Meccanica statistica

Meccanica Statistica

• Landau & Lifšits, Fisica statistica
• Touchek & Rossi, Meccanica Statistica
• Huang, Trattato di Meccanica Statistica

- Studiare il comportamento di sistemi macroscopiciN ≃ 6.10²³

Approccio complementare alla termodinamica, partendo da meccanica Hamiltoniana, ma non si puòscrivere eq. del moto e risolvere da approccio deterministico a descrizione probabilistica, statistica

Consideriamo un sistema Hamiltoniano composto da N particelle- 3N gradi di libertà e 6N eq. di Hamilton

q_i̇ = ∂H / ∂p_ip_i̇ = - ∂H / ∂q_i

6N eq._a differenziali del primo ordine

Se abbiamo abbastanza condizioni di regolarità per 2N δq_i e condizioni inizialif_qi f_pi, esiste un'unica soluzione:

q_i(t) = q_i(t₀, f_qi, f_pi)p_i(t) = p_i(t₀, f_qi, f_pi)

La soluzione del sistema è determinata in modo univoco → sistema deterministico(Esiste anche il caos deterministico, come per il pendolo non lineare)

Problema: se N è molto grande, la soluzione è impossibile. Se N ≃ N_A = 6.02.10²³ è impossibile scrivere e risolvere le equazioni del moto.Se anche potessimo risolvere, è impossibile conoscere e imporre le condizioni iniziali f_qi,f_pi

• Dobbiamo rinunciare a risolvere le eq.a di Hamilton e passare da una descrizione deterministica a una probabilistica.

• Studieremo proprietà statistiche come probabilità, le medie, le varianze, le fluttuazioni...

• Ci mettiamo su uno spazio delle fasi (q_i, p_i) e supponiamo che aspettando un tempo sufficientemente lungo il sistema (ovvero i punti di fose) passi vicino a ogni punto dello spazio delle fasi che non sia proibito dalle condizioni macroscopiche (E tot, P_tot...)

Meccanica Statistica

• Landau & Lifshitz, Fisica statistica
• Touchek & Rossi, Meccanica Statistica
• Huang, Meccanica Statistica

Studiare il comportamento di sistemi macroscopici

N ≈ 6.10²³

Approccio complementare alla termodinamica, partendo da meccanica Hamiltoniana, ma non si può scrivere eq. del moto e si evolve da approccio deterministico a descrizione probabilistica, statistica.

Consideriamo un sistema Hamiltoniano composto da N particelle

• 3N gradi di libertà e 6N eq. di Hamilton

⎧ q̇_i = ∂H/∂p_i

⎨

⎩ ṗ_i = -∂H/∂q_i

6N eq. differenziali del primo ordine

Se abbiamo abbastanza condizioni di regolarità per 24 ore e condizioni iniziali {q_i, p_i}, esiste un'unica soluzione:

• q_i(t) = q_i(t, {q_i0, p_i0})
• p_i(t) = p_i(t, {q_i0, p_i0})

La soluzione del sistema è determinata in modo univoco → sistema deterministico

(Esiste anche il caos deterministico, come per il pendolo non lineare)

Condizioni iniziali influenzano molto evoluzione sistema

Problema: se N è molto grande, la soluzione è impossibile.

Se N ≈ N_A = 6.02.10²³ è impossibile scrivere e risolvere le equazioni del moto, diveresi miliardi di particelle.

Se anche potessimo risolvere, è impossibile conoscere e imporre le condizioni iniziali {q_i0, p_i0}.

Dobbiamo rinunciare a risolvere le eq. di Hamilton e passare da una descrizione deterministica a una probabilistica.

Studieremo proprietà statistiche come probabilità, le medie, le varianze, le fluttuazioni....

C. mettiamo in uno spazio delle fasi {q_i, p_i} e supponiamo che aspettando un tempo sufficientemente lungo il sistema (ovvero i punti di fase) passi vicino ad ogni punto dello spazio delle fasi che non sia proibito dalle condizioni macroscopiche (E, T,

Ipotesi ergodica

Il sistema è talmente complicato che prima o poi passa vicino

a ogni punto dello spazio delle fasi (che ha 6N dimensioni)

volumetto nello spazio delle fasi:

Usiamo la complessità come metodo di soluzione

Definiamo la probabilità di trovarsi nel volumetto ΔpΔq come il rapporto tra il tempo passato nel volumetto Δt e il tempo totale T:

Δw = lim (Δt/T)

T→∞

, Δt = Σ Δt_u

volumetto nello spazio delle fasi: Δw = ΔΒΔΘ = Δp₁, ... Δp_3N Δq₁, ... Δq_3N

Numeriamo i volumetti nello spazio delle fasi con un indice "s", tale che "s"

cresce con l'energia corrispondente al volumetto

coordinate e impulsi al centro del volumetto

stiamo introducendo una discretizzazione

abbiamo tanti volumetti Δw, quando Δw→0 si torna al caso continuo