Meccanica delle terre

, CAPITOLO QUINTO

MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE

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CAP. V - MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE

così che la quota piezometrica costituisce l'energia totale dell'acqua.

il carico idrau­

Una fondamentale relazione tra la velocità di filtrazione e

stata trovata sperimentalmente da d'Arcy ("Les fontaines publiques de

lico è si

la Ville de Dijon", 1856). Per la legge di d'Arcy, la velocità di fIltrazione

esprime nella forma:

-+ -t

-k -kl

v= h=

\1

ovvero, in componenti,

ah (5.7a)

=- k ·ax

x x

V ah (5.7b)

k

vy - - y ay

ah

= - (5.7c)

Vz kz az

il k k kz

dove h carico idraulico posseduto da un elemento liquido e e so­

,

è x y

detti "coefficienti di permeabilità". Le derivate parziali

no ah ah ah

=

= z

y =

ix ax ' i ay , i az -+

i.

rappresentano le componenti del gradiente idraulico

Sostituendo le (5.7) nella (5.5) si ottiene l'equazione

2

2 2

a h a h a h

+ + o

k k k

-. -a - a = (5.8a)

z

x -2- 2 2

y

ax z

y

il

che prende nome di "equazione di Laplace" e che, risolta per le assegnate

contorno, permette di ricavare la distribuzione dei carichi idrau­

condizioni al

in punto del terreno in cui è presente un moto di fIltrazione. Ottenuti

lici ogni

i valori di h, mediante la (5.6) si determina immediatamente la distribuzione

delle pressioni interstiziali u. '

=

k k kz k

= = cost, la (5.8a) si riduce alla equazione:

Nel caso in cui =

x y 2

2

2

a h a h a h =

- + -- + - O (5.8b)

2

2

ax ay az

2

e, per un moto di ftltrazione piano, alla equazione

.~. 5.1 - Introduzione il

Il principio delle tensioni efficaci stabilisce chiaramente ruolo delle

pressioni interstizial i nella definizione del comportamento meccanico delle

in

terre. Ha pertanto interesse esaminare dettaglio i fenomeni connessi con la

presenza dell'acqua nel terreno, sia in condizioni di quiete che di moto relati­

vo tra le fasi (filtrazione). L'acqua a cui ci si riferisce è quella cosidetta "libe­

ra", non adsorbita dai granuli, in grado cioè di muoversi per effetto di una va­

riazione delle tensioni totali applicate o della pressione interstiziale. il

L'obbiettivo dello studio è quello di descrivere geometricamente moto

dell 'acqua nel terreno, di valutare le portate in gioco e di conoscere lo stato di

sforzo nella fase liquida e in quella solida. Nel far ciò ii terreno viene schema­

tizzato con un modello di mezzo poroso che soddisfi l'ipotesi, verificate in

gra~

pratica entro ampi limi ti, di incompressibilità del fluido interstiziale e dei

il

nuli solidi; di conseguenza, se mezzo poroso è saturo ogni sua variazione

il

volumetrica è accompagnata, per principio di conservazione della massa, da

una identica variazione del contenuto volumetrico d'acqua.

5.2 - Equazioni generali della filtrazione

La descrizione del moto di un fluido in un mezzo poroso richiede che sia­

no soddisfatte le condizioni di continuità e le equazioni di stato sia per la fase

fluida che per quella solida. TI principio delle tensioni efficaci consente, inol­

tre, di completare la descrizione dello stato di sforzo nel mezzo.

Prima di illustrare in dettaglio le condizioni anzidette è necessario intro­

durre il concetto di "velocità di filtrazione". Nel moto di filtrazione, l'acqua

percorre gli spazi -intergranulari attraverso sezioni di dimensioni molto variabi­

li. Risultano di conseguenza variabili i valori locali delle velocità nei diversi

.punti del mezzo poroso. E' quindi necessario descrivere il moto del fluido in

termini di quantità medie, riferite all'area lorda della sezione attraversata o al­

la frazione di area lorda corrispondente ai vuoti.

~

Q

Indicando con la portata passante attraverso un elemento di lunghezza

il

L e sezione lorda A, si definisce "velocità di filtrazione" rapporto

Q

-+

v = - -.

A

Si definisce inoltre "velocità media effettiva" il rapporto

~

Q

~,

v ---

A v

68 LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE

la somma delle aree degli spazi intergranulari (media lungo L). Dal­

dove A è

v

la definizione di porosità, n, risulta

A =nA

v

e quindi tra la velocità di filtrazione e quella media effettiva sussiste la relazio­

ne -.

..... =

v n v'. =

Se si assume indicativamente per i terreni n 0.5, si ricava che la velocità me­

il

circa doppio della velocità di filtrazione.

dia effettiva è ~si

il moto di un fluido- nei mezzi porosi fa

Per semplicità, nel descrivere

st'neralmente riferimento alla velocità di filtrazione. il

condizione di continuità per la fase liquida si esprime mediante

La.

principio di conservazione della massa.

Considerando un elemento di terra, completamente saturo, di dimensioni

dx, dy, dz (fig. 5.l),

z H G

I

I

D C Ò

-<-r )

Y

Yw +

x V V

V w x

I x

w òx

-~ dz

lE ­ F

,--

/

/

/ B

A dx ,

o x

Fig. 5.1 - Filtrazione un volume elementare di terra.

in

in un assegnato intervallo di tempo l'acqua può entrare o uscire dall'elemento

attraverso le sue facce, così come può accumularsi (con segno positivo e nega­

CAP. V - MOTI DI FILTRAZIONE NELLE TERRE 69

tivo) nel suo interno per effetto, ad esempio, della compressibilità dello sche­

letro solido.

li rispetto del principio di conservazione della massa impone che, in tale

intervallo di tempo, la quantità d'acqua che entra nell'elemento meno la quan­

tità di acqua che ne esce sia uguale alla quantità d'acqua accumulata nell'ele­

mento stesso.

Se si indica con V la componente della velocità di filtrazione lungo la di­

x

rezione x, la quantità d'açqua che nell'unità di tempo entra nella faccia ADHE

è pari a Vx dy dz, mentre la quantità d'acqua che esce dalla faccia BCGF è

'Yw

data dalla espressione

+

Vx _a_ vx ) dx] dy dz

'Yw ('Yw

[

. ax . _

- -

La quantità netta d'acqua che entra o che esce dall'elemento attraverso le fac­

ce ADHE e BCGF risulta di conseguenza:

a~ a~

=

+ vx) dx ] dy dz - Vx dy dz dx dy dz

['Yw ('Yw 'Yw ('Yw

x V(l:)

V (5.l)

Quantità analoghe alla possono essere ricavate per le componenti della·

(5.1)

velocità di filtrazione lungo gli assi y 'e z.

il

Indicando con P peso dell'acqua accumulata nell'elemento di terra, il

w

principio di conservazione della massa si esprime mediante l'equazione: °

a ap

a a ] w

[ + + + - -

<ix

vx) -a' v -a- vz) dy dz =

- ('Yw ('Yw ('Yw

)

y

ax y z at (5.2)

ap 0,

Nel caso particolare in cui __ l'equazione si semplifica nella

=

w_

at

a . a a

+- +- (5.3)

vx) vz)=O.

- ('Yw ('Yw ('Yw

Vy)

ax ay az

~ asse~za

il princ