Meccanica dei materiali - Appunti presi a lezione

PUNTI DI NON DERIVABILITÀ PUNTI DI DISCONTINUITÀ

lim () = +∞ lim () =

1

0+

→ 0+

→

e

√ lim () =

lim () = +∞ 2

Punto di flesso a →

→ 0− 0−

due limiti finiti

lim () = −∞ Discontinuità

tangente verticale 0+

→ e di I specie ≠

lim () = −∞ (a salto) 1 2

→ 0− lim () = ∈ ℝ

0+

→

lim () ma diversi

o

0+

→

|[. ]| ≠ lim () = ∈ ℝ

lim () →

→ 0−

0−

Punto angoloso due limiti diversi ma uno dei due è

finito

Ricordando il concetto di derivata:

La derivata rappresenta la pendenza della retta tangente nel punto

Esempio

Supposta una porzione di trave, vediamo cosa avviene in un determinato intervallo:

Sulla porzione di trave possono essere applicati dei carichi esterni:

- ();

Un carico distribuito trasversalmente (carico trasversale)

- ();

Un carico distribuito lungo l’asse (carico assiale)

- ();

Un momento flettente ()

() ()

()

Giuseppe Carlomagno

39

Considerato un punto generico, si effettua una sezione

0 ()

()

()

Isolando solo una porzione, ad esempio la porzione di destra, avremo:

Nasceranno:

- sforzo normale

- sforzo di taglio

- momento flettente

Analogamente sulla porzione di sinistra, avremo:

, ,

Noti

Si vuole determinare l’andamento che governano , ,

Spostandoci da per un infinitesimo

0 ()

()

+ () Giuseppe Carlomagno

40

Le porzioni di destra (o di sinistra) avranno ampiezza proprio a

Per cui, si indicano le due porzioni come concio infinitesimo di trave,

Per cui, per la porzione di destra, avremo:

+

+

+

Analogamente sulla porzione di sinistra

L’equilibrio di un corpo deve essere garantito punto per punto e con continuità.

- All’equilibrio globale partecipano i carichi esterni (carichi attivi e reattivi)

-

All’equilibrio locale partecipano i carichi esterni e le azioni interne , ,

In termini infinitesimi, considerando il concio infinitesimo di piano che è un punto:

( ) ( )

+ = +

( ) ( )

+ = +

( ) ( )

+ = +

- Equilibrio alla traslazione assiale per sforzo normale

( ) ( ) ( )

+ − + = 0

Essendo che la risultante di p(x) sarebbe l’area della distribuzione di carico,

( )

= ∙

che in questo caso è infinitamente piccola, per cui ()

( ) ( ) ( )

+ − + ∙ = 0

( ) ( ) ( )

+ − + ∙ = 0

∙

( ) ∙ =

( ) =

Per cui la dipendenza tra il carico assiale interno e quello esterno è

Per cui il carico q assiale esterno distribuito sul concio è pari alla derivata dello sforzo normale interno.

Giuseppe Carlomagno

41 () =

In assenza di carichi assiali distribuiti,

() = 0 =0

Se allora

Per cui lo sforzo normale è costante

- Equilibrio alla traslazione trasversale per sforzo di taglio

( ) ( ) ( )

+ − + = 0

Essendo che la risultante di p(x) sarebbe l’area della distribuzione di carico,

( )

= ∙

che in questo caso è infinitamente piccola, per cui ()

−( ) ( ) ( )

+ + − ∙ = 0

−( ) ( ) ( )

+ + − ∙ = 0

∙

−( ) ∙ =

( )

− =

Per cui la dipendenza tra il carico assiale interno e quello esterno è

-

Il carico q trasversale esterno distribuito cambiato di segno è pari alla derivata dello sforzo di taglio interno.

Per cui, in generale: () =

- In assenza di carichi assiali distribuiti,

() = 0 = 0,

Se allora per cui lo sforzo normale è costante

() =

- In assenza di carichi trasversali distribuiti,

() = 0 = 0,

Se allora per cui lo sforzo di taglio è costante

() ()

- Avendo un carico trasversale uniformemente distribuito ,

l’andamento del taglio sarà lineare (lo sforzo di taglio è lineare);

()

Avendo un carico trasversale linearmente distribuito

- (

inteso come funzione

),

lineare

l’andamento del taglio sarà quadratico (lo sforzo di taglio è parabolico).

()

- Avendo un carico trasversale linearmente distribuito (inteso come funzione quadratica),

l’andamento del taglio sarà cubico (lo sforzo di taglio è di 3° grado).

Giuseppe Carlomagno

42

- Equilibrio alla rotazione per momento flettente

È necessario definire un polo su cui effettuare la rotazione: il punto di applicazione A

+

+

+

Stabilito il sistema di riferimento con verso orario come positivo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ ∙ − ∙ ∙ − + − ∙ = 0

2

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ ∙ − ∙ ∙ − − ∙ = 0

2 2

−

( ) ( ) ()

∙ − ∙ − ∙ = 0

2

trascurabile poiché ha un ordine di grandezza superiore

quindi, MOLTIPLICANDO E DIVIDENDO per :

∙

−

( ) ( )

∙ − ∙ = 0

Per cui, si può concludere dicendo che:

− =

( ) ( )

(),

A meno della distribuzione del momento il taglio è pari alla derivata del momento flettente.

Nelle forze di taglio, nasce anche un momento flettente, e questo vale sempre!

Una forza di taglio, nelle teorie di travi, non implica mai un taglio puro

(ad eccezione del momento torcente) Giuseppe Carlomagno

43

Per cui riepilogando:

( )

=

-

La derivata dello sforzo normale è pari alla distribuzione di sforzo

normale applicato sul corpo

( )

− =

-

La derivata del taglio è il carico distribuito

− =

( ) ( )

-

La derivata del momento flettente è il taglio

facendone la primitiva

carico taglio momento

Carico ()

concentrato costante lineare (retta)

0 funzione di grado 0 funzione di grado 1

o distribuito nullo

distribuito quadratico

lineare (retta)

funzione di grado 0

costante (parabola)

funzione di grado 1 funzione di grado 2

distribuito quadratico (parabola) cubico

funzione di grado 1 funzione di grado 2 funzione di grado 3

lineare facendone la derivata Giuseppe Carlomagno

44 Metodo diretto per il calcolo delle azioni interne matematiche

È necessario partire dal diagramma di corpo libero,

quindi bisogna aver determinato tutte le forze esterne o interne che siano:

Esempio 1

Data una trave a mensola incastrata soggetta a:

- Una forza assiale p;

- Una forza trasversale F.

1. Conversione dalla rappresentazione grafica al diagramma di corpo libero

=∙

Secondo il metodo diretto per il calcolo delle azioni interne matematiche

Sezionato il corpo in 2 porzioni, ad una certa quota x

essendo che l’equilibrio deve essere garantito punto per punto,

allora vorrà dire che l’equilibrio è garantito per qualsiasi porzione considerata

Per cui, definito come sistema di riferimento il concio infinitesimo di trave così:

Consideriamo:

- positivo quando è uscente (sforzo di trazione);

- positivo quando impone una rotazione oraria;

o quando tende a mettere in trazione le fibre inferiori.

- positiv

Giuseppe Carlomagno

45

Per cui, applicato nel nostro caso A: () ()

()

= =

∙

() ()

()

=

∙

Fissato un punto di origine x, detto sistema di riferimento

Essendo che l’equilibrio deve valere punto per punto,

è possibile definire l’equilibrio di una delle due porzioni di trave:

in questo caso si considera la porzione di sinistra,

per la quale si definiscono le 3 equazioni di equilibrio.

()

=

∙

= ()

()

∙

2. Dominio

0<<

3. Stabilire l’equilibrio

a. alla traslazione assiale

( ) − = 0

b. alla traslazione traversale

( )

− = 0

c. alla rotazione rispetto al punto B, punto in cui è stato sezionato il corpo

( ) − ∙ + ∙ = 0

Definendo gli equilibri di forze e momenti, si è arrivati ad ottenere un sistema,

il seguente:

( ) =

( )

{ =

( ) = ∙ − ∙ Giuseppe Carlomagno

46

Difatti: ( ) = () → In assenza di carichi assiali distribuiti

→ In assenza di carichi trasversali distribuiti

( )