Meccanica quantistica - parte 6

CAPITOLO 6. METODI DI APPROSSIMAZIONE

6.1 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo: caso non degenere

Supponiamo di avere Ĥ₀ con spettro discreto noto: Ĥ₀ |n⁽⁰⁾⟩ = E_n⁽⁰⁾ |n⁽⁰⁾⟩,

sia Ĥ = Ĥ₀ + V̂ l'hamiltoniana al cui vogliamo trovare autostati e autovalori, con V̂ piccolo

rispetto a Ĥ₀, ad tale che possa essere considerato una perturbazione.

Aggiungiamo un parametro di controllo λ ∈ [0,1], Ĥ_λ = Ĥ₀ + λV̂ :

• se λ = 0 → Ĥ_λ = Ĥ₀
• se λ = 1 → Ĥ_λ = Ĥ₀ + V̂

Vogliamo risolvere Ĥ_λ |n⟩ = E_n |n⟩

Sistema a due livelli

Consideriamo:

Ĥ_λ = (^{E₁(0) 0}/_{0 E2⁽⁰⁾}) + λ (^{0 V₁₂}/_{V12 0}) = (^{E₁(0) λV₁₂}/_{λV12 E2⁽⁰⁾})

E_n⁽⁰⁾, Ê₀⁽⁰⁾ : autovalori di Ĥ₀

• (1 0)^T, (0 1)^T : autoket di Ĥ₀

Autovalori di Ĥ_λ: E₁, E₂ = (E₁⁽⁰⁾ + E₂⁽⁰⁾) / 2 ± √(((E₁⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾)²) / 4 + λ²V₁₂²)

Ora, sia |V₁₂| ≪ |E₂⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾|, cioè siano gli elementi di matrice di V̂ piccoli rispetto

alla separazione dei livelli energetici dell'hamiltoniana imperturbata, allora:

• √(((E₁⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾)²) / 4 + λ²V₁₂²) = |E₁⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾| / 2 (1 + (4λ²V₁₂²) / (E₁⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾)²))^1/2 ≃ |E₁⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾| / 2 [1 + (2λ²V₁₂²) / ((E₁⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾)²)]

=⟹ E₁, E₂ ≃ E_n⁽⁰⁾ ± |E₂⁽⁰⁾ - E₁⁽⁰⁾| / 2 [1 + (2λ²V₁₂²) / (E₁⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾)²] =

• = E₁ = E₂⁽⁰⁾ - λ²V₁₂² / (E₍₁₎⁰ - E₂⁽⁰⁾)
• = E₂ = E₂⁽⁰⁾ + λ²V₁₂² / (E₁⁽⁰⁾ - E₂⁽⁰⁾)

I nuovi livelli energetici appaiono come una correzione dei precedenti. La correzione

è espressa in serie al potenze di λ o V₁₂.

Traslazione generale

Consideriamo un particolare autostato di ₀, con energia E_n⁽⁰⁾, come si modificano l_n⁽⁰⁾ ed E_n⁽⁰⁾ se passo da a = ₀ + ^??

Ora vorremmo invertire E_n⁽⁰⁾-₀, ma in generale l'inverso potrebbe non essere definito poiché ^? potrebbe agire su l_n⁽⁰⁾.

Verifichiamo che ^?l_n⁽⁰⁾ non abbia componenti lungo l_n⁽⁰⁾:

Introduciamo:

ϕ_m = Σk≠n 1/(E_n⁽⁰⁾-E_k⁽⁰⁾) x_k⁽⁰⁾ = ℑ - l_n⁽⁰⁾x_n⁽⁰⁾

Allora: l_n = 1/E_n⁽⁰⁾-₀ ϕ_n(^?-Δn)l_n⁽⁰⁾

ma così l'espressione non può essere corretta, perché per Δ=0 l_n=0.

Dobbiamo aggiungere la soluzione dell'omogenea associata: (E_n⁽⁰⁾-₀)l_n⁽⁰⁾=0

=> l_n = 1/E_n⁽⁰⁾-₀ ϕ_n(^?-Δn)l_n⁽⁰⁾ + Cn(λ) l_n⁽⁰⁾

vogliamo che per Δ>0 , l_n = l_n⁽⁰⁾ => Cn(1)=1 _n⁽⁰⁾l_n = Cn(1)_n⁽⁰⁾l_n⁽⁰⁾ = 1

Quindi normalizziamo l_n, _n⁽⁰⁾l_n = 1

Equazioni cardinali:

l_n = 1/E_n⁽⁰⁾-₀ ϕ_n(^?-Δn)l_n⁽⁰⁾ + l_n⁽⁰⁾ 1.

Da x_n⁽⁰⁾(^?l_n⁽⁰⁾-Δn_n⁽⁰⁾l_n) = 0 => Δn = _n^(0)?l_n 2.

Cerchiamo Δn e l_n come serie di potenze di λ:

Δn = d_nλ + d_n⁽²⁾λ² + d_n⁽³⁾λ³ + ...

l_n = l_n⁽⁰⁾ + λl_n⁽¹⁾ + λ²l_n⁽²⁾ + ...

La 2. diventa: λd_n + λ²d_n⁽²⁾ + ... = -_n^(0)?([l_n⁽⁰⁾ + λl_n⁽¹⁾] + λl_n⁽¹⁾ + ...)

1. Δn⁽¹⁾ = _n^(0)?l_n⁽¹⁾

λ²: Δn⁽²⁾ = _n⁽⁰⁾[^?l_n⁽¹⁾]

6.3 teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo: caso degenero

Consideriamo il livello degenere ₀

Siano {m; ⁽⁰⁾ 1,2,...,q} gli autostati di = con autovalore ₀.

{e; ⁽⁰⁾ 1,2,...,q} sono gli autostati di ₀ + ̂, ciascuno con autovalore ₀ + Δ_i.

|e₁ ⟩ = |e; ⁽⁰⁾₁⟩ + λ|e; ⁽¹⁾₁⟩ + ...

|e₂⟩ = |e; ⁽⁰⁾₂⟩ + λ|e; ⁽¹⁾₂⟩ + ...

...

|e_q⟩ = |e; ⁽⁰⁾_q⟩ + λ|e; ⁽¹⁾_q⟩ + ...

Per > 0 ciascun |e⟩ potrebbe ridursi a una combinazione lineare degli |m; ⁽⁰⁾⟩ autostati imperturbati. Cerchiamo i coefficienti di questa combinazione lineare.

̂|e⟩ = E|e⟩ = ( ₀ + ̂)|e⟩ = ( ₀ + Δ_i)|e⟩ → [ – ₀]|e⟩ = [̂ − Δ_i]|e⟩

Cerchiamo |e⟩ e Δ_i nella forma:

|e⟩ = Σ _i=1^q + λ + ... con |e_i; ⁽⁰⁾⟩ = Σ _i=1 ᵧ _i|m_i; ⁽⁰⁾ ⟩

Δ_i = Δ_i⁽¹⁾ + ᵧ⁽²⁾ + ...

[Σ _j=1^q + ̂ ] [|e; ⁽⁰⁾₁ ⟩ + λ|e; ⁽¹⁾⟩ + ...] − [Σ... ] [|e; ⁽⁰⁾⟩ + λ|e; ⁽¹⁾⟩+ ... ] =

{m; ⁽⁰⁾|[ ( ₀ – ₀) |e; ⁽⁰⁾⟩ + λ|e; ⁽¹⁾⟩ + ...]} = m; ⁽⁰⁾|[̂ – Δ_i − ...]|

m_i; ⁽⁰⁾|̂ − Δ_i − ...] |e; ⁽⁰⁾⟩ + λ |e; ⁽¹⁾⟩ + ...] = 0

Δ⁽¹⁾ = m_i⁽⁰⁾ |̂|e_i; ⁽⁰⁾⟩ - Δ⁽¹⁾ m_i; ⁽⁰⁾ |e_i; ⁽⁰⁾⟩ = 0

m_i; ⁽⁰⁾ |̂|e_i; ⁽⁰⁾⟩ = Σ j=1 m_o⁽⁰⁾ |̂|e_i; ⁽⁰⁾⟩ ₓ

|m_i; ⁽⁰⁾ |̂|m_j; ⁽⁰⁾⟩ = Δ⁽¹⁾ m_i; ⁽⁰⁾ |e_i; ⁽⁰⁾⟩

|̂| =

ᵧ j=1 ^q = V_ijc⁽¹⁾_j = Δ⁽¹⁾ c⁽¹⁾_i

⎛⎝ ₓqₓq ⎞⎠ = Δ⁽¹⁾ (⎛⎝ c₁⁽¹⁾ ⎞⎠

...equazione agli autovalori...