Fisica 2 - Elettromagnetismo, onde e meccanica quantistica

FORZA DI COULOMB

Descrive l'interazione tra due particelle cariche:

in cui _{ˆ r} k = 8,9874 · 10⁹ Nm²

k si esprime solitamente come:

Quantità di carica:

Valgono due principi fondamentali:

• Conservazione della carica: La carica netta o totale di un sistema isolato non cambia.
• Sovrapposizione degli effetti: Su una carica q agisce la risultante di tutte le forze applicate.

CAMPO ELETTRICO E

È definito come la forza che agisce su una carica di prova in virtù di una qualsiasi distribuzione di cariche.

Linee di forza di

la carica di prova è sempre positiva per convenzione.

(in questo caso in basso a sinistra sono entranti, in alto a destra sono uscenti)

Potenziale elettrostatico

Consideriamo il lavoro che deve compiere per spostare una q₀ da una zona a un'altra di un campo elettrico.

L_AB(x) = ∫_A^B F · ds

ds

F = ^q_pq_s/_4πε0r² u_r

Notiamo che:

L_AB = ∫_rA^{r_B q_pq_s}/_4πε0r² dr

= qpqs/4πε0 [-1/r]rBrA

= ^q_pq_s/_4πε0 [(-¹/_rB) + (¹/_rA)]

Dipende solo dal punto d'inizio e dal punto finale.

Campo conservativo

Il campo elettrico è conservativo, infatti il lavoro si può esprimere come variazione di energia potenziale.

L_AB = -ΔU_e = ^q_pq_s/_4πε0 (¹/_rA - ¹/_rB)

Inoltre, si definisce il potenziale come

V = ^U_e/_qp, [V]: [J/C]

In differenziale:

dV = -E · ds = - ^q/_4πε0r² dr

V = ^q/_4πε0r + cost.

L_AB = -q [V(_B) - V(_A)]

ΔV = -∫ E · ds

dV = -E_s ds

In coordinate cartesiane:

E = -[^∂V/_∂x i + ^∂V/_∂y j + ^∂V/_∂z k]

→ E = - V

operatore nabla

La conservatività del campo elettrico può essere riespressa come:

∮ E · ds = 0

Energia del Campo Elettrostatico

Consideriamo un condensatore a facce piane || di capacità C.

Quanto vale il lavoro per portare dq da una parte all’altra?

ma

Per un caricamento totale si ha:

quindi

Il lavoro compiuto per caricare il condensatore si trasforma in energia del campo elettrico

ricordando ,

Che è l’energia totale del condensatore che come vediamo dipende dal volume _{campo elettrico}

Si può introdurre il concetto di densità di energia del campo elettrostatico

Tale risultato è generale e applicabile a qualsiasi campo elettrostatico

Interazione Magnetica

Si deduce dall'interazione con alcuni minerali del ferro (ferromagnetici), dopo aver escluso un'elettrizzazione di tipo elettrostatico. La particolarità dell'interazione magnetica è l'impossibilità di isolare un polo (carica): sono sempre in coppia.

Esistono solo dipoli magnetici.

Si osserva anche che un filo percorso da corrente genera un campo magnetico.

Relazioni Cariche - Campo Magnetico

Sperimentalmente si osserva che:

• una carica elettrica ferma in un campo magnetico non subisce interazioni;
• una carica elettrica con velocità costante v in un campo magnetico B subisce una forza q v x B, direzione perpendicolare alla velocità e verso dato dalla regola della mano destra → Forza di Lorentz

Dato che la forza è sempre ⊥ alla velocità, ne cambia solo direzione e non modulo cioè non compie lavoro (il campo magnetico attraverso F_L).

F_L ⋅ v ⋅ dt = dL

(q ⋅ v x B) ⋅ v ⋅ dt = dL

→ Prodotto misto con 2 vettori uguali = 0

Esempio

F_L= q(v_⊥ x B) = q(v_⊥ + v_||) x B

(q(v_⊥ x B + v_|| x B)) = q v_⊥ x B

→ Frequenza ciclotronica

Quindi acc. centripeta:

\( \frac{v^2}{R} = \frac{F_L}{m} = \frac{q v B}{m} \)

\( R = \frac{m v}{q B} \)

\( \omega = \frac{q B}{m} \)

Moto circolare traslato con v_|| → Ellica circolare

P = v_|| ⋅ Δt

→ \( T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi m}{q B} \)

→ p = v_|| \frac{2 \pi}{\omega}

Magnetismo nei materiali

• Materiali con dipoli magnetici microscopici;
• Materiali senza dipoli magnetici.

Circondiamo entrambi i materiali con dei solenoidi.

Si allineano i dipoli per unità di volume;

n . _m = ^M momento di dipolo magnetico per unità di V

Momento di dipolo magnetico di tutto il cilindro = M . L . S

M ( S ( L ) ) = ( M (ε) S = I_M S

        I_M / l = M ^l corrente per unità di lunghezza

F = q v x _B,   F = qv B = ma_c = m v₁² / R

| ω | = q B / m   ω - e _B / m

La forza di Lorentz agisce sugli elettroni mettendoli in moto circolare → corrente circolare si instaura un mom magnetico indotto che si oppone al campo esterno.

Il caso ¹ corrisponde ai comportamenti paramagnetici e ferromagnetici al comportamento diamagnetico

Scarica del condensatore

V_c (t) = ^q₀⁄_C

q(t) = q₀ e^-t/RC

V_c (t) = ^q(t)⁄_C = ^q₀⁄_C e^-t/RC

E(t) = ^q(t)⁄_{ε0 ∑} = ^q₀⁄_{ε0 ∑} e^-t/RC

i(t) = ^dq⁄_dt = ^q₀⁄_RC e^-t/RC = ^V_c⁄_R

Attenzione: la corrente non passa attraverso il condensatore; è l'accumulo di carica su una faccia che induce un accumulo di cariche opposte sull'altra faccia (instaurando quindi una corrente anche nell'altro ramo). (Induzione)

C = ε₀ ^∑⁄_h

E = ^V_c⁄_h

i_s = ^dq⁄_dt = ^d⁄_dt (CV) = ε₀ ^d⁄_dt (^∑V_c⁄_h) = ε₀ ^d⁄_dt (∑E) = i^{approssimativamente detta}

J_s = ^i_s⁄_∑ = ε₀ ^dE⁄_dt

i = i_c + ε₀ ^d⁄_dt Φ(E)

J = J_c + ε₀ ^dE⁄_dt