Meccanica dei fluidi, parte 10 - Equazioni di Navier Stokes, flusso di Couette e flusso di Poseuille

4.6.2-IPOTESI DI FLUIDO PESANTE E INCOMPRIMIBILE PER OTTENERE LE EQUAZIONI DI

NAVIER-STOKES (IN FORMA INDEFINITA)

Le equazioni su cui ci si focalizzerà da ora in avan rappresentano un caso par colare di

questo insieme di equazioni, a cui si aggiungono le solite ipotesi di fluido pesante e

incomprimibile.

Applicando le ipotesi si avrà che:

∂

⎧ + ∇ ⋅ (̅ ) = 0 ∇ ⋅ ̅ = 0

∂ )

(−∇z − = ∇ ⋅ Φ

→

̅

− = ∇ ⋅ Φ

⎨ =

= ()

⎩

L'equazione di con nuità assume quella forma perché il primo termine è zero (la densità è

costante nel tempo) e portando fuori la densità costante dal secondo termine si o ene

semplicemente la divergenza della velocità uguale a zero.

Questa semplificazione implica una conseguenza importante: il secondo termine

nell'espressione della divergenza del tensore degli sforzi si annulla. Infa , l'equazione di

conservazione della massa per fluido incomprimibile stabilisce che∇ quindi il

⋅ ̅ = 0,

termine scompare dall'equazione.

− ∇(∇ ⋅ ̅ )

La forma delle equazioni che si o ene so o le ipotesi di fluido newtoniano pesante e

incomprimibile cos tuisce le celebri equazioni di Navier-Stokes:

∇ ⋅ ̅ = 0

(−∇̃ − ) = ∇ − ∇ ̅

Il sistema è composto da qua ro equazioni: la prima è scalare, la seconda è ve oriale e

quindi corrisponde a tre equazioni scalari. Le incognite sono qua ro: la pressione e le tre

componen della velocità (, Il sistema risulta quindi chiuso.

, ).

Il fa o che il sistema sia chiuso rappresenta una condizione necessaria ma non sufficiente

per o enere soluzioni anali che. Contenendo sia derivate rispe o al tempo che derivate

spaziali, per sperare di o enere una soluzione par colare del problema saranno necessarie

condizioni iniziali e condizioni al contorno appropriate.

È possibile fare un ulteriore passo sos tuendo l'espressione dell'accelerazione:

∂⃗ ∂⃗ ∂⃗ ∂⃗

⃗ = + + +

∂ ∂ ∂ ∂

La prima è l'accelerazione locale, mentre gli altri tre termini cos tuiscono le accelerazioni

conve ve.

Portando i termini da una parte all'altra dell'uguale in modo opportuno, si o ene la forma

pica delle equazioni di Navier-Stokes:

∇ ⋅ ̅ = 0 ∇ ⋅ ̅ = 0

→

(−∇̃ − ) = ∇ − ∇ ̅ − − ∇̃ = ∇ − ∇ ̅

∇ ⋅ ̅ = 0

∂⃗ ∂⃗ ∂⃗ ∂⃗

+ + + = −∇ − ∇̃ + ∇ ⃗

∂ ∂ ∂ ∂

L'accelerazione conve va può essere compa ata. Si osserva che la densità mol plica

l'accelerazione conve va, e in par colare si hanno le tre componen della velocità , ,

che mol plicano le derivate rispe o a Questo richiama un prodo o scalare tra e il

, , . ⃗

gradiente di ⃗: ∂⃗ ∂⃗ ∂⃗ ∂⃗ (∇⃗)

+ + = + ⋅ ⃗

∂ ∂ ∂ ∂

∇ ⋅ ̅ = 0

∂⃗ (∇⃗)

+ ⋅ ⃗ = −∇ − ∇̃ + ∇ ⃗

∂

4.6.3-COMPLESSITA’ DELLE EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES IN FORMA INDEFINITA E

INTERPRETAZIONE NUMERO DI REYNOLDS

Le equazioni di Navier-Stokes cos tuiscono un sistema di equazioni alle derivate parziali (sia

nel tempo che nello spazio) con tante equazioni quante sono le incognite. Nella forma più

generale, le equazioni di Navier-Stokes non hanno una soluzione anali ca e ciò è un

problema matema co seolare; tu avia è possibile sfru arle nei seguen casi:

 Casi par colarmente semplifica consentono una soluzione anali ca

 Con un approccio numerico (risolvendo numericamente le equazioni) è possibile

trovare soluzioni; quest'ul mo approccio è uno strumento molto potente e di

frequente u lizzo

La difficoltà nell'o enere una soluzione anali ca deriva dal fa o che le equazioni sono non

lineari. Un termine lineare dipende semplicemente da un'incognita all'ordine 1, come i

termini contenen il gradiente di pressione o il laplaciano della velocità (che è una derivata

di ordine 2, ma della grandezza di ordine 1). Il termine che conferisce al sistema la non

linearità è quello delle accelerazioni conve ve Questo termine con ene la

[(∇⃗) ⋅ ⃗].

velocità che mol plica derivate spaziali della velocità stessa, creando una dipendenza non

lineare dall'incognita e ciò da problemi:

 Dal punto di vista matema co: complessità per il calcolo della soluzione anali ca

 Dal punto di vista fisico: quando questo termine è molto importante e rilevante,

piccole instabilità del moto vengono via via amplificate e quindi si arriva ad un

aumento dell’instabilità e cao cità del moto, pico del moto turbolento

Come già visto, il regime di moto dipende dal numero di Reynolds, con i valori cri ci che

dipendono dalla geometria del moto:

=

Dimostreremo di seguito numero di Reynolds può essere interpretato come il rapporto tra

forze conve ve e forze viscose. Quando il termine delle accelerazioni conve ve è

par colarmente elevato rispe o al termine viscoso (che con ene e rappresenta la

resistenza che il fluido oppone al moto cercando di riportare regolarità nel campo), il

Reynolds aumenta e aumenta la cao cità del moto.

Per calcolare esa amente i valori dei termini conve vo e viscoso in un

[(∇⃗) ⋅ ⃗] ∇ ⃗

punto specifico del flusso si dovrebbero conoscere punto per punto i campi euleriani (e

quindi risolvere le equazioni di Navier Stokes). Invece di cercare valori esa , ci si accontenta

di s mare l'ordine di grandezza dei termini usando valori rappresenta vi del problema,

chiama grandezze scala, cioè valori pici che cara erizzano il fenomeno fisico in esame;

per un fluido che scorre in condo a le grandezze scala cara eris che sono:

Velocità scala: la velocità media del fluido in condo a

o

Lunghezza scala: il diametro della condo a

o

Una volta scelto il fluido, le proprietà e sono note.

ORDINE DI GRANDEZZA TERMINE CONVETTIVO

La velocità viene sos tuita con (velocità media)

⃗

La derivata della velocità (nel nostro caso il gradiente) viene sos tuita con il

/

rapporto perché la variazione di velocità la consideriamo come velocità media e

/

l’unità sul quale consideriamo la variazione abbiamo de o che è la grandezza scala

diametro:

(¯ ⋅ ∇¯) = ⋅ =

ORDINE DI GRANDEZZA TERMINE VISCOSO

Dal momento in cui l’operazione di derivazione spaziale o meglio contribuisce con

/ ∇

un fa ore allora contribuirà con un fa ore e quindi:

1/, ∇ 1/

1

(∇ ¯) = ⋅ ⋅ =

Il rapporto tra i due ordini di grandezza è:

vo)

(conve /

= = =

(viscoso) /

Questo dimostra che effe vamente il numero di Reynolds può indicare se il termine

conve vo è di ordini di grandezza maggiore rispe o a quello viscoso, portando a un moto

fortemente instabile, cao co, necessariamente tridimensionale e non stazionario.

Le soluzioni anali che che si possono trovare prevedono come ipotesi fondamentale

quella di essere in regime di moto laminare.

PRIMO ESEMPIO: FLUSSO DI COUETTE

Si passa ora alla determinazione di una soluzione anali ca per una configurazione già vista:

il moto di un fluido compreso tra due lastre piane parallele. Tra le lastre si colloca un fluido

di proprietà e e la lastra superiore viene messa in moto con una forza Questo flusso

, .

prende il nome di flusso di Coue e.

La lastra superiore, una volta raggiunte condizioni di stazionarietà, si muove a una velocità

costante mentre la lastra inferiore è ferma. Questo esperimento è stato u lizzato per

,

arrivare alla misura della viscosità del fluido e per determinare uno dei coefficien

all'interno del modello reologico.

La prima ipotesi è che il fluido sia newtoniano, pesante e incomprimibile, quindi si possono

effe vamente usare le equazioni di Navier-Stokes. Conviene sviluppare le tre equazioni

ve oriali in tre equazioni scalari.

L'equazione di con nuità per esteso diventa:

∂ ∂ ∂

+ + =0

∂ ∂ ∂

Per dividere l'equazione ve oriale nelle tre componen , si prende la componente lungo

quella par colare direzione di ciascun ve ore che compare nell'equazione.

La componente lungo dell'equazione di Navier-Stokes è:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂̃ ∂ ∂ ∂

+ + + = − − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

La componente lungo è:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂̃ ∂ ∂ ∂

+ + + = − − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

La componente lungo è:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂̃ ∂ ∂ ∂

+ + + = − − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Si assume che il moto sia laminare. Questo significa che si riesce a mantenere la regolarità

data dalle condizioni al contorno: il fa o che una lastra si muova nella direzione fa sì che il

moto abbia questa come direzione principale. Se il moto è laminare, questa condizione può

essere mantenuta nel tempo e nei diversi pun dello spazio, quindi come conseguenza il

ve ore velocità è cos tuito dalla sola componente lungo :

¯ = (, 0,0)

Il processo può essere effe vamente monodimensionale

Si fa anche l'ipotesi di moto piano. Questo significa prendere il processo come

bidimensionale, ovvero nel piano Nella direzione che entra nel foglio si suppone che le

.

due lastre siano indefinitamente estese, e che quindi ciò che si studia per questa par colare

sezione sia replicato in tu e le altre sezioni nella direzione ortogonale. Sostanzialmente

questa ipotesi equivale a dire che non si ha velocità nella direzione perpendicolare al piano

e nemmeno ha senso studiare variazioni del campo di moto e di tu e le grandezze in quella

direzione. Si studia quindi il processo nel piano .

Un'altra ipotesi fondamentale è che il moto sia stazionario. Naturalmente è indispensabile

che il regime di moto sia laminare perché si possa fare questa ipotesi, altrimen il moto

turbolento è intrinsecamente non stazionario. Se il moto è laminare, l'ipotesi di moto

stazionario significa che non si stanno cambiando le condizioni dell'esperimento

esternamente, quindi la forza è sempre quella. Come conseguenza, tu e le derivate fa e

rispe o al tempo sono zero.

Con tu e queste ipotesi, si può semplificare il sistema di equazioni:

Ipotesi moto laminare: l'unica componente non nulla è quella parallela a Si possono

.

eliminare tu e le componen che contengono velocità e Quindi nella componente

.

dell'equazione si eliminano il secondo termine dell'accelerazione conve va e il terzo (che

contengono Nella seconda equazione (componente si elimina quasi tu o. Nella

e ). ),

terza equazione (componente anche qui si elimina quasi tu o.

),

∂ =0

∂

∂ ∂ ∂ ∂̃ ∂ ∂ ∂

+ = − − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂̃

0=− −

∂ ∂

∂ ∂̃

0=− −

∂ ∂

Ipotesi moto piano: se il moto è piano, tu e le derivate fa e rispe o a si annullano.

∂ =0

∂

∂ ∂ ∂ ∂̃ ∂ ∂

+ =− − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂̃

0=− −

∂ ∂

Moto stazionario: tu e le derivate fa e rispe o al tempo sono uguali a zero.

∂ =0

∂

∂ ∂ ∂̃ ∂ ∂

= − − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂̃

0=− −

∂ ∂

Dall'equazione di con nuità, se il moto è laminare:

∂ =0

∂

Ovvero l'unica componente della velocità non dipende dalla direzione spaziale della

componente stessa. Il campo di moto non varia nella direzione preferenziale: si può

ritenere come condizione sufficiente per avere moto uniforme. Il moto non è solo

stazionario ma anche uniforme: a qualsiasi sezione trasversale considerata, la

distribuzione di velocità sarà sempre uguale.

Ciò porta ad altre semplificazioni all'interno delle altre equazioni, in tu i termini che

contengono derivate di rispe o a

: ∂ =0

∂

∂ ∂̃ ∂

0=− − +

∂ ∂ ∂

∂ ∂̃

0=− −

∂ ∂

Si fa un'ul ma ipotesi: l'unica forzante del moto è la forza Se non si muovesse la lastra,

.

non si avrebbe nessun'altra azione che determina e innesca il moto del fluido. Non si ha una

variazione di carico tra monte e valle che porterebbe ad avere moto a raverso le lastre,

come può succedere in un moto in condo a indo o da una differenza di carico. L'ipotesi

che l'unica forzante del moto sia si traduce anali camente nel fa o che la pressione è

idrosta ca nella direzione del moto: ∂

̃ + =0

∂

Mol plicando per : ∂(̃ ) ∂

+ =0

∂ ∂

Questo significa che la somma di ques due termini fa zero e quindi:

∂

⎧ =0

∂

⎪

⎪ ∂

=0

∂

⎨

∂ ∂̃

⎪

⎪ + = 0

∂ ∂

⎩

Quest'ul ma equazione indica che la pressione è idrosta ca anche nella direzione quindi

,

la pressione è idrosta ca in tu e le direzioni, in tu o il dominio.

Dalla seconda equazione si o ene: ∂ =0

∂

Integrando una prima volta: ∂ =

∂

Integrando ulteriormente: () = +

Per definire queste costan si hanno le condizioni al contorno. Per le condizioni di aderenza

sia alla lastra superiore che a quella inferiore, chiamando lo spessore tra le lastre, con

alla lastra inferiore e alla lastra superiore:

= 0 = (0) = 0 ⇒ = 0

() = ⇒ =

Quindi la soluzione anali ca è:

() =

Il profilo di velocità tra le due lastre è lineare. La velocità vale in corrispondenza della

lastra superiore e zero in corrispondenza della lastra inferiore. Questo è il primo esempio di