Appunti meccanica statistica

Ipotesi Ergodica

Dopo un tempo sufficientemente lungo, il tempo speso da una particella in un volume nello spazio delle fasi di microstato della stessa energia è proporzionale al volume stesso. Equivalentemente, all’equilibrio termodinamico, il suo stato può essere equivalentemente uno qualunque di quelli che soddisfano le condizioni macroscopiche del sistema.

Lavorando con un numero elevato di particelle è impossibile trovare una risoluzione esatta delle equazioni del moto.

Dato un sistema di N particelle, la media di un'osservabile A(x) in un intervallo di tempo T è:

Ā(t₀, T) = ⟨Δ⟩ = 1/T ∫_t0^t₀+TA(X(t)) dt

X(t) ≡ (q₁(t), ..., q_N(t), p₁(t), ..., p_N(t))

in cui q_i, p_i è l’insieme di tutte le coordinate di tutte le particelle con i loro momenti coniugati, per un totale di 6N variabili.

L’ipotesi ergodica permette di valutare grandezze macroscopiche come media su microstati invece che come media temporale. Non conoscendo l’evoluzione temporale la formula è inutile ma possiamo passare ad un integrale sullo spazio delle fasi:

Ā(t₀, T) = ∫ A(q_i, p_i) ρ (q_i, p_i) dq_idp_i

densità di probabilità che il sistema si trovi nel microstato caratterizzato da q_i, p_i

Ora intervenie l'ipotesi ergodica supponendo che ρ sia una costante (non nulla) all'interno della regione dello spazio delle fasi accessible al sistema G e nulla altrimenti:

Nel microcanonico il vincolo imposto è che l'energia del sistema, data dall'hamiltoniana H, sia compresa tra due valori E ed E+ΔE

Quando l'ipotesi ergodica ci permette di calcolare la densità di probabilità dei microstati.

Il teorema di Liouville mostra come, per sistemi classici conservativi, la densità locale dei microstati si conserva nell'evoluzione temporale e assicura che la media temporale abbia un senso.

FUNZIONI GENERATRICI

Data una sequenza di numeri reali (in questo caso di probabilità) P₀, P₁, ... P_k definiamo la funzione generatrice nel seguente modo:

G(s) = P₀ + sP₁ + ... = ∑ s^kP_k

Ogni funzione generatrice ha 3 importanti proprietà:

1. G(s) individua completamente la distribuzione
2. La G(s) della somma di variabili indipendenti è il prodotto delle funzioni generatrici

x → G_X(s)y → G_Y(s)z = x+y | G_Z(s)=G_X(s)G_Y(s)

3. I momenti della variabile casuale possono essere ottenuti partendo dalle derivate di G(s)

d^μG/ds^μ = μ!P_μ

CAMBIO DI VARIABILE

Prendiamo il caso in cui conosciamo la densità di probabilità P_X(x) della variabile x e vogliamo trovare la densità di probabilità P_Y(y) della variabile y = f(x). Con f(x) invertibile quindi con f'(x)≠0

⇒ Si nota che i valori di y ereditano le probabilità dei valori di x da cui provengono

P(y ϵ [y₁, y₂]) = P(x ϵ [x₁, x₂])

FUNZIONE CARATTERISTICA

Avremmo visto che date N variabili indipendenti x₁...x_N con densità di probabilità P₁(x₁)...P_N(x_N) per la variabile somma ż = x₁ + ... + x_N si ha:

P_ż(ż) = (P₁ * P₂ + ... * P_N)(ż)

Questa formula viene trattata con la funzione caratteristica:

Φ_x(t) = ∫ e^itxp_X(x) dx = ⟨e^itX⟩

P_X(x) = 1/2π ∫ Φ_X(t) e^-itx dt

Una proprietà della funzione caratteristica è che date N variabili aleatorie x₁...x_N con funzioni Φ₁...Φ_N allora per la somma si ha:

ż = ∑_i=1^N x_i, Φ_ż = ∏_j=1^N Φ_xj(t)

Un’altra proprietà è che se la variabile X ha come funzione caratteristica Φ_X(t) allora per la variabile Y abbiamo:

Y = aX + b

Φ_Y(t) = e^-itb Φ_X(at)

a,b reali costanti.

TEOREMA LIMITE CENTRALE

Prese x₁...x_N variabili iid con media μ e varianza σ²<∞ per N grande la densità di probabilità di

ż_N = 1/σ√N ∑_u=1^N (x_u-μ)

che è una gaussiana a media nulla e varianza unitaria.

P(ż_N) ≃ 1/√2π e^{- ż_N2/2}

Consideriamo la variabile y_N = ∑ x_i e u x_j - x_j = μ e considerando la sua funz caratteristica Φ_x.

Φ_yN = [ ]^1/N

Esercizio: problema dei cavallini

Ho un dado, questo, calcolano la probabilità di avere almeno un 6 in 4 lanci. Calcolare poi la probabilità di avere uno scarto di 6 su 24 lanci da 2 dadi.

I)

P(6₁) = 1 - (5/6)⁴

II)

P(6₂) = 1 - (5/6)²⁴

Per divertire aggiuntive la festa un gioco si nota che ha 3 possibilità per vincere mentre 1 ne ho solo 1.

P_I = (1/2)³ = 1/8

P_II = 1 - P_I = 7/8

Esercizi Scheda

1. P(A) = 3/4

P(B) = 5/6 → P(A∩B) > 1/2?

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) > 3/4 + 5/6 - 1 = 13/12 - 1 = 1/12

2. P(A) = 1/6

P(B) = 3/10 → P((Ω-A) ∩ (Ω-B)) = 2/10

R((Ω-D) ∩ (Ω-B)) = P(Ω-D) + P(Ω-B) - P((Ω-D) ∪ (Ω-B))

P(Ω-D) = 1 - P(D) = 1 - 4/10 = 6/10

P(Ω-B) = 1 - P(B) = 1 - 3/10 = 7/10

6/10 + 7/10 - 2/10 = 13/10 - 1 = 3/10

H_N / H_0 = Σ xi => ln H_N / H_0 = Σ ln xi => ln y = Σ ln xu

p_Y(y) = 1 / y_N √2π bN exp -(y - a_1)^2 / 2bN

a_2 = clu x

- = b

per comodità prendo H_0 = 1 => H_N = e^y

p'_u(H) = P_Y(y) / dH / dy \| y = f(H) = P_Y(y) / e^y = P_Y(y) / H \| y = f(H)

= 1 / H √2π bN exp - (eu H - a_N)^2 / 2bN

∫ e^(-Ax^2-Bx-C) dx = √(π / A) e^(B^2 / 4A - C)

ESERCIZI

1. P_XY(x, y) = c e^(-(a^2x^2 + by^4)) a, b > 0 note

P_X(x) = ∫ P_XY(x, y) dy = ∫ c e^(-(a^2x^2 + by^4)) dy =

= c e^(-a^2x^2) ∫ e^(-by^4) dy = c e^(-a^2x^2) ∫ e^(-b(y^2)^2) dy = c e^(-a^2x^2) √(π / b)

P_Y(y) = ∫ P_XY(x, y) dx = ∫ c e^(-(a^2x^2 + by^4)) dx =

= c e^(-by^4) ∫ e^(-a^2x^2) dx = c e^(-by^4) √(π / a)

P_X(x) ≤ A , P_Y(y) ≤ A

Possiamo calcolare anche l'entropia che cerchiamo nella formula S(E,V,N) partendo da un calcolo più preciso di:

ln Z = N ln V + ³/₂ N ln (2πµ) + ³/₂ N ln ε - ln Γ(³/₂N+1) =

= N ln V + ³/₂ N ln (2πµ) - ³/₂ N ln ε - ln Γ(³/₂N+1)) =

= N ln (Vε^3/2C) - ³/₂ N ln ε - N ln C =

S = -k_B ln Z = -k_B N ln [VC (ε/N)^3/2]

La formula trovata ha di negativo che non è nella forma cercata poiché non compare il termine V_N ma è possibile notare che facendo differenze di entropia questo problema si elimina perché

E/N = ³/₂ k_BT → S - Nk_B ln (VT^3/2/N)

ΔS = Nk_B ln (V₂/V₁) (T₂/T₁)^3/2

Teorema Ergodico

Sia A una trasformazione che conserva la misura su uno spazio misurabile. Si può allora considerare la media temporale di una funzione sufficientemente regolare f, che è definita come la media sulle iterazioni

f̅(x) = lim_N→∞ ¹/_N Σf(A^kx)