Meccanica delle strutture - Appunti/Esercitazioni

Elementi di calcolo vettoriale

Un vettore si rappresenta come segmento orientato.Un vettore è caratterizzato da 3 attributi:- modulo (intensità e lunghezza) ꞉ = - = || = ₂+₁+₂

• direzione ꞉ retta su cui giace il vettore
• verso ꞉ dato dalla posizione della freccia

Prodotto di uno scalare per un vettoreSia uno scalare (in qualunque numero reale)Sia un vettore

è un vettore avente:

• modulo ꞉ ||
• direzione ꞉ è quella dello stesso vettore
• verso ꞉
• coincide col verso di se >0
• è opposto a quello di se <0

Casi particolari

• =0 ⟹ il prodotto =0 (vettore nullo = moltiplicando un qualunque vettore =0)
• =-1 ⟹ - opposto -
• =±1 ⟹±() = vers (versore del vettore) = ¹/ = (versore = vettore con modulo 1)

Somma di vettori

Appicatici in uno stesso punto-regola del parallelogramma+ (per calcolarlo si crea un parallelogramma)

-

• la somma non cambia se cambio l'ordine dei due vettori
• = proprietà commutativa

Somma di 3 vettori

nello stesso punto ()

• si sommano 2 vettori alla volta con la regola del parallelogramma
• non importa in che ordine si riportano vettori
• vettori si riportano uno di seguito all'altro

CASO PARTICOLARE

a + b + c = 0

vettore nullo perché riporta in P

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA dei vettori

• siano i, j, k i vettori che individuano i semassi positivi OX, OY, OZ
• i segmenti OA, OB, OC individuano le componenti FX, FY, FZ del vettore F nelle tre direzioni del riferimento cartesiano
• F = (FX, FY, FZ)
• le componenti possono essere negative
• se fossero tutte e tre = 0 il vettore sarebbe nullo (no lunghezza)

es.: F = (1, 0, 0) = i

F = (0, 1, 0) = j

F = (0, 0, 1) = k

=> domanda: come si scrive il vettore F attraverso le sue componenti?

risposta: F = FX i + FY j + FZ k

es.: siano F1 = (F1X, F1Y, F1Z) e F2 = (F2X, F2Y, F2Z) due vettori rappresentati dalle loro componenti cartesiane.come si esprime il vettore (somma) F1 + F2?

F1 + F2 = (F1X + F2X) i + (F1Y + F2Y) j + (F1Z + F2Z) k

F1 = (2, 0, 3);

F2 = (4, 0, -1)

F = F1 + F2 = (2+4) i + (0+0) j + (3+(-1)) k= 6 i + 0 j + 2 k

Somma o composizione di 2 forze non applicate nello stesso punto

P: Punto di interesse, il punto in comune tra m₁ e m₂, dove F₁ e F₂ vengono traslati

Es: Due vettori su un'unica retta

E = F₁ + F₂

Es: Due vettori su un'unica retta con verso opposto

F₁ + F₂ = 0 → si annullano = vettore nullo

Es: Due vettori su rette diverse

• B₁ = F₁ + K₁
• B₂ = F₂ + K₂

K₂ = -K₁ (segno opposto) come non avvenì aggiunti

F = B₁ + B₂ = F₁ + K₁ + F₂ + K₂

= F₁ + F₂

ESERCIZIO 2

PROBLEMA:- data la forza 3F in D, calcolarela forza X in modo che lafune assume la configurazionedel disegno

• equilibrio del nodo C

N_CD = 3F

N_A • cos30° = N_CD

N_CDcos30°

x N_A

N_CD = N_Acos30°

3F = N_A • 2√3F ⇒

x = N_A • cos60° = 2√3F • 1¹ /_x = √3F

• equilibrio nodo D

N_B 3F

N_CD = 3F

(NB: 3F

45°

45°

NB: perché

è 3F ma in obliquo)

ESERCIZIO 3

forze note (modulo - lunghezza - numero quadretti)

N_A

A

C

3F

L_D

B

F_L = 2F

• calcolare le reazioni N_A e N_B conoscendo F_A e F_L
• poligonale delle forze:
  1. O = F₁
  2. 1-2 = F₂

P_O N_A

N_CD

1 2P: N_B

se la fune è senza peso, la forza interna (es. 2-1) operantein ogni punto in un tratto di fune (es. C-D) è costante ed èmisurata da un segmento nella poligonale delle forze

ex: in un punto G del tratto C-D, la forza interna (della fune normale)è misurata dal segmento 1-P

(se è considerata senza peso)

SECONDA PARTE - ATTO DI MOTO ROTO-TRASLATORIO E GRADI

RIASSUNTO FORMULE:

du_F = du_Z + dΘ^A ∧ (p-a)

L da cui la formula scalare:

• du_x = du_Z + dΘ^y (y_p-y_a)
• du_y = - dΘ^x (z_p-z_a)

FORMULA DELL'ATTO ROTATORIO INTERNO:

du_P = du_α + dΘ^C1 ∧ (p-c₁)

non ha la parte traslatoria

L da cui le formule scalari:

• du_P,x = dϖ^C1 (y_p-y_C1)
• du_P,y = - dϖ^x (z_p-z_C1)

C1: centro di rotazione

DAL PUNTO DI VISTA:

• cinematica, rappresenta
• il punto attorno al quale
• il corpo compie una
• rotazione assoluta.
• C1 non trasla, ruota soltanto

le rette rosse inclinato

dell'angolo 50° rispetto alle proiezioni

orizzontale e verticale del corpo, rappresentano

le catene cinematiche e misurano gli spostamenti

orizzontali e verticali di tutti i punti del corpo

- il punto C1 non si sposta, ma tutti i punti da E a F (che sono lungo C1)

non si muovono in verticale ma si muovono in orizzontale

- se il corpo non ruota, il corpo C1 va all'infinito in direzione perpendicolare al vettore d^A