Appunti Meccanica delle strutture

1

S OMMARIO

1 RICHIAMI DI MECCANICA DEL CONTINUO....................................................................5

1.1ANALISI DELLA DEFORMAZIONE............................................................................. 5

1.2ANALISI DELLA TENSIONE....................................................................................... 7

1.3PLV (PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI).....................................................................9

1.4LEGAME COSTITUTIVO.......................................................................................... 10

1.5SIMMETRIE MATERIALI.......................................................................................... 11

1.5.1MATERIALE MONOCLINO................................................................................. 11

1.5.2MATERIALE TRICLINOCLINO O ORTOTROPO....................................................11

1.5.3MATERIALE TRASVERSALMENTE ISOTROPO....................................................11

1.5.4MATERIALE ISOTROPO.................................................................................... 11

1.6 PROBLEMA DELL’EQUILIBRIO ELASTICO..............................................................12

1.7 ENERGIA POTENZIALE TOTALE............................................................................12

ENERGIA INTERNA.................................................................................................. 13

POTENZIALE DELLE FORZE..................................................................................... 14

ENERGIA POTENZIALE TOTALE...............................................................................14

TEOREMA DI STAZIONARIETÀ DELL’ENERGIA POTENZIALE TOTALE........................14

2MODELLAZIONE DELLA TRAVE: PROBLEMA ASSIALE..................................................16

2.1 IL MODELLO DI TRAVE (assiale)...........................................................................17

SPOSTAMENTI (campo di spostamenti)..................................................................17

DEFORMAZIONE..................................................................................................... 17

TENSIONE (si introduce il legame costitutivo)........................................................17

SFORZO NORMALE................................................................................................. 17

EQUILIBRIO............................................................................................................. 17

PROBLEMA DELL’EQUILIBRIO ELASTICO.................................................................17

2.2 ENERGIA POTENZIALE TOTALE............................................................................18

FUNZIONALE........................................................................................................... 19

3 MODELLAZIONE DELLA TRAVE: TRAVE INFLESSA DI EULERO BERNOULLI..................21

3.1 IL MODELLO DI TRAVE.......................................................................................... 21

SPOSTAMENTI......................................................................................................... 22

DEFORMAZIONE (tramite l’eq. di congruenza).......................................................22

SIGNIFICATO MECCANICO DELLA ε.........................................................................22

TENSIONE............................................................................................................... 23

CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE...........................................................23

EQUILIBRIO............................................................................................................. 23

PROBLEMA DELL’EQUILIBRIO ELASTICO.................................................................24

2 3.2 ENERGIA POTENZIALE TOTALE............................................................................24

3.3 METODO VARIAZIONALE APPROSSIMATO............................................................28

3.4 METODO DI PENALIZZAZIONE (PENALTY)............................................................30

3.5 MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE............................................................................31

3.6 TRAVE SU SUOLO ELASTICO................................................................................32

4.0 STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO...................................................................................33

CARICO CRITICO..................................................................................................... 34

PUNTO DI VISTA ENERGETICO DEL PROBLEMA DELLA STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO

............................................................................................................................... 35

4 STABILITÀ DI TRAVI INFLESSE..................................................................................... 39

4.1 APPROCCIO STATICO............................................................................................ 40

4.1.1 LA TRAVE SEMPLICEMENTE APPOGGIATA.......................................................41

4.2 APPROCCIO ENERGETICO.................................................................................... 44

4.3 METODO VARIAZIONALE APPROSSIMATO............................................................45

4.4 TRAVE SU SUOLO ELASTICO................................................................................47

4.4.1 SOLUZIONE APPROSSIMATA TRAMITE APPROCCIO ENERGETICO...................48

5 MODELLAZIONE DELLA TRAVE: TRAVE DI TIMOSHENKO............................................48

TRAVI TOZZE:......................................................................................................... 48

5.1 IL MODELLO DI TRAVE.......................................................................................... 48

SPOSTAMENTI (eq. di campo).................................................................................48

DEFORMAZIONE..................................................................................................... 49

TENSIONI................................................................................................................ 50

CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE...........................................................50

EQUILIBRIO............................................................................................................. 51

PROBLEMA DELL’EQUILIBRIO ELASTICO.................................................................51

5.2 DETERMINAZIONE DEL FATTORE DI CORREZIONE A TAGLIO................................52

SEZIONE CIRCOLARE.............................................................................................. 57

5.3 SOLUZIONE ANALITICA........................................................................................ 59

5.4 ENERGIA POTENZIALE TOTALE............................................................................59

5.5 METODO VARIAZIONALE APPROSSIMATO............................................................60

6 PROBLEMI BIDIMENSIONALI: LASTRA E PIASTRA........................................................62

6.1 LASTRA................................................................................................................ 63

6.1.1 CINEMATICA................................................................................................... 63

6.1.2 LEGAME COSTITUTIVO...................................................................................63

6.1.3 EQUAZIONI DI EQUILIBRIO.............................................................................66

6.1.4 ENERGIA POTENZIALE TOTALE E FORMULAZIONE VARIAZIONALE

APPROSSIMATA....................................................................................................... 67

6.1.5 APPLICAZIONE............................................................................................... 68

3 6.2 PIASTRA DI KIRCHHOFF-LOVE..............................................................................69

SPOSTAMENTI......................................................................................................... 69

DEFORMAZIONI...................................................................................................... 70

TENSIONI................................................................................................................ 70

LEGAME COSTITUTIVO_ ORTOTROPO.....................................................................70

LEGAME COSTITUTIVO_ ISOTOTROPO....................................................................71

6.2.1 IPOTESI DI BASE............................................................................................ 72

6.2.2 EQUAZIONI DI EQUILIBRIO TRAMITE PLV........................................................74

6.2.3 LEGAME COSTITUTIVO...................................................................................80

6.2.4 ENERGIA POTENZIALE TOTALE......................................................................83

6.2.5 APPLICAZIONE............................................................................................... 83

6.3 PIASTRA DI REISSNER-MINDLIN............................................................................84

6.3.1 IPOTESI DI BASE............................................................................................ 84

6.3.2 EQUAZIONI DI EQUILIBRIO TRAMITE PLV........................................................85

6.3.3 LEGAME COSTITUTIVO...................................................................................87

6.3.4 ENERGIA POTENZIALE TOTALE......................................................................88

6.3.5 APPLICAZIONE............................................................................................... 89

7................................................................................................................................... 89

13................................................................................................................................. 89

14 INTRODUZIONE AL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI...............................................90

14.1 OSSERVAZIONI SUI METODI VARIAZIONALI APPROSSIMATI CLASSICI.................90

14.2 REQUISITI DI UNA BUONA PROCEDURA COMPUTAZIONALE...............................90

14.3 PROBLEMA 1D DELLA BARRA............................................................................. 91

14.4 IDEA DI BASE..................................................................................................... 91

14.4 SCHEMA FEM..................................................................................................... 93

1. Discretizzazione del dominio in un insieme di elementi.....................................93

2. Derivazione delle equazioni per ogni elemento della mesh...............................93

3. Assemblaggio di tutte le equazioni ottenute per i singoli elementi per

determinare le equazioni del sistema strutturale completo...................................93

4. Imposizione delle condizioni al contorno (di tipo spostamento e tipo forza)......94

5. Soluzione del sistema di equazioni.....................................................................94

6. Postprocessing della soluzione...........................................................................94

Elementi 1D: ASTA e ELEMENTI LASTRA.................................................................94

1. DISCRETIZZAZIONE DEL DOMINIO......................................................................94

2. DERIVAZIONE DELLE EQUAZIONI PER OGNI ELEMENTO.....................................95

3. ASSEMBLAGGIO.................................................................................................. 99

4. CONDIZIONI AL CONTORNO............................................................................. 102

5. SOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI..........................................................103

4 6. POSTPROCESSING DELLA SOLUZIONE..............................................................104

15 ELEMENTO ASTA INCLINATA...................................................................................104

16 ASSEMBLAGGIO..................................................................................................... 110

16.1 TRAVATURA RETICOLARE................................................................................. 110

16.2 ASSEMBLAGGIO MATRICE DI RIGIDEZZA.........................................................117

16.3 ASSEMBLAGGIO VETTORE FORZE....................................................................118

16.4 CC.................................................................................................................... 118

17 ELEMENTO FINITO TRAVE INFLESSA EULERO-BERNOULLI......................................119

17.1 ELEMENTO FINITO TRAVE INFLESSA................................................................120

17.2 EQUILIBRIO DELL’ELEMENTO...........................................................................121

17.3 APPROSSIMAZIONE PER L’ELEMENTO..............................................................122

17.4 ENERGIA POTENZIALE APPROSSIMATA............................................................122

17.5 STAZIONARIETÀ DELL’ENERGIA POTENZIALE TOTALE DEL SINGOLO ELEMENTO

................................................................................................................................ 122

17.6 FUNZIONI DI INTERPOLAZIONE (DI APPROSSIMAZIONE): POLINOMI DI HERMITE

................................................................................................................................ 123

18 IL PROBLEMA DELLA TRAVE............................................................................. 133

18.1 ELEMENTO FINITO TRAVE INFLESSA................................................................133

APPROSSIMAZIONE PER ELEMENTO.....................................................................134

ENERGIA POTENZIALE APPROSSIMATA.................................................................134

FUNZIONI DI INTERPOLAZIONE (DI APPROSSIMAZIONE):......................................135

STAZIONARIETÀ DELL’ENERGIA POTENZIALE TOTALE DEL SINGOLO ELEMENTO. .135

VETTORE DELLE FORZE........................................................................................ 136

18.2 TRAVE INCLINATA............................................................................................. 136

VETTORE DEGLI SPOSTAMENTI E DELLE FORZE NEL RIFERIMENTO GLOBALE......137

MATRICE DI RIGIDEZZA E VETTORE DELLE FORZE NEL RIFERIMENTO GLOBALE. .137

19 ELEMENTI FINITI TRAVE INFLESSA CON DEFORMAZIONE A TAGLIO TIMOSHENKO. 137

19.1 ELEMENTO FINITO TRAVE INFLESSA................................................................138

COORDINATE NATURALI........................................................................................ 139

19.2 ENERGIA POTENZIALE TOTALE........................................................................139

APPROSSIMAZIONE............................................................................................... 140

EQUILIBRIO DELL’ELEMENTO................................................................................ 140

FUNZIONI DI APPROSSIMAZIONE..........................................................................142

ESEMPIO............................................................................................................... 142

19.3 PROGRAMMA MAPLE........................................................................................ 143

PERCHÉ NASCE IL LOCKING.................................................................................. 147

COME EVITARE IL LOCKING................................................................................... 150

PROGRAMMA MAPLE............................................................................................. 151

5

20 ELEMENTI FINITI 2D (triangolari)............................................................................153

FUNZIONI DI APPROSSIMAZIONE..........................................................................155

DEFORMAZIONE................................................................................................... 156

LEGAME COSTITUTIVO.......................................................................................... 157

(�

ISOTROPIA –TENSIONE PIANA = 0)..................................................................157

z (�

ISOTROPIA –DEFORMAZIONE PIANA = 0).........................................................158

z

ENERGIA POTENZIALE TOTALE DEL SINGOLO ELEMENTO:....................................158

LA STAZIONARIETÀ DELL’ENERGIA POTENZIALE FORNISCE:.................................158

20.1 APPLICAZIONI (Zienkiewicz-Taylor)..................................................................160

20.2 ELEMENTO TRIANGOLARE DI ORDINE SUPERIORE...........................................163

20.3 TRIANGOLO DI PASCAL.................................................................................... 165

21 INTEGRAZIONE NUMERICA (QUADRATURA DI GAUSS)...........................................165

21.1 METODO DEI COEFFICIENTI INDETERMINATI....................................................166

21.2 FORMULA DI GAUSS-LEGENDRE......................................................................167

SI OTTIENE IL SEGUENTE SISTEMA DI EQ.............................................................167

RISOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQ........................................................................168

SOLUZIONE........................................................................................................... 168

FORMULE SU PIÙ PUNTI........................................................................................ 169

NOTA.................................................................................................................... 169

21.3 PERCHÉ UTILIZZARE L’INTEGRAZIONE NUMERICA?.........................................170

IDEA DI BASE........................................................................................................ 170

SCELTA.................................................................................................................. 170

IN DEFINITIVA....................................................................................................... 171

22 FUNZIONI DI INTERPOLAZIONE (ELEMENTI A 4 NODI)............................................171

UN CASO PARTICOLARE (ESEMPIO).......................................................................172

TERMINI GENERATI DA UN’ESPANSIONE DI LAGRANGE.........................................172

ELEMENTO A 9 NODI..............................................