Meccanica dei fluidi, parte finale - Risoluzione numerica delle equazioni di Navier Stokes

5-APPROCCIO NUMERICO AL MOTO TURBOLENTO

5.1-LIMITE DELLE SOLUZIONI ANALITICHE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER STOKES

Le soluzioni anali che alle equazioni di Navier-Stokes, che descrivono il moto di un fluido

newtoniano incomprimibile e pesante, sono state o enute solo per casi molto par colari,

con la preroga va fondamentale che il moto sia laminare. Le equazioni di Navier-Stokes [∗],

sviluppate a raverso l'equazione di con nuità e le tre componen scalari dell'equazione di

bilancio della quan tà di moto, presentano una cri cità per la risolvibilità anali ca nel

termine delle accelerazioni conve ve, che è non lineare nella velocità

⎧ + + =0

⎪ 1

⎪ + + + = + + − +

⎪ [∗]

1

⎨ + + + = + + − +

⎪

⎪

1

⎪ + + + = + + − +

⎩

Da un punto di vista anali co, questa non linearità rende difficile trovare una soluzione

quando questo termine è importante. Dal punto di vista fisico, quando le forze conve ve

sono preponderan rispe o al termine viscoso delle forze che tendono a ristabilire la

regolarità del campo di moto, le instabilità vengono progressivamente amplificate e si

instaura un regime di moto necessariamente cao co, tridimensionale e non stazionario.

Nel caso specifico del moto in condo a, è stata o enuta una soluzione anali ca per il moto

laminare, in cui il campo di velocità presenta un profilo parabolico e non ha componen

diverse da quella lungo l'asse: ),

= ( − = 0, = 0

Se il moto è turbolento, una rappresentazione istantanea delle linee di corrente sarà diversa

da quella degli istan successivi. Il moto è stre amente non permanente, le traie orie non

sono re linee, le linee di corrente non sono le stesse in tu gli istan e non hanno solo

componente lungo l'asse, e la velocità non è uniforme in tu e le sezioni trasversali.

5.2-METODI NUMERICI: DAL CONTINUO AL DISCRETO

In assenza della possibilità di o enere soluzioni anali che, l'alterna va consiste nel

ricorrere a metodi numerici. Il metodo anali co fornisce come risposta un campo con nuo,

ovvero il campo euleriano di interesse in tu i pun del dominio e in qualsiasi istante. Con

una soluzione numerica, invece, non si o ene mai un campo con nuo in tu i pun dello

spazio e in tu gli istan come risultato, ma è necessario accontentarsi di conoscere il

campo euleriano in un numero finito di pun nello spazio e in un numero finito di istan ,

quindi in momen discre dell'asse temporale. Si passa quindi da un dominio con nuo a un

dominio discreto.

Le derivate parziali presen nelle equazioni differenziali vengono sos tuite da rappor

incrementali. Quando si applica un metodo di differenze finite e si ha quindi una griglia di

pun anziché un dominio con nuo, non si considerano più derivate ma rappor

incrementali. Così come il dominio discreto è un'approssimazione del dominio con nuo, il

rapporto incrementale è un'approssimazione della derivata. L'approssimazione è tanto

migliore quanto più piccolo è il passo di griglia quindi quanto più fine è la risoluzione

Δ,

con cui si descrive il dominio.

La differenza non riguarda solo la risposta finale, ma anche ciò che deve essere risolto per

o enere la soluzione. Nel modello con nuo, il problema si traduce anali camente nella

risoluzione di equazioni alle derivate parziali. Si hanno qua ro equazioni: l'equazione di

con nuità e le tre componen dell'equazione di bilancio della quan tà di moto. La risposta

consiste in campi espressi mediante funzioni con nue.

Dal punto di vista numerico, si o ene il valore di ogni campo euleriano nei pun della

griglia e negli istan discre considera . Per o enere questa risposta è necessario

risolvere equazioni algebriche anziché differenziali, poiché il rapporto incrementale è

semplicemente la differenza della funzione in un punto e in un altro:

∂ ( + Δ) − ( )

≈

∂ Δ

Si tra a quindi di equazioni algebriche che contengono differenze, somme, rappor e

prodo , senza più calcolo differenziale.

Il problema consiste nel fa o che si ha una equazione algebrica da risolvere per ciascun

nodo della griglia e per ciascun istante di tempo. Disponendo di una funzione con nua, non

è necessario calcolare il valore in ogni punto poiché è sufficiente sos tuire i valori di e

,

all'interno della funzione stessa. Con un sistema discreto, si ha semplicemente il singolo

valore del campo in quel punto specifico e in quel valore di tempo specifico. Di

conseguenza, tali valori sono soluzioni di una equazione algebrica per ciascun punto della

griglia e per ciascun istante di tempo considerato.

Il vantaggio del passaggio dalla risoluzione di equazioni differenziali a quella di equazioni

algebriche, chiaramente molto più semplici da un punto di vista computazionale, deve

essere valutato considerando che è aumentato notevolmente il numero di equazioni da

risolvere. Si hanno equazioni algebriche più semplici ma un numero maggiore di equazioni

algebriche, una per ogni punto.

Se il numero di equazioni è uguale al numero di incognite, il problema è ben posto. In

entrambi i casi, sia nel modello con nuo che nel modello discreto, si ha uguaglianza tra

numero di equazioni e numero di incognite, quindi la chiusura del sistema è garan ta.

Il punto fondamentale consiste nel valutare quanto bene la soluzione numerica

rappresenta la soluzione anali ca, ovvero se le due soluzioni sono coeren . Il valore singolo

del campo euleriano generico nel punto discreto e nell'istante dovrebbe essere

effe vamente uguale al valore della funzione anali ca valutata in quel punto e in

quell'istante: ) (? )

( , , , = = ,

Per sapere se queste si equivalgono sarebbe necessario conoscere la soluzione anali ca. Di

fa o, non è possibile determinare esa amente la distanza dalla soluzione anali ca se

questa non è o enibile, come nel caso dei mo turbolen .

Tu avia, è possibile raccogliere elemen che consentono di conoscere alcune cara eris che

del processo fisico da risolvere numericamente, che pongono vincoli sul livello di

discre zzazione, ovvero su quanto fine deve essere la griglia che approssima lo spazio

con nuo.

È necessario capire quanto fine deve essere la griglia, quindi quan pun devono essere

u lizza per approssimare lo spazio con nuo, e lo stesso vale per il tempo. Questo dipende

dalla regolarità che ci si aspe a dalla soluzione.

Si consideri l'esempio in cui si vuole approssimare la derivata di una funzione o a

rispe ,

definita come il limite del rapporto incrementale per che tende a zero:

Δ

∆

= lim

∆

∆ →

In un punto generico , la derivata può essere rappresentata come la pendenza della re a

tangente alla curva.

Passando a una rappresentazione del rapporto incrementale per un dato significa

Δ,

spostarsi da di una quan tà e considerare la pendenza della re a che collega i due

Δ

pun con cui si approssima la funzione .

Se la funzione è regolare e la pendenza della re a data dal rapporto incrementale non è

tanto lontana dalla pendenza della re a tangente, significa che il usato è

Δ

sufficientemente piccolo per una buona approssimazione del sistema di eq. differenziali.

La situazione è diversa per una funzione che è meno regolare e presenta una

()

variabilità più elevata, ovvero un gradiente molto più variabile in .

Per percepire questa variabilità in una descrizione discreta del dominio, è necessario usare

un passo di griglia in grado di ca urare tali variazioni. Se si man ene lo stesso u lizzato

Δ

per la funzione regolare, la derivata calcolata in , rappresentata dalla pendenza della re a

tangente, e la re a data dal rapporto incrementale risultano molto diverse.

Per determinare il passo di griglia appropriato, quindi una premessa fondamentale

dell'impostazione di una risoluzione numerica di qualsiasi processo descri o da equazioni

differenziali, è necessario valutare e avere informazioni preliminari sull'en tà della

variabilità della soluzione, altrimen si rischia di perdere numerosi elemen del processo

stesso. U lizzando un estremamente piccolo si procede con sicurezza, ma un passo di

griglia piccolo significa u lizzare mol pun per approssimare lo spazio con nuo.

Si può essere cer di o enere una buona approssimazione u lizzando mol pun e un

passo di griglia piccolo, ma non si è sicuri di arrivare sempre a una soluzione perché con

mol pun aumenta il numero di equazioni algebriche da risolvere e quindi il costo

computazionale della simulazione. È necessario trovare un compromesso tra ques due

elemen .

Gli esempi considera , in cui il passo di griglia può essere rela vamente grande per la

regolarità della soluzione oppure deve essere rido o per una soluzione più complessa e

meno regolare, richiamano la differenza tra un campo di moto in regime laminare e un

campo di moto in regime turbolento. Nel primo caso, una eventuale risoluzione numerica

non richiederà una griglia par colarmente fine, grazie alla forte regolarità del moto. Nel

caso turbolento, sia la discre zzazione spaziale che quella temporale, essendo il moto

irregolare nello spazio e non stazionario, devono essere effe uate con un passo di griglia

sufficientemente piccolo per percepire un campo di moto estremamente più complesso.

Saranno quindi necessari più pun e più istan per una simulazione numerica di un

processo di moto turbolento.

Per determinare a priori quale risoluzione sia u le per descrivere il processo, è necessario

studiare qualita vamente il fenomeno della turbulenza. Lo studio fenomenologico della

turbolenza potrebbe cos tuire un corso a sé stante. È possibile percepirne le cara eris che

fondamentali a raverso la visualizzazione di un campo di moto turbolento mediante

esperimen .

5.3-FENOMENOLOGIA DELLA TURBOLENZA: VISUALIZZAZIONE SPERIMENTALE

L'esperimento considerato consiste in una canalina, un canale ar ficiale contenente fluido

fermo, in cui un supporto in movimento è a accato a una lastra piana che a raversa il

fluido. Si osserva sostanzialmente ciò che accade nel campo di moto di un fluido che investe

un ogge o. In questo caso par colare il fluido è fermo e l'ogge o è in moto, ma poco

cambia rispe o alla situazione inversa: il punto fondamentale è che esiste una velocità

rela va tra l'ogge o e il fluido.

All'estremità della lastra piana è posizionata una telecamera che consente di osservare ciò

che succede nell'immediato vicinato della lastra, e viene immesso un colorante che

perme e di studiare e visualizzare il campo di moto.

Dalla descrizione qualita va si osserva che il moto turbolento che si instaura nell'immediato

vicinato della superficie è cara erizzato dalla formazione di stru ure vor cose. Queste

stru ure cos tuiscono una rappresentazione estremamente qualita va, ma intui va, del

processo turbolento. Si nota che i vor ci non sono tu della stessa dimensione, ma

presentano diametri diversi a parità di istante considerato. Sono presen alcuni vor ci più

piccoli e altri più grandi. Studiando l'evoluzione temporale di ques vor ci, si osserva che

sono altamente instabili e che i vor ci più grandi tendono a deformarsi e a scomporsi in altri

vor ci più piccoli.

Confrontando il processo con uno analogo in cui viene aumentata la velocità di

spostamento della lastra, e quindi sostanzialmente il numero di Reynolds del processo di

flusso, si nota una fenomenologia simile con stru ure vor cose che tendono a deformarsi e

a decomporsi in stru ure vor cose più piccole.

Tu avia, dal colore della fotografia effe uata, si osserva che il colorante appare più diluito

rispe o al caso precedente, con tonalità di grigio anziché un bianco predominante. Questo

indica un maggiore mescolamento. Rispe o al caso con Reynolds minore, in cui bianco e

nero risultano più ne amente separa , il maggiore mescolamento significa che i vor ci

grandi riescono a scomporsi in vor ci più piccoli fino a raggiungere una lunghezza scala del

vor ce minimo più piccola rispe o al caso a Reynolds inferiore.

Qualita vamente, sono presen numerose stru ure vor cose che sono alimentate dalla

predominanza del termine delle accelerazioni conve ve, quello non lineare. Queste

stru ure si decompongono in vor ci progressivamente più piccoli fino ad arrivare a una

determinata dimensione minima del vor ce, oltre alla quale non si ha più la formazione di

stru ure vor cose. L'energia posseduta dai vor ci fino a quella soglia di dimensione viene

poi dissipata per effe o degli a ri , quindi intervengono le forze viscose.

Quando il numero di Reynolds è più elevato, il maggiore mescolamento indica che si

possono raggiungere vor ci più piccoli; le forze conve ve dominano su quelle viscose per

un intervallo di dimensioni dei vor ci più ampio. Le forze viscose dissipano l'energia di

ques vor ci piccoli in uno stadio successivo.

ESEMPIO: PERDITA LOCALIZZATA PER BRUSCO ALLARGAMENTO

Un esempio concreto di formazione di stru ure vor cose è rappresentato dalla perdita

localizzata associata a un brusco allargamento in condo a. Si è discusso già

precedentemente di formazione di stru ure vor cose perché sono presen regioni in cui la

corrente non è a dire o conta o con la superficie della condo a e si formano ricircoli che

non partecipano al moto medio e dissipano energia.

La connessione tra formazione di ricircoli e dissipazione dell'energia non è immediata. Dalle

equazioni di Navier-Stokes, i termini responsabili della dissipazione di energia sono quelli

lega alla viscosità, gli a ri . Gli a ri sono contenu nei termini viscosi, quindi ques sono

i soli responsabili nella dissipazione energe ca. La formazione di vor ci è invece legata al

termine di accelerazione conve va. Esiste quindi un processo intermedio tra la formazione

di stru ure vor cose e la dissipazione dell'energia.

Il ricircolo inizialmente, quindi la scala maggiore dei vor ci che si formano, è vincolato dalla

geometria del sistema. Si ha il diametro della condo a che determina un valore massimo

del diametro del vor ce. Questa lunghezza scala cara eris ca del problema viene indicata

con Questo vor ce tende, a causa dell'instabilità dovuta al termine conve vo che è

.

predominante nei mo turbolen , a essere instabile e a frammentarsi in vor ci

progressivamente più piccoli, cara erizza da una lunghezza intermedia .

Questo trasferimento di energia associata ai mo conve vi da vor ci più grandi a vor ci

progressivamente più piccoli prende il nome di cascata energe ca. Tale trasferimento può

avere luogo fintanto che i termini delle accelerazioni conve ve sono predominan rispe o

a quelli viscosi. Quando si raggiunge una lunghezza scala minima dei vor ci, indicata con la

le era greca non si passa al passaggio successivo della cascata energe ca perché, prima

,

che riescano a formarsi vor ci ancora più piccoli, l'energia è stata dissipata dalle forze

viscose.

Progressivamente, il vor ce associato a una lunghezza scala cara eris ca sempre più

piccola fa sì che il termine conve vo diven paragonabile con quello viscoso. A un certo

punto la cascata energe ca è interro a dall'insorgenza delle forze viscose dissipa ve.

Complessivamente, è corre o affermare che i ricircoli producono una dissipazione di

energia, ma ciò che avviene nel processo intermedio cos tuisce la cara erizzazione del

processo turbolento. Il vor ce in sé è associato al termine delle accelerazioni conve ve,

non immediatamente al termine delle forze viscose. È solo al termine di questa cascata che

l'energia dei vor ci, quindi dei mo turbolen , viene dissipata in calore.

vortici vortici

macro vortici

micro

medio intermedi

moto scala L scala scala

e n

ΔΗ dissipata

En

dissipata

En dissipata

En

energia

agitazione dissipata

En

turbolenta

5.4-TEORIA DELLA TURBOLENZA DI KOLMOGOROV E REQUISITI PER LA DNS

La scala cara erizza fenomenologicamente questo processo. L'obie vo era cercare di

prevedere a priori quale sia la discre zzazione necessaria perché il modello numerico sia

sufficientemente accurato nel fornire la soluzione. È necessario avere un'idea della

lunghezza scala di tu i processi in a o. Se sono presen processi turbolen fino a una

lunghezza scala quindi quella del vor ce più piccolo che si forma, questa rappresenta la

,

risoluzione, la lunghezza cara eris ca spaziale di parte del processo.

Se si u lizzasse una discre zzazione maggiore della scala si perderebbero quei vor ci.

Δ ,

Il conce o può essere paragonato alla risoluzione di un'immagine, che è tanto più ricca di

de agli quanto più il pixel è piccolo, ovvero quan più pixel descrivono l'immagine. Perdere

risoluzione significa avere meno pixel e quindi perdita di de agli. Nel problema di

discre zzazione di un sistema con nuo vale lo stesso principio: per riprodurre tu i

fenomeni del processo, cara erizza da scale spaziali fino alla scala non è possibile

,

fermarsi prima di nella discre zzazione spaziale Altrimen la dissipazione dei vor ci più

piccoli non viene rappresentata dal punto di vista della modellazione numerica, e la

soluzione fornita dal sistema di risoluzione numerica non sarà accurata perché si sta

perdendo parte del processo.

Per determinare a priori quanto vale la teoria della turbulenza di Kolmogorov afferma

,

che il rapporto tra la lunghezza spaziale cara eris ca e la lunghezza dei vor ci più grandi

ovvero il rapporto tra le lunghezze scala alle estremità della cascata energe ca, è

,

proporzionale a una potenza del numero di Reynolds:

/

∝

Questa relazione rappresenta quanto osservato qualita vamente negli esperimen : a due

numeri di Reynolds diversi, con Reynolds maggiore si osservava un maggiore

mescolamento, il che significava raggiungere una scala più piccola dei vor ci prima che

prevalessero le forze dissipa ve di natura viscosa. Reynolds maggiori corrispondono

effe vamente a un rapporto maggiore tra le lunghezze scala cara eris che alle estremità

della cascata, quindi a uno spe ro più ampio di lunghezze cara eris che.

L'informazione fornita dalla teoria della turbulenza di Kolmogorov cos tuisce un'indicazione

della risoluzione necessaria per un par colare numero di Reynolds. Se il passo di griglia è

Δ

maggiore della scala si perde parte del processo. Quando sono presen stru ure

,

vor cose cara erizzate da una lunghezza scala che si decompongono in stru ure

progressivamente più piccole (con passando a raverso lunghezze intermedie fino a

),

raggiungere la lunghezza scala minima oltre la quale si ha dissipazione per effe o delle

forze viscose, un passo di griglia troppo grande impedisce di ca urare tu ques de agli.

.

… …

Con un come quello di seguito si stanno perdendo de agli:

∆

∆

È necessario u lizzare un passo di griglia che sia almeno uguale a per essere sicuri di

riprodurre numericamente la cascata energe ca fino alla sua ul ma scala. Imponendo Δ =

è possibile o enere un'informazione sul numero di pun necessari per il modello discreto

,

per un dato numero di Reynolds.

Il numero di pun lungo la direzione è dato da:

= Δ

Dove è l'estensione del dominio lungo ovvero la lunghezza scala del dominio in quella

,

direzione. Poiché si desidera u lizzare si o ene:

Δ = ,

=

Dalla teoria della turbulenza di Kolmogorov, questo rapporto è proporzionale a:

/

∝

Questa relazione fornisce il numero di pun necessari in una sola delle tre direzioni spaziali.

Tu avia, operando in uno spazio tridimensionale con tre direzioni spaziali, è necessario

imporre il medesimo vincolo su tu e le direzioni. Anche e devono essere uguali a

Δ Δ .

Di conseguenza, il numero totale di pun spaziali è:

/ / / /

⋅ ⋅ ∝ ⋅ ⋅ =

La necessità di risolvere un numero di equazioni algebriche pari al numero di pun spaziali

descrive i campi euleriani in un solo istante temporale. Per mo vi pra camente analoghi a

quelli della discre zzazione spaziale, anche l'asse dei tempi richiede una discre zzazione

appropriata. Il numero di istan che devono essere considera è anch'esso proporzionale a:

/

∝

Il numero totale di equazioni algebriche da risolvere è dato dal prodo o:

= ⋅ ⋅ ⋅

Sos tuendo le proporzioni trovate: / / / /

∝ ⋅ ⋅ ⋅ =

La teoria della turbulenza di Kolmogorov indica quindi che, se si conosce a priori il numero

di Reynolds del processo, determinato da una lunghezza scala cara eris ca del problema,

una velocità scala cara eris ca e le proprietà del fluido, si hanno vincoli sulla

discre zzazione spaziale e temporale. Complessivamente, sarà necess