Meccanica statistica

Meccanica Statistica

• Landau & Lifshits, Fisica statistica
• Touschek & Rossi, Meccanica Statistica
• Haunau, Meccanica Statistica

Studiare il comportamento di sistemi macroscopici

N ≃ 6.10²³

Approccio complementare alla termodinamica, partendo da meccanica Hamiltoniana, ma non si può scrivere eq. di moto _s_viluppo di un approccio deterministico a descrizione probabilistica, statistica

Consideriamo un sistema Hamiltoniano composto da N particelle

• 3N gradi di libertà e 6N eq. di Hamilton
• _i̇ = ∂H / ∂p_i
• ṗ_i = − ∂H / ∂q_i 6N eq. differenziali del primo ordine

Se obbliamo abbastanza condizioni di regolarità per 24 h e le condizioni iniziali {q_i},{p_i}, esiste un'unica soluzione:

• q_i(t) = q_i(t₀,{q_i0},{p_i0})
• p_i(t) = p_i(t₀,{q_i0},{p_i0})

La soluzione del sistema è determinata in modo univoco → sistema deterministico(Esiste anche il caos deterministico, come per il pendolo non lineare)

piccolo errore nelle condizioni iniziali: diversa evoluzioneè difficile prevedere dove va il sistema Ballo di unafarfalla nel pacifico → Uragano dall'altra partedel mondo

Problema: se N è molto grande, la soluzione è impossibile.

Se N ≈ N_A ≃ 6.021.10²³ è impossibile scrivere e risolvere le equazioni del moto.Se anche potessimo risolvere, è impossibile conoscere e imporre le condizioni iniziali {q_i0},{p_i0}

Dobbiamo rinunciare a risolvere le eq. di Hamilton e passare da una descrizione deterministica a una probabilistica

Studieremo proprietà statistiche come probabilità, le medie, le varianze, le fluttuazioni....

C: mettiamo uno spazio delle fasi {q_i, p_i} e supponiamo che aspettando un tempo sufficientemente lungo il sistema (ovvero il punto di fase) passi vicino a ogni punto dello spazio delle fasi che non sia precluso dalle condizioni macroscopiche (E_tot, p_tot ...)

Ipotesi ergodica:

Il sistema è talmente complicato che prima o poi passa vicino a ogni punto dello spazio delle fasi (che ha 6N dimensioni)

Usiamo la complessità come metodo di soluzione

• Definiamo la probabilità di trovarsi nel volume dpq come il rapporto tra il tempo passato nel volume di Δt e il tempo totale T:

Δw = lim_T→∞ (Σ_k Δt_k / T)

Numeriamo i volumi nello spazio delle fasi con un indice "s", tale che "s" cresce con l'energia corrispondente al volume

E_s+1 ≥ E_s e   E_s = H(q_i, {p_i} )

υ{q_i;{p_i}} coordinate e impulsi del centro del volumetto

Abbiamo tanti volumetti Δυ, quanto Δω si torna al caso continuo

Δw^s = Σ_k Δt_k^s

• probabilità che il sistema si trovi nel volumetto △p△q
• questa probabilità non tiene conto dell'evoluzione temporale microscopica
• è come se considerassimo un sistema statico

"Perché la vita è fatta di equazioni :)"

28-11-2022

dWs = Qs / A

Γ = ∫ A^τ

dS = că ≤ >, ρ = dWs^Φ

Ricorda:

Abbiamo 6N coordinate generalizzate (6N dim)

se il numero ρ(x) varia, c’è un flusso di sistemi

Volume nello spazio delle fasi delle fasi

N= ∫ ρ dqp̄

Consideriamo

d/dt ∫ ρ dqp̄ = ∫ S ^Γ ρ ^V _qp̄

Teo divergenga

∫ SR ρ ^V _qp, * n ^t ds _Γ

Eq. di continuità per la densità di sistemi nello spazio delle fasi

de^H/dt = ∇ * de^ H⌊ de H/p + ⨏ p

eq. di Liouville

eq. di conservazione

→ p H = 0

Il flusso nello spazio delle fasi è incomprimibile

05-12-2022

Moltiplicatori di Lagrange

• Consideriamo una funzione f(x,y)
• Cerchiamo i suoi estremi col vincolo di stare su una curva C definita da g(x,y)=0
  • x e y non sono indipendenti

g(x,y)=0

y - ax - b = 0

(g_x,g_y) definisce l'insieme su cui ci muoviamo

• Se ci muoviamo lungo la curva ci muoviamo perpendicolarmente a ∇g
• Estremi: ∇f || ∇g → cerchiamo una condizione meno forte
  • ∃λ: ∇f = λ∇g ↔ ∇f - λ∇g = 0

Moltiplicatore di Lagrange

• Per trovare gli estremi di f lungo C dobbiamo risolvere queste 3 eq.:
• Esempio: f(x,y) = x + y, C: x₂ + y₂ = 1 → g(x,y) = x₂ + y₂ -1=0
  • ∃λ: ∇f = λ∇g ↔
    • ∂f/∂x = λ ∂g/∂x
    • ∂f/∂y = λ ∂g/∂y
    • g(x,y)=0
  • 1. 1 = 2λx
    2. 1 = 2λy
    3. x₂ + y₂ = 1
  • • x = y
    • x₂ + x₂ = 1 → 2x₂ = 1 → x = ± √²⁄₂
  • λ = ±√2⁄2
  • x = √2⁄2
  • y = √2⁄2
  • f(x,y) = √2⁄2 + √2⁄2 = √2 → max
• λ = -√2⁄2
  • x = -√2⁄2
  • y = -√2⁄2
  • f(x,y) = -√2⁄2 - √2⁄2 = -√2 → min

Posso moltiplicare i gradienti per i piccoli spostamenti:

(∂f + λ∂g) ⋅ df = 0 ⇒ ∇f ⋅ df + λ∇g ⋅ df = 0

Nel caso di 3 variabili, f(x,y,z), con la condizione g(x,y,z)=0 è analogo

• ∇f || ∇g, ∇g è normale alla superficie
• ↔ sup. in R³

• Se abbiamo più condizioni da soddisfare:
• g(x,y,z)=0, h(x,y,z)=0 definiscono 2 sup
  • S₁ → S₂
• Se sono compatibili intersezione due ? sup.
• Cerchiamo max e min su curva C: intersezione due ? sup.
  • ∇g_S1 ∇h_S2
• • Estremo condizionato: ∇f = λ∇g + μ∇h
  • ∇f = λ∇g ↔ ∇f = λ∇g + μ∇h: -∇f - λ∇g - μ∇h = 0 appartiene allo spazio generato dai gradienti di g e h
• ∂f = λ ∂g + μ ∂h ↔ ∇f ⋅ df + λ∇g ⋅ df + μ∇h ⋅ df = 0

12-12-2022

∂_t{ρ,H}=0 eq. di Liouville ρ=ρ(E,̄p,̄q) per praticità ρ(E)

Ensemble - microcanonico di difficile uso

- canonico: situazione stazionaria per tempi lunghi ⇒ equilibrio termico del sistema con l'ambiente

caso di volumi discreti

neuo spazio dei micro

ω_s = C e^-βE_s ∑_s e^-βE_s

⌈(∑_s e^-βE_s)

2^βE_s

δq δp = ⌈δq₁ ... δq_3N δp₁ ... δp_3N

caso continuo

ρ(q₁ ... q_3N, p₁ ... p_3N) = ^e-βH(q,p)⁄_dqdp〈(β)

〈(β) = ⌈e^-βH(q,p) dq dp

Ĉ = -_{⁄^∂(ln(z(β)) = -^{⁄∂(ln(〈(β))}}