Meccanica quantistica - parte 3

3. SISTEMI QUANTISTICI UNIDIMENSIONALI

3.1 Particella libera (V=0)

L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo diventa:

Definiamo

1. E>0:

2 soluzioni indipendenti nella forma

Le 2 autofunzioni sono anche le autofunzioni di

Quindi, tutti i valori dell'energia E>0 sono possibili autovalori dell'hamiltoniana, e per ciascuno la degenerazione è pari a 1.

2. E=0:

se A=0 ritroviamo la funzione d'onda di uno stato con quantità di moto definita (p=0), altrimenti abbiamo soluzioni non fisicamente accettabili (ψ non limitate).

In definitiva abbiamo che il problema di Schrödinger non dipendente dal tempo per una particella libera in moto unidimensionale ammette uno spettro continuo di soluzioni per tutti i valori di E≥0, con autofunzioni

Ad ogni valore di E corrispondono 2 autofunzioni indipendenti, ciascuna delle quali è a sua volta autofunzione dell’impulso con autovalore

3.2 Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per sistemi unidimensionali.

L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per una particella in moto lungo l'asse x sotto l'effetto di un potenziale V(x) è:

ψ''(x) + _2m/^ℏ [ E - V(x) ] ψ(x) = 0

ε = _2mE/^ℏ² λ(x) = _2m/^ℏ² [ E - V(x) ]

ψ'' + ( ε - U(x) ) ψ = 0

Questo tipo di problema differenziale si chiama problema di Sturm - Liouville, e ad esso vanno cercate soluzioni limitate, continue e derivabili nell'intervallo (-ω, ω).

Notiamo che:

1. Otteniamo al massimo 2 soluzioni indipendenti ( max deg. = 1)
2. ψ(x) deve essere limitata
3. Le proprietà di ψ si riflettono su ψ'(x). U(x) al massimo può avere discontinuità di 1° specie (salti) ⇒ ψ e ψ continue
4. Poiché V(x) è reale, εq alt. è reale, quindi se ψ(x) è soluzione anche ψ*(x) lo è, quindi, anche una loro combinazione lineare: _{ψ + ψ^*}/² = Re ψ _{ψ - ψ^*}/²ⁱ = Im ψ
5. ψ solu ⇒ cψ è solu, c ∈ ℂ

3.5 Barriera di potenziale

Sia V(x)=

• 0     x < 0
• Vo    x > 0

Considero 0 < E < Vo: spettro continuo non degenere.

• \(\psi_1 = A \sin(k x + \varphi)\)
• \(\psi_2 = B e^{-\chi x}\)

\(k = \frac{2mE}{\hbar^2}\)

\(\chi = \frac{2m (Vo-E)}{\hbar^2}\)

Impongo le condizioni di raccordo in x=0:

• \(\psi_1(0) = \psi_2(0)\)     A \sin \varphi = B
• \(\psi_1'(0) = \psi_2'(0)\)     \(\chi A \cos \varphi = -\chi B\)

Se considero il caso limite, cioè una barriera di potenziale infinitamente alta (Vo → ∞),

rovino V(x) (non ha più una discontinuità di prima specie).

Vo → ∞    k → ∞    \(\chi → ∞ → \varphi = 0, -\pi, ...\)

Quindi B = 0, cioè \(\psi(x)\) è la funzione identicamente nulla.

Inoltre si perde la continuità di \(\psi(x)\):

\(\psi_1(x) = \chi A \cos \varphi \neq \psi_1(x) = 0\)

3.6 Buco di potenziale infinito

• V(x)=0     0 < x < a
• ∞ altrove

• \(\psi_1 = 0\)
• \(\psi_2 = A \sin(k x + \varphi)\)
• k = \(\frac{2mE}{\hbar^2}\)
• \(\psi_3 = 0\)

Si perde la continuità di \(\psi(x)\).

soluzioni indipendenti (particella da sn a dx e particella da dx a sn). Consideriamo solo la prima e scriviamola in modo che ricordi il caso classico.

• Ψ_i = e^ikx → onda incidente
• Ψ_t = Ae^ik'x → onda trasmessa con k'*

Condizioni di raccordo:

• Ψ₁(0) = Ψ₀(0)
• Ψ₁'(0) = Ψ₀'(0)

• 1 = A
• ik = ik'A → k = k' falso

Non è possibile ottenere un risultato che richiami l’aspettativa classica, è necessario aggiungere un pezzo che rappresenti un'onda riflessa:

• Ψ₁ = e^ikx + Be^ik'x
• Ψ₂ = Ae^ik'x

Condizioni di raccordo:

• Ψ₁(0) = Ψ₀(0)
• Ψ₁'(0) = Ψ₀'(0)

• 1 + B = A
• ik(1-B) = ik'A → k(1-B) = k'(1+B)

• B = ^k-k'/_k+k'
• A = ^2k/_k+k'

Quindi, non è possibile avere pura trasmissione.

Per ciascun termine della soluzione è possibile definire un valore per la corrente J,

J(x) = iħ/m [Ψ^*_dΨ/^dx Ψ - Ψ_dΨ^*/^dx]

Coefficiente di riflessione: R = |J_rifl/J_inc = ħk |B|²/m|m/ħk = |B|² = ^(k-k')/k+k')²

Coefficiente di trasmissione: T = J_tr/J_inc = k'^|A|₂/k = ^4k_'k/^(k+k')₂

R + T = |B|² + k'/k|A|² = ^(k-k')₂/k+k')² + ^4k_'k/^(k+k')₂ = ^(k+k')₂/^(k+k')₂ = 1

3.11.4 Oscillatori armonici accoppiati

Ĥ = \( \frac{\hat{p}_1^2}{2m_1} \) + \( \frac{\hat{p}_2^2}{2m_2} \) + \( \frac{k}{2} (x_1^2 + x_2^2) \)

In Ĥ c'è un termine di interazione tra i due corpi, quindi gli autostati non sono gli stati

prodotto, ma combinazioni lineari di stati prodotto.

caso classico:

m₁ | m₂

Lo spazio di Hilbert totale è: \(\mathcal{H}_{\text{tot}} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2\)

Base di \(\mathcal{H}_1\): {|0⟩, |1⟩, .... }

Base di \(\mathcal{H}_2\): {|0⟩, |1⟩, .... }

Base di \(\mathcal{H}_{\text{tot}}\): {|0,0⟩, |0,1⟩, |1,0⟩, |1,1⟩, .... } ma non è la base di autostati.

Passiamo nel sistema del centro di massa:

• \(\hat{x} = x_1 - x_2\)
• \(x_{\text{cm}} = \frac{x_1m_1+x_2m_2}{m_1+m_2}\)

• \(x_1 = \bar{x}_{\text{cm}} + \frac{m_2}{m_1+m_2} \hat{x}\)
• \(x_2 = \bar{x}_{\text{cm}} - \frac{m_1}{m_1+m_2} \hat{x}\)

\(\hat{p} = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2} (\frac{\hat{p}_1}{m_1} - \frac{\hat{p}_2}{m_2}) = m_2\hat{p}_1 - m_1\hat{p}_2\)

\(\hat{p}_{\text{cm}} = \hat{p}_1 + \hat{p}_2\)

• \(\hat{p}_1 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\hat{p}_{\text{cm}} + \hat{p}\)
• \(\hat{p}_2 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\hat{p}_{\text{cm}} - \hat{p}\)

Stiamo ristrutturando lo spazio di Hilbert:

• \(\mathcal{H}_{\text{tot}} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 = \mathcal{H}_{\text{cm}} \otimes \mathcal{H}_{\text{moto relativo}}\)

Verifichiamo che siano variabili canonicamente coniugate:

\([\hat{x},\hat{p}] = iħ \quad [x_{\text{cm}},\hat{p}_{\text{cm}}] = iħ\)

\([\hat{x},\hat{p}_{\text{cm}}] = [x_{\text{cm}},\hat{p}] = [x_{\text{cm}},\hat{x}] = [\hat{p}_{\text{cm}},\hat{p}] = 0\)

Verifichiamo il teorema di Kœnig:

• \(\frac{\hat{p}_1^2}{2m_1} + \frac{\hat{p}_2^2}{2m_2} = \frac{\hat{p}_{\text{cm}}^2}{2(m_1+m_2)} + \frac{\hat{p}^2}{2\mu}\)

quindi Ĥ = \(\frac{\hat{p}_{\text{cm}}^2}{2(m_1+m_2)} + \frac{\hat{p}^2}{2μ} + \frac{k}{2} \hat{x}^2 \Rightarrow Ĥ\) è separabile, k = m_rω² => ω = \(\sqrt{k/m_r}\)

Ĥ = \(\frac{\hat{p}_{\text{cm}}^2}{2(m_1+m_2)} + \frac{\hat{p}^2}{2} + \frac{1}{2} m_r \omega^2 \hat{x}^2\) => Autoket

\(|p_{\text{cm}}, n⟩\) Energetico: \(E_{\text{cm},n} = \frac{p_{\text{cm}}^2}{2(m_1+m_2)} + ħω \left(\frac{1}{2} + n\right)\)

particella libera

oscillatore armonico