Appunti Meccanica delle strutture

Come evitare il locking

150 Programma Maple

151520 Elementi finiti 2D (triangolari)

153 Funzioni di approssimazione

155 Deformazione

156 Legame costitutivo

(Isotropia - tensione piana = 0)

(Isotropia - deformazione piana = 0)

158 Energia potenziale totale del singolo elemento:

158 La stazionarietà

DELL'ENERGIA POTENZIALE FORNISCE: 15820.1 APPLICAZIONI (Zienkiewicz-Taylor) 16020.2 ELEMENTO TRIANGOLARE DI ORDINE SUPERIORE 16320.3 TRIANGOLO DI PASCAL 165

21 INTEGRAZIONE NUMERICA (QUADRATURA DI GAUSS) 165

21.1 METODO DEI COEFFICIENTI INDETERMINATI 166

21.2 FORMULA DI GAUSS-LEGENDRE 167

SI OTTIENE IL SEGUENTE SISTEMA DI EQ 167

RISOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQ 168

SOLUZIONE

168FORMULE SU PIÙ PUNTI........................................................................................

169NOTA....................................................................................................................

16921.3 PERCHÉ UTILIZZARE L'INTEGRAZIONE NUMERICA?.........................................

IDEA DI BASE........................................................................................................ 170

SCELTA.................................................................................................................. 170

IN DEFINITIVA....................................................................................................... 171

22 FUNZIONI DI INTERPOLAZIONE (ELEMENTI A 4 NODI)............................................171

UN CASO PARTICOLARE (ESEMPIO).......................................................................172

TERMINI GENERATI DA UN'ESPANSIONE DI

LAGRANGE.........................................172

ELEMENTO A 9 NODI............................................................................................ 173

22.1 Elementi ISOPARAMETRICI...............................................................................174

ELEMENTI ISOPARAMETRICI..................................................................................174

22.2 ELEMENTI 2D................................................................................................... 175

ENERGIA POTENZIALE TOTALE DEL SINGOLO ELEMENTO:....................................175

LA STAZIONARIETÀ DELL’ENERGIA POTENZIALE FORNISCE:.................................176

1 RICHIAMI DI MECCANICA DEL CONTINUO

1.1 ANALISI DELLA DEFORMAZIONE CUn mezzo continuo Ω che cambia configurazione nel tempo, passando da (al tempo0Ciniziale del moto: t ) a (t> t ) come in Figura 1-1:0 06 (1.1)x è il vettore posizione del generico punto materiale di Ω in t . y è il

vettore posizione₀ dello stesso punto in t> t . u è il vettore spostamento del punto materiale: u= y- x₀(1.2)

Si utilizza la notazione di Voigt: le matrici a due indici sono organizzate come vettori: ē= T- VETTORE DEFORMAZIONE INFINITESIMA {ε ε ε γ γ γ }x y z xy yz xz

ē=- S u (1.3) ē- ( 6x1), S (6x3), u (6x1)- ε legate alle u attraverso le eq. di congruenza.

Se un corpo si deforma, la nuova configurazione sarà molto simile alla configurazione indeformata: IPOTESI base di tutti i modelli strutturali che andremo a studiare.

•= ∂/ ∂ x; y; z – Le componenti ε di rappresentano le DILATAZIONI LINEARI lungo gli assi di x; y; z riferimento.

Le componenti γ rappresentano gli SCORRIMENTI ANGOLARI tra le xy; yz; xz direzioni.

I valori delle DEFORMAZIONI e DIREZIONI PRINCIPALI si determinano risolvendo il problema di autovalori e autovettori [(λ - I) n=0]:7 da cui:T

Con n= {n n n } il versore

dipendenza della tensione dalla normale può essere scritta come: t = Nσ (1.8) dove σ è il vettore delle tensioni principali. La matrice dei coseni direttori N è definita come: N = [n1^T, n2^T, n3^T] (1.9) dove ni è il vettore normale al piano principale i e ^T indica la trasposta del vettore. Le tensioni principali σ sono legate agli invarianti della deformazione attraverso la legge costitutiva: σ = Dε (1.10) dove D è la matrice dei coefficienti elastici e ε è il vettore degli invarianti della deformazione. La matrice dei coefficienti elastici D è definita come: D = [D11, D12, D13; D21, D22, D23; D31, D32, D33] (1.11) dove Dij sono i coefficienti elastici. Gli invarianti della deformazione ε sono definiti come: ε = [ε1, ε2, ε3] (1.12) dove εi sono gli invarianti principali della deformazione. La relazione tra gli invarianti della deformazione e i gradienti di deformazione è data da: εi = ∂ui/∂xi (1.13) dove ui sono le componenti del vettore spostamento. In conclusione, la tensione t dipende dal punto P, dalla normale n e dagli invarianti della deformazione ε, secondo le relazioni (1.8), (1.9), (1.10), (1.11), (1.12) e (1.13).(1.8) assume la forma: t = N σ che sono “(3x1) = (3x6)(6x1)”. Indicando con b = {b b b} il vettore delle forze per unità di volume nel solido, x y z valgono le seguenti eq. indefinite di equilibrio (in ogni punto del corpo): T in forma compatta: S σ + b = 0 in Ω (1.12)
CC: t = N σ = p su ∂Ω.
Le direzioni e le tensioni principali si determinano risolvendo il problema di autovalori ed autovettori: Le direzioni principali di tensione sono quelle direzioni “n” per cui il vettore tensione (t) è proprio diretto come la normale (n): abbiamo solo tensioni normali e la tensione tangenziale è nulla.
Per ammettere soluzione diversa dalla banale, il sistema di eq. (1.13: (�- λ) n = 0) non deve avere rango massimo, ovvero deve soddisfare la seguente eq. caratteristica (o polinomio caratteristico): le J sono INVARIANTI DI TENSIONE.
1.3 PLV (PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI)
Si consideri un corpo Ω con

frontiera ∂Ω= ∂ Ω ∪ ∂ Ω e ∂ Ω ∩ ∂ Ω= ∅.

Siano assegnate le forze di volume b in Ω, le forze di superficie p su ∂ Ω e gli spostamenti u su ∂ Ω, quindi:

uTS σ + b= 0 in Ω | ε= S u in Ω^ut= N σ= p su ∂ Ω | u= su ∂ Ω

Si considera un campo di tensioni in equilibrio con le forze attive e reattive agenti sul corpo; si assume che siano soddisfatte le eq. (1.11: eq. indefinite di equilibrio) e le seguenti eq. al contorno: p con le componenti del vettore p.

Si assegni poi un campo di spostamenti u congruente con un campo di deformazioni ε= S u in Ω, ovvero si suppone che le deformazioni soddisfino l'eq. di congruenza (1.3: ∇u = S u); inoltre si assume u= su ∂ Ω.

Sotto tali ipotesi, si dimostra che il L = L per qualunque insieme di spostamenti v e virtuali (infinitesimi) compatibili con la continuità del

corpo (PRODOTTO SCALARE: a•Tb= b a): L = L (1.16)ve vi10 ^uT T TL = ∫ u b dV+ ∫ u p ds+ ∫ t ds= ∫ ε σ dV= L Il PLV valeve Ω Ω Ω Ω viindipendentemente dal materiale.

Il sistema delle forze e quello degli spostamenti non sono legati fra loro da alcun nessodi tipo causa-effetto.

Vale inoltre quanto segue:

• Il soddisfacimento delle eq. di equilibrio e di congruenza implicano la validità dell’eq. (1.16: L = L ).ve vi
• Se sono soddisfatte le eq. di congruenza, l’eq. del PLV conduce all’equilibrio delle tensioni con le forze esterne.
• Se sono soddisfatte le eq. di equilibrio, l’eq. PLV conduce alla congruenza degli spostamenti con le deformazioni.

1.4 LEGAME COSTITUTIVO

Sono fondamentali le proprietà del materiale. I materiali compositi difficilmente sono isotropi.

Le eq. di legame forniscono una relazione tra la deformazione e la tensione; tale relazione dipende specificamente dal materiale.

che costituisce il corpo Ω. In particolare, si considera un materiale elastico, ovvero un materiale capace di restituire tutta l'energia spesa per deformarlo. Si assume inoltre che il materiale abbia un comportamento lineare, ovvero che la relazione tensione – deformazione sia di tipo lineare: σ = C ε (1.19) dove C è la matrice (6x6 simmetrica) elastica del materiale. Nel caso di materiali elastici lineari il tensore elastico C è definito da 21 costanti elastiche. Nei materiali ortotropi (è caratterizzato da proprietà meccaniche o termiche uniche e indipendenti nelle tre direzioni reciprocamente perpendicolari. Alcuni esempi di materiali ortotropi sono il legno, i metalli placcati) abbiamo 9 componenti indipendenti. Nei materiali trasversalmente isotropi abbiamo 5 componenti indipendenti. Nel caso di materiale isotropo abbiamo 2 componenti indipendenti. Si vogliono ora classificare i materiali in funzione di particolari proprietà,chiamateSIMMETRIE MATERIALI.

1.5 SIMMETRIE MATERIALI

1.5.1 MATERIALE MONOCLINO

1.5.2 MATERIALE TRICLINICO

CLINO O ORTOTROPO

1.5.3 MATERIALE TRASVERSALMENTE ISOTROPO

1.5.4 MATERIALE ISOTROPO

Il più ampio gruppo di simmetria possibile, cui corrisponde il minimo numero di costanti elastiche, è costituito dall'insieme di tutti i tensori di rotazione. In tal caso il materiale è detto isotropo, ed ha uguale risposta per ogni direzione. La matrice elastica dipende da solo due costanti elastiche, (modulo di Young) e (rapporto di Poisson).

Tornando alla notazione di Voigt, la relazione tensione-