Def Un metodo di RK è detto SEMI-ESPLISITO se

A- (ai;) è triang. inferiore (no ai-0 diag nulla)

man

matrice di Butcher

Def Un metodo RK è detto CONSISTENTE se

lim ∅ (ti, ui, F, h) = F (ti, ni)

huso

⇒ se è consistente: ki FIti, vi)

∅ - È, beke

h 0

(h-o F(ti,u;) ⇒ FCti,":)-È, be Flti, vi)

I

Flti, mi) È, be - 1

Pertanto un metodo è CONSISTENSE ≥

⅔ be = 1

⇔

Primo elemento di riga della matrice di Butcher

ASSUNZIONE Ci = Σ di;

5=1 uguale alla somma degli altri elementi della stessa riga.

TEOR

• Se 5=4 : ∃ un metodo RK ESPLICITO e con ordine di convergenza p-S

• Se s ≥ 5 i metodi RK ESPLICITI hanno ordine di convergenza PCS

Es. metodo RK 6 ha ordine p-5 p ≤ 25

• Ogni metodo RK IMPLICITO con 5 STAGES:

Si ha che l'ERRORE Local

Em - h-In con In è detto LTE Truncation

E 2202

Errore di troncamento locale

per metodi RK l'ordine di convergenza è

p ⇔ Imu (h) = (MP) RK

il metodo

ESERCIZIO) Sia dato

+ Ke + 2k + 2k + 6K )

¼ (

"in = Ki 3

2 4

dove Ki = F (ti , Ui)

+ 12h

F (ti ,

K2 = Ui + ½ Ke)

Kg = ti + ½ h

F ( Ui + 4/2 Ka)

,

+ 1h , ai +

Ka = F h ks)

(ti

al scrivere il tableau di Butcher

b) E' un metodo consistente? → la somma delle b deve essere = 1

Svolgimento

Si nota subito che 5=4 (DAL n° DEI K PRESENTI) =D È quindi un metodo a

4 STAGE

del vettore dei pesi Sono :

I coeff Ci Re- F (ti, vi)

C2 = ½

Ci = O da qui Ui + ½ Kil

K2 = F / ti, ½ h ,

<3 = ½ Ca = 1 Ks = F (ti + ½ h, "i + ½ ka

Ka = F (ti + h, Uithks)

del vettore dei NODI sono:

I colf ci

be-¼ ba = ⅓ e li trovo da qui:

Una = Mi 1 ½ In (Ke + 2h2 + 2 Ks + 6 Ka)

ba = ¼

b. 3 = ⅓ moltiplicando ⅓ per i coeff. di Ka, Ka, Ka, Ka

Infine si determinano i coeff. ai della matrice di Butcher A

la motrice è: + 0. Ki +0-K2 + 0-Kato. Ka

Ki = ½ ke +0-Kat...

F (ti , Ui)

O 0 O + 12h Ui + ½ Ke)

K2 =

½ o F (ti ,

½ ti + ½ h

Kg = Ui + 4/2 Ka)

½ ,

F (

½ + 1h , ai + h ks)

Ka = F

1 (ti

1

0 ¼ ⅓ ⅓ ¼ diagon. principale

La matrice di Butcher A risulta Δ-INF e con DIAGONALE PRINCIPALE NULLA ⇒

→ il metodo è ESPLICITO

cioè ¼ + ⅓ +5+1=1 e quindi METODO

(b) E, bi-1 CONSISTENTE

METODI RK- espliciti a 2 stage con l'assunzione

C1 à A,, +0,2 = 0

5=2 µ F (ti, ui) ↳ O

ciò implica ↗ C 21

solo Keeka Ka F (ti + ah , Ui + aaah Ke) ba ba

Calcoliamo la succ. di Taylor di Ka in (ti, Yi)

K2 = F (ti, y;) + GE (ti, y;) [ti + can -∉]

+ GE (ti, Yi) [¼ + nazeke -∄] + 01K)

supponendo di avere la soluzione esatta all' i-esimo punto (ti, y;)

Uite = Yi + h ∅ ti, Yi, F, h)

+ ba (Fi + È (ti, si) Ca h + ⅔ (ti, Yi) 4 2, ke + 0144]

= ; + h [be t

Si ha che Yiu - U it, = Eite

Yite = Yi + h Yi' + ½ y," + 0 (43)

= % + nF (ti, Yi) + ½ (II (ti, Y) + %, (ti, %) % + 01431)

Σ;-11 = Dite_ "ite

= h [F (ti, Y) - (be + ba) F (ti, Yi)] + [baca (II (ti, Yi) + II (ti, y.ly') -

- 1 (÷ (ti, Yi) + %) (ti, Yi)-y:')]

Si ha che be + ba = 1 (e quindi metodo CONSIST.)

⇒ il termine coeff. di 4=0

ba ca = ½ =D il termine di 42 = 0

e se

Pertanto metodi RK ESPLICITI a 2 STAGE CONSISTENTI e con b2 C2 = ½

hanno errore ⇒ Tita (4) = ◦ (42)

Eite = Dite_ "it, = 0 (43) "

" p-2

h- Tie (h) METODO

ba = ½ ⇒ be = 1 - ba = ½ =D DI HEON

se C2 = 1 ⇒

PROBLEMI CON VALORI AL BORDO

- METODO ALLE DIFFERENZE FINITE (FDM)

sia data la griglia O = Xo C Xe C... < ✗ n = b = 1

⇒ I = [0, 1] 1- 0

colgo un passo h = b- a

S N - ¼

N Per: ✗ 0=0

∀ i 1; Xo + in = i. h ✗ n = N-n - N - I - 1

Poniamo ke = K2 = 0 cioè

le condizioni al bordo sono:

✗ (01 = ✗ (1) = 0

4101

✗ (to) Y' (f) = FCt, YCE))

✗ '

m-i-F y' _×" = F

Consideriamo il vettore (trasposto)

è = Cui,---, un-5

YLE) Y (tue)

no = Yo = 4101=0

UN = ¼ = ✗ (1) = 0

Consideriamo il problema

- y" = f (t, Y)

discretizzo flti, lei)

discretizzo e ti

Um, -2 U: + Ui-1 = - Uite = m² flti, ai/+ Lui - ni-e

ma m² 1=1, ---IN-1

Quindi ho un sistema di N-1 equazioni

V1

2 +1 0 ÷

+ 1 -2 +1

- ½ - 2 + 1

\ UN-1

- 2

+ 1 In-e

Ln ↳ 'a = f dove ↳ =-⅓ (71 TRIDIAG.

1-

i

TEOR U ∈ C" ([0,1])

se fe c' ([0,1]) e

⇒ 114- alla ≤ ⅓: 18" lo

✗ = (YO), Y (Xi)... _, ✗ (Xue)) CONVERGE

per h 114-all -> o U

O

Infine osserviamo ↳ ✗ = (✗ i + ✗

mi + È:(Xi - Xi-15] 20

¥ ⇒

i. > O ⇒ det ↳ ≠ 0

> ↳ definito positivo ⇒ ∀;

tear. il sist ammette un'unica soluzione

⇒ 2g (Ln) è mai '

Righelli FEM

METODO AGLI ELEMENTI FINITI

Sia * il problema:

- (da"l'+ Bu' + tu =p con α, β, 8, f funzioni

-2in' ULO) = U (1) =D di a

- La"

Consideriamo 0 LL. ≤ α/×) ∀ ✗ E [0,1]

Formulaz. debole del problema (A)

Sia ✓ E C" ([0,1]) e VIO): ✓ (1) = 0 (detta TEST FUCTION)

Moltiplichiamo ambo i membri di (*, 1) con V

- Can'l'v + pur + far = fu

integro: (Lu'l'rdx + /'pur di + / juvdx = "fu dx

ma applicando l'integrazione per parti

- [Can'l'rdx = - air/it (Can'lui

- ✗ (1) n' (1) ✓ (e) + 210) L' (o) ✓ (o)

è !

DEF Una funzione 4 E f ([0,1]) è detta SOLUZ. DEBOLE di (A) se:

1

Can'v'+ pair + far/ dx = %" fu

TEST FUCTION

∀ ✓ E C" ([0,1]) O = V10) = ✓ (1)

Formalmente introduciamo

✓ = W: [0,13- R / WE [([0,13), W' E L' ([0,1])

quindi /fu dx = Lf, ✓ >

Definisco un applicazione bilineare (lineare in

a: ✓ ✗ V - IR entrambi gli

ingressi)

(HIV) / > a / U, U)

4

1

(Lui v'+ pa'✓ + our/di

DEF Chiamiamo FORMULAZIONE DEBOLE di (*):

∀ VEV

• (u, U) = < f, V3

Oss (1) a è BILINEARE

al du + µW, v) - Jacu, ritualwiv) ∀ ✗ in EIR

∀ u, u, WEV

(2) se β = 0

→ è simmetrica ( acce, v) = • (via) )

DISCRETIZZAZIONE DEL PROBLEMA (f. debole)

✓ → Un

Un è soluz. del problema debole discretizzato

⇔

a Cun, Va ) = < f, un > ∀ un ∈ Un

per cui (errore)

Σ U-Un base

se un è sp. vettoriale, sia 44: 1=11_.-IN

N

un - Σ 4, Uk e Uk Vk

Uh =

K=1 KI 1

• ( Un / V4) = • È, 4K "K 1 È, "e")

= Σ «ve allkie)

K, 1=1 • ke

Def La matrice Ag = (ake) è detta MATRICE di STIFFNESS

Infine ti fa.es...su) "

Va < G, Un >

< f, UN' = ⅔", tk

La formulaz. debole discretizzata è

un'Aak- ti va

n

ui Aa = fi

trasposto entrambi i membri

Un = In

OSS se a è simmetrica → • = A- I

CHE COSA FA UN SOFTWARE FEM?

(1) Sceglie V4 ed una sua base {che, _.., 4N

Se li è non-zero solo su una piccola porzione di IT ☒ e]

allora AG è sparsa

(2) Calcola < f. Un > = Σ Vie < f, 4k'

(3) Risolve il sistema lineare

A- È Un = In

055 se β-o (Ag = Aj) e se anche 8 ≥ 0

V'AGV = a (Vr, Un)

si può verificare che V'AG V ≥ 0

⇒ Ao è definita positiva

⇒ det (AG) = de, _,, In > ◦ ⇒ det (Aa) ≠

⇒ la soluz. del sist lineare AG Un = fa è unica

scelta dello spazio Un f. calcolato in Ij

H

Spesso si utilizza { = {f:[0,13 → RI fly. (X) ERRE]}

(n)"

sono funz. polinomiali a tratti

In genere, 1 ≤ K ≤ 3

ESEMPIO K = 1 → retta 1

✗ - ✗ i-1 ✗ i. ≤ ✗ ≤ Xi

La base scelta è ✗ i-1

✗ i - ✗ i-1 ✗ i

(Parte ascendente)

✗ ite -X ✗ i ≤ ✗ ≤ ✗ ite

1=1, (parte discendente)

- --, N-1 4:(×) = Xix -Xi ✗ i Xite

altrimenti

0 (Zero)

Mi 1

1 % a

0 ✗ N-1

✗ i

✗ 1 4- 1 :*

sono Ntt ⇒ dim (XI) = N +1

La fune. {4; 1

Per cui a (Y,, e;) (α e'9; + 89,4;) dx Vi 4;

✗ ite

B- o

Vanno bene solo i casi ◦

cioè ai;-

4: = 4; di Pitt J-I, J - I-1, J - I +1

✗ i Xite

dii,

AG = Triangolare ⇒ Ag Un = fa

i.

Rixi; SI risolve con

Thomas