Meccanica dei solidi

D D D

1211 11 1212 12 1213 13

  

  

D D D

1221 21 1222 22 1223 23

  

 

D D D

1231 31 1232 32 1233 33 –

–

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Simmetria del tensore di sforzo e deformazione (36 costanti)

In forma matriciale: D –

–

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In forma matriciale: 

 

11

 



 

22



 

  1  

       

    33

 

2 2 2 D 

ij 11 22 33 12 23 31 2

2  

12



 

2 23

 



 

2 31

–

–

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 dipende solo dal valore finale di deformazione e NON dalla storia di carico:

 d è un differenziale esatto (21 costanti)

ij ij D = D

ijkl klij

In forma matriciale: T

D = D –

–

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ISOTROPIA / ANISOTROPIA

Le proprietà del materiale sono associate ad una direzione o asse (rigidezza,

resistenza, coefficiente di espansione termica).

Un materiale è isotropo se le proprietà si mantengono costanti lungo tutte le

(∞

direzioni piani di simmetria).

Un materiale è anisotropo se le proprietà variano al variare della direzione o

dell’orientamento degli assi.

Ad esempio i materiali compositi (fibrorinforzati)

sono anisotropi, generalmente ortotropi, con tre

piani mutuamente perpendicolari di simmetria

L’intersezione

delle proprietà del materiale. tra

questi piani definisce tre assi mutuamente

ortogonali detti assi principali del materiale. –

–

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IL LEGAME ELASTICO LINEARE ISOTROPO

Un semplice cambio di parametri permette di scrivere:

 –

–

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IL LEGAME ELASTICO LINEARE ISOTROPO





 

Essendo Il legame diretto diventa





ij ij  

   

 

I I I I

 

 

    

1 2 1 2

2

G I 2

G

   

     

ij 1

I I

1 ij 2 ij ij ij

Ad esempio  

I I

 

 

    

    

1 2

2

G 2

G

 

 

11 11 22 33 11 11

   

 

     

     

2

G 2

G

11 22 33 22 33

 

     

      

2

G 11 22 33 –

–

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In forma matriciale: –

–

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Costanti ingegneristiche:

Il legame diventa:    

 

1 0 0 0

 

   

1 0 0 0

 

 

   

1 0 0 0

 

 

 

1 2

 

E 0 0 0 0 0



D  

   2

   

1 1 2  

 

 

1 2

 

0 0 0 0 0

 

2

 

 

 

1 2

 

0 0 0 0 0

 

 

2

–

–

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In forma inversa il legame diventa :

 

 

 

   

1 0 0 0

11 11

 

   

 

 

1 0 0 0

 

   

22 22

 

   

 

 

1 0 0 0

1

 

33 33

 

   

 

 

 t

E 0 0 0 1 0 0

 

   

12 12

 

 

   

 

 t

0 0 0 0 1 0

 

   

13 13

 

 

 t

 

0 0 0 0 0 1

   

 

23 23

 

 

1 0 0 0

 

 

1 0 0 0

 

 

  1 0 0 0

1

 

 

C D 1  

 

 

E 0 0 0 1 0 0

 

 

 

 

0 0 0 0 1 0

 

 

 

 

0 0 0 0 0 1

 

–

–

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COSTANTI INGEGNERISTICHE

Legame elastico lineare isotropo

E = modulo elastico (di Young)

 = coefficiente di contrazione traversale (di Poisson)



 

   

E 11 33

22

  

11 11 11

F 3 E E 

    

E 0 G 0 0

.

5

1 F

2 3 2

–

–

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MATERIALE ELASTICO - LINEARE

  

D

ij ijkl kl D è una matrice 6x6 simmetrica; quindi nel

caso di materiale completamente anisotropo

ho 21 costanti indipendenti.

 

   

11 11

   

  • Se il comportamento del materiale è simmetrico

   

22 22

   

  rispetto a tre assi mutuamente ortogonali, si parla



33 33

   

D di ortotropia (9 costanti).

 

6x6

   

12 12

   

  • Se il materiale presenta anche simmetria di

13 13

   

 

   

    rotazione attorno ad uno di questi assi, si dice

23 23

σ ε trasversamente isotropo (5 costanti).

• Se il comportamento del materiale è simmetrico

rispetto a qualunque asse, si parla allora di

isotropia (2 costanti). –

–

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MATERIALE ISOTROPO

Sforzo normale Sforzo di taglio



  x

x E





  x

y E t t 



2 (1 )

  

xy xy

xy G E

• Nel caso di sforzi di puro taglio si generano deformazioni puramente angolari

(un elemento cubico si trasforma in un rombo con lati uguali)

• Lo sforzo normale non genera deformazioni taglianti e viceversa.

–

–

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Alcuni valori: –

–

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DEFORMAZIONI TERMICHE –

–

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FORMULAZIONE DEL PROBLEMA ELASTICO LINEARE 3D

Noto:

• Geometria; );

• Proprietà del materiale (E,

• Condizioni al contorno:

F V in termini di spostamenti impressi

     

 



s s x s x s x su S

 

1 2 3 V

S S

V e carichi applicati

f

F      

 



F F x F x F x in V

 

1 2 3

     

 



f f x f x f x su S

 

1 2 3 F

Si vuole determinare:

• Vettore degli spostamenti (3 campi incogniti)

       

 



s x s x s x s x

 

1 2 3

• Tensore delle deformazioni (6 campi incogniti)

             

 

      

ε x x x x x x x

 

11 22 33 12 13 23

• Tensore degli sforzi (6 campi incogniti);

             

 

    t t t

σ x x x x x x x

 

11 22 33 12 13 23

–

–

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FORMULAZIONE DEL PROBLEMA ELASTICO LINEARE 3D

Le equazioni governanti il problema sono:

  

    

F 0 in V n f su S

  3 equazioni di equilibrio + c.c.

 ij,i j ij i j F

  





 s

s  

   

1 j

 

 i in V s s su S 6 equazioni di congruenza + c.c.

 

 

2

ij i i V

X X

  

j i

  

D in V 6 equazioni del legame costitutivo

 ij ijkl kl NB: Si dimostra che la soluzione esiste ed è unica!

(Teorema di Kirchhoff) –

–

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FORMULAZIONE DEL PROBLEMA ELASTICO LINEARE 3D

  t

 t

   

 31

11 21

 F 0

   1

 x x x

   t  t 



1 2 3 n n n f

  11 1 21 2 31 3 1

t

t 

 

     t    t  3 equazioni di