Meccanica quantistica - parte 4

4. Teoria del momento angolare

4.1 Rotazioni e relazioni di commutazione del momento angolare

Rotazioni attorno allo stesso asse commutano, mentre attorno ad assi diversi non commutano.

Una rotazione in ℝ3 si esprime tramite una matrice 3x3 ortogonale (lascia la lunghezza invariata).

Infatti:

v' = ( v_x' ) = R ( v_x ) ( v_y' ) ( v_y ) ( v_z' ) ( v_z )

v'² = (v_x v_y v_z) R^T R (v_x v_y v_z) = v² R^TR = 1

La rotazione non è l'unica operazione espressa da una matrice ortogonale, ma c'è anche la riflessione, quindi poiché det R = ±1 (da det(A^TA) = 1 = det²A det R = (detR)¹) allora det R = 1 è una rotazione, det R = -1 è una riflessione.

Rotazione intorno all'asse z di un angolo φ: R_z(φ) = ( cosφ -sinφ 0 ) ( sinφ cosφ 0 ) ( 0 0 1 )

Rotazione intorno all'asse x di un angolo φ: R_x(φ) = ( 1 0 0 ) ( 0 cosφ -sinφ ) ( 0 sinφ cosφ )

Rotazione intorno all'asse y di un angolo φ: R_y(φ) = ( cosφ 0 sinφ ) ( 0 1 0 ) ( -sinφ 0 cosφ )

Nella forma infinitesima:

R_x(ε) = ( 1 0 0 ) ( 0 1 -ε ) ( 0 ε 1 ) , R_y(ε) = ( 1 -.ε²/2 ε ) ( 0 1 0 ) ( -ε 0 1-ε²/2 ) , R_z(ε) = ( 1 -ε 0 ) ( ε 1 0 ) ( 0 0 1 )

R_x(ε)R_y(ε)-R_y(ε)R_x(ε) = ( -.ε² ) ( 0 0 ) ( 0 0 )

Le matrici di rotazione formano un gruppo in ℝ3 che è il gruppo SO(3).

Rotazioni infinitesime in meccanica quantistica

|α⟩ ⟶ |α⟩_R = Ô(R)|α⟩

Ô(R) deve essere unitario, isometrico (invertibile) e per ψ=0 deve ridursi a Î.

Ô(Ĵ, s ψ) = Î - i ε Ĵ.

Con Ĵ un momento angolare scelto in maniera opportuna, in base alla rotazione che si vuole produrre.

Rotazioni finite in meccanica quantistica

Ô(n,φ) = exp[-ⁱ/_ħ n Ĵφ]

Ô(n,φ) deve avere le stesse proprietà al gruppo delle rotazioni nello spazio ordinario:

1. R₁ = 1 => Ô(R₁ = 1) = Ĥ
2. R₂ => Ô(R₂^-1) = Ô(R₂)^-1
3. R₃ = R₂R₁ => Ô(R₃) = Ô(R₂)Ô(R₁)

Ô deve riprodurre le commutazioni:

Ô(x,ε)_ĵ Ô(y,ε)_ĵ - Ô(y,ε)_ĵ Ô(x,ε)_ĵ = Ôδ_(z,ε) Ĥ, infatti:

[ -i - ^{Ĵ_x ε}/_ħ + _{(iĴy ε)}²/_2ħ , i ^{Ĵ_y ε}/_ħ + _{(iĴy ε)}²/_2ħ] = Ĥ - i ^{Ĵ_x ε}/_ħ ε² - Ĥ

(-i/ħ)ε²[Ĵ_x, Ĵ_y] = -i ^{Ĵ_x Ĵ_y} ε²

Quindi:

• [Ĵ_x, Ĵ_y] = iħ Ĵ_z
• [Ĵ_y, Ĵ_z] = iħ Ĵ_x
• [Ĵ_z, Ĵ_x] = iħ Ĵ_y

Se un momento angolare Ĵ ha queste proprietà, allora genera rotazioni nello spazio quantistico che hanno le stesse proprietà delle rotazioni nello spazio ordinario.

Le relazioni del commutatore sono riassunte in: [Ĵ_i, Ĵ_ĵ] = iħ ε_ij^k Ĵ_k , i,j,k = 1,2,3

La matrice rappresentativa di 𝎍(_n̂,φ) ha la forma:

Ogni elemento è del tipo: <j',m'| 𝎍(_n̂,φ)|j,m> = <j',m'|exp(-i_Ĵ•_n̂φ) |j,m>

Considero _Ĵ²𝎍(_n̂,φ)|j,m> = 𝎍(_n̂,φ)_Ĵ²|j,m>= 𝎍(_n̂,φ) ħ₂ j (j+1) |j,m> =

= ħ₂ j (j+1) 𝎍 (_n̂,φ) |j,m>

⇒ 𝎍 (_n̂,φ) |j,m> è autoket di _Ĵ² con autovalore ħ₂ j (j+1)

Quindi: 𝎍 (_n̂,φ) |j,m> = Σ_m'=-j^jC^m_{m' |j,m'>}

, i C_m' dipendono dal tipo di rotazione

Per cui scrivo: <j',m'|𝎍(_n̂,φ)|j,m> = Σ_m'=-j^jC^m_{m' δjj'}

Quindi per avere elementi di matrice diversi da zero bisogna incontrare indici di riga e di colonna con lo stesso j, per questo la matrice è a blocchi.

Ciò significa che ruotando uno stato con definiti j si manda questo in un altro stato con lo stesso definito j, quindi il modulo del momento angolare rimane invariato.

4.4 Momento angolare orbitale

É definito come L̂̅ = r̅̂ x p̅̂. Le componenti sono:

• L̂_x = ŷ̂ p̂_z - ẑ̂ p̂_y
• L̂_y = ẑ̂ p̂_x - x̂̂ p̂_z
• L̂_z = x̂̂ p̂_y - ŷ̂ p̂_x

Per verificare che sia un momento angolare, e quindi che generi rotazioni, controlliamo i commutatori:

[L̂_x, L̂_y] = [ŷ̂ p̂_z - ẑ̂ p̂_y, ẑ̂ p̂_x - x̂̂ p̂_z] = [ŷ̂ p̂_z, ẑ̂ p̂_x] - [ŷ̂ p̂_z, x̂̂ p̂_z] - [ẑ̂ p̂_y, ẑ̂ p̂_x] + [ẑ̂ p̂_y, x̂̂ p̂_z] = ŷ̂ [p̂_z, ẑ̂ p̂_x] + x̂̂ [ẑ̂, p̂_z] ŷ̂ = iħ L̂_z

Cerchiamo di capire che tipo di rotazione genera:

Ô(Ŝ, i L̂₂ δφ) = ⁱ/_ħ i L̂₂ δφ = ^-i+/_ħ i L̂₂ δφ

Lo facciamo agire su uno stato di posizione definita:

(^-i/_ħ δφ

x', y', z'| = (^-i/_ħ Ş δφ + i ^{ให้ ℕพ̧}/_ħφ)x', y', z'| = (^-i/_ħ xφ + i ^świet/_ħφ)ŷ

= - (^{ili m}/_ňiď gzó)^{Ụſfŵเดี} x', y', z'| = l

x'* y'*i, y*, z'|x

Anche gli stati di momento definito vengono ruotati.

Si ottiene una rotazione degli stati di moto di una particella.

̅

- x x́ sin φ, o

̅(x', ο, ο

)

Valutiamo l’effetto di L̂_z sulla funzione d’onda.

x’, y’, z’ | L̂_z | x = x’ | ŷ̂ p̂_z - ŷ̂ p̂_z |x = -iħ( ^d/_dy' - ŷ^p/_dx)φ_x(x)

Quelli dello span sono già autostati di ̂:

̂ |¹/₂⟩₁ |¹/₂⟩₂ = (̂₁ + ̂₂) |¹/₂⟩₁ |¹/₂⟩₂ = ħ |¹/₂⟩₁ |¹/₂⟩₂ = > m=1

̂ |¹/₂⟩₁ | -¹/₂⟩₂ = (̂₁ + ̂₂) |¹/₂⟩₁ | -¹/₂⟩₂ = 0 = > m=0

otteniamo così lo spettro di ̂.

Non sono, invece, autostati di ̂² (solo 1° e 4° lo sono)

Definiamo: ̂²₊ = ̂ + î , ̂²_- = ̂ - î

̂² = ̂₊² + ̂_-²

̂₊² |¹/₂⟩₁ | -¹/₂⟩₂ = 0

Quindi |¹/₂⟩₁ |¹/₂⟩₂ ho m=1, e ̂₊² lo annichila quindi s=1 (solo così sappiamo che m ha raggiunto il valore massimo possibile).

Quindi ̂² su questo stato farà 2ħ².

|¹/₂⟩₁ |¹/₂⟩₂ = | s=1, m=1, s₁ = ¹/₂, s₂ = ¹/₂ ⟩ = |s=1, m=1⟩

Per trovare gli altri autostati simultanei ai ̂² e ̂ applico ̂_- a quello trovato:

̂_- |s=1, m=1> = (̂₊₁ ̂_-2+̂_-1 ̂₊₂) |¹/₂⟩₁ |¹/₂⟩₂ =√2ħ |¹/₂⟩₁ |-¹/₂⟩₂

= > |s=1, m=0⟩ = 1/^√2 [|¹/₂⟩₁ |-¹/₂⟩₂ + | -¹/₂⟩₁ |¹/₂⟩₂ ]

⇒|s=1, m=0⟩ = 1/^√2 [|¹/₂⟩₁ |-¹/₂⟩₂ + | -¹/₂⟩₁ |¹/₂⟩₂ ]

̂ |s=1, m=0⟩ = 0, 2ħ² |s=1, m=0 ⟩

Quindi, partendo dallo base dei autostati simultanei di ̂²₁,̂²₂, ̂₁, ̂₂ : {|s₁, m⟩ |s₂, m⟩}, passo alla base degli autostati simultanei di ̂², ̂², ̂ , ̂ : {|s, m⟩, s₁, s₂⟩ }

Ho trovato 3 stati di questa nuova base:

|¹/₂, 1⟩ = |¹/₂⟩₁ |¹/₂⟩₂ = |+⟩₁ |+⟩₂

|¹/₂, 0⟩ = 1/^√2 [|¹/₂⟩₁ |-¹/₂⟩₂ + | -¹/₂⟩₁ |¹/₂⟩₂ ] = 1/^√2 [|-⟩₁ |+⟩₂ + |+⟩₁ |-⟩₂ ]

|¹/₂, -1⟩ = |-¹/₂⟩₁ |-¹/₂⟩₂ = |-⟩₁ |-⟩₂

Questi sono detti stati del singoletto.

La base di partenza ha 4 elementi, quindi ne manca uno alla nuova base.

Questo avrà sicuramente m=0 e sarà dato da una combinazione lineare dei ket con m=0 della vecchia base, ortogonale a quella già utilizzata.