Appunti meccanica statistica

Ipotesi ergodica

Dopo un tempo sufficientemente lungo, il tempo speso da una particella in un volume dello spazio delle fasi di microstati della stessa energia è proporzionale al volume stesso. Equivalentemente, all'equilibrio termodinamico sarà stato più o essere equivalentemente uno qualunque di quelli che soddisfano le condizioni macroscopiche del sistema. Lavorando con un numero elevato di particelle è impossibile trovare una risoluzione esatta delle equazioni del moto.

Dato un sistema di N particelle, la media di un osservabile A(X) in un intervallo di tempo T è:

A̅(t₀,T) = ¹/_T ∫_t0^{t₀ + T} A(X(t)) dt

X(t) ≡ (q₁(t), q_N(t), p₁(t), p_N(t))

In cui {q_i, p_i} è l'insieme di tutte le coordinate di tutte le particelle con i loro momenti coniugati, per un totale di 6N variabili.

L'ipotesi ergodica permette di valutare grandezze macroscopiche come media su microstati uniche che come media temporale. Non conoscendo l'evoluzione temporale, la formula è utile ma possiamo passare a un integrale sullo spazio delle fasi:

A̅(t₀,T) = ∫ A(q_i,p_i) · ρ(q_i,p_i) {dq_idp_i} densità di probabilità che il sistema si trovi nel microstato caratterizzato da q_i,p_i

Ipotesi ergodica ripetuta

Dopo un tempo sufficientemente lungo, il tempo speso da una particella in un volume nello spazio delle fasi di microstati della stessa energia è proporzionale al volume stesso. Equivalentemente, all'equilibrio termodinamico, il microstato può essere equivalentemente uno qualunque di quelli che soddisfano le condizioni macroscopiche del sistema.

Lavorando con un numero elevato di particelle è impossibile trovare una risoluzione esatta delle equazioni del moto. Dato un sistema di N particelle, la media di un osservabile A(X) in un intervallo di tempo T è:

A̅(t_o,T) = ⟨Δ⟩ = ₁/_T ∫_to^t_o+T Δ(X(t)) dt

X(t) ≡ (q₁(t), q_n(t), p₁(t), p_n(t))

In cui {q_i, p_i} è l'insieme di tutte le coordinate di tutte le particelle con i loro momenti coniugati, per un totale di 6N variabili.

L'ipotesi ergodica permette di valutare grandezze macroscopiche come media su microstati uniche che come media temporale. Non conoscendo l'evoluzione temporale, la formula è inutile ma possiamo passare a un integrale sullo spazio delle fasi:

A̅(t_o,T) = ∫ A({q_i, p_i}) ρ({q_i, p_i}) d{q_i, dp_i} densità di probabilità che il sistema si trovi nel microstato caratterizzato da {q_i, p_i}

Ora interviene l'ipotesi ergodica supponendo che ρ sia una costante (non nulla) all'interno della regione dello spazio delle fasi accessibile al sistema: G è uno strumento:

Ā = ρ ∫_G A(q_i,p_i) dq_i dp_i

Nell'"insieme microcanonico" il vincolo imposto è che l'energia del sistema data dall'Hamiltoniana H, sia compresa tra due valori E ed E+ΔE

Γ_ΔE(E) = ∫{|dq_i dp_i|}_E<H<E+ΔE = ∫ dΓ_E<H<E+ΔE

Volume nello spazio delle fasi tra E ed E+ΔE

Ā = ρ ∫{A(q_i,p_i) dΓ}_ΓΔE(E) normalizzando ρ = ¹/_ΓΔE(E)

Quando l'ipotesi ergodica ci permette di calcolare la densità di probabilità dei microstati. Il teorema di Liouville mostra come, per sistemi classici conservativi, la densità locale dei microstati si conserva nell'evoluzione temporale. E assicura che la media temporale abbia un senso.

Un insieme microcanonico

Un insieme microcanonico è un insieme che descrive sistemi isolati con un numero di particelle ed energia prestabilito.

Paradosso di Bertrand

Dato un cerchio di raggio unitario si disegni una corda a caso. Qual è la probabilità che la lunghezza della corda sia maggiore di l_s√3/2 (lato triangolo equilatero inscritto)?

1. Preso un punto P sul bordo del disco, tutte le corde che partono da P sono parametrizzate da un a...