Meccanica dei Fluidi - Parte 2

Ingegneria meccanica A.A. 2015/2016

Meccanica dei fluidi (parte II)

Indice per argomenti:

• Deformazione del fluido
• Equazioni generali
• Soluzione equazioni Navier-Stokes per moti semplici
• Soluzione generale Navier-Stokes
• Flussi esterni

Analisi delle deformazione del fluido

Eq. Continuità:

Eq. bilancio di moto A queste aggiungiamo l'equazione di stato Mancano equazioni costitutive che descrivono legame sforzi - deformazione Legge taglio-sforzo deformazione base per solidi, non per fluidi perché sforzi nulli portano a deformazioni infinite (Obiettivo legame sforzo cinematico) Peso rilevato

Conosciamo punto P e velocità V_p associata a P Voglio conoscere la velocità di un punto infinitamente vicino a P Tutte le matrici quadre sono scomponibili in una matrice simmetrica somma di una anti-simmetrica Matrice simmetrica Matrice anti-simmetrica_ijij

Ora abbiamo 3 elementi da stabilizzare (elem su diagonale e elem fuori dalla diagonale). Nell'elaborazione del codice (considerano solo elementi rispetto la diagonale) abbiamo in modo modo di avere 3 sole tipologie allo stesso tempo.

Significato fisico

Usiamo Va=₀ Per semplici: come nel caso pieno equazione (pezzo x y) Δ=sottointeso 2x2

• Elementi diagonali di Δ Hp: ∂vx/∂x ∂vy/∂y ∂vz/∂z - diagonali di D sono ∂vy/∂x ∂vz/∂y
• Toglie extradiagonali di D e SP _{qual abbiamo} parte _ij distanze infinites

H: metto in sistema fisso sulo(p,q) Vp=0 di (p,q) V_a = (V + ∂Vx/∂dx ; Vrp)= (∂V )/∂) nullo per ipotesi V_a= ∂V0 Quando punto i spostarmi Qs( )= +

Il quadrilatero originario è simile al primo Nel caso tridimensionale cambierà il volume senza variare la forma flusso vettore faso vettore Variazione percentuale variazione unitaria / spostamento unitario Dividendo per l'intervallo di tempo = tasso di variazione dell'allungamento unitario= velocità di deformazione (metre ) tasso di sforzo lungo Pote vedere anche la variazione del volume

Wimpiez = → tasso di variazione percentuale del volume dW = Wtop + Wpazio Wpazio = Wtop = → dW dW = + + ∇·ν Quindi: W∂vx ∂vy ∂vz ∇·v ∂t ∂x ∂y ∂z ∇·ν è anche la traccia della matrice D̅ La diagonale della matrice D̅ indica gli allungamenti (variazioni volumetriche)

Elementi extradiagonali di D̅ Hp. ∂vx / ∂y = ∂vy / ∂x→ Tr e matrice nulla Piccolo il quadrilatero come prima Vp = (op) Vo = (qx) Vo = (qx) [ ∂vy / ∂y] ∂vy / ∂x (con anche somma di: Vxa e Vyo, unVs = Vxp + ( ∂vx / ∂y) , Vyq + (∂vy / ∂y) Vi = (,)=∂vx / ∂x∂vy / ∂x

Si può dimostrare che il primo ordine → Ha la stessa area di prima Gli elementi rettangolari di D̅ indicano variazioni di forma senza variazioni di volume

Variatori: angoli

γX = variazione dell'angolo lungo un asse parallelo all'asse Per variazioni q-esame ∂x ∂y ∂vx / ∂y - (1) ∂vx / ∂x ∂vx / ∂x deformazione ungherle del tempo dz = velocità di deformazione angolare Complessivamente D

Per fluidi si cerca in legge tra il tensore degli sforzi Elementi extra-diagonali di D Hr Hom y Il quadrilatero è solamente ruotato. quindi mantiene forma (e volume) Ω è la matrice delle rotazioni rigide Il significato fisico degli elementi di _v è 1. velocità di rotazione rigida

Tornando al problema originario v_a = v_p + _dx · ∇_v = v_p + _dx · _v + _dx · _D

Si può riscrivere _dx · _v come d_x · _v = ¹/₂ (∇_xv) x dx rot(v)(vorticità) Si può dimostrare che _v mediante equazioni di bilancio del momento delle quantità di moto è una matrice simmetrica Se _v è simmetrica restano solo 6 informazioni per esprimere i 6 elementi in funzione di quest'ultima

Proprietà:

_v è funzione di _{D v} non può essere in contraddizione con la statica la funzione che lega _v e _D non deve dipendere dal sistema di riferimento.