Meccanica dei Fluidi - Parte 2

Ingegneria Meccanica

A.A. 2015/2016

Meccanica dei Fluidi

(parte II)

Indice per argomenti:

• Deformazione del Fluido 3
• Equazioni Generali 9
• Soluzione Equazioni Navier-Stokes per moti semplici 18
• Soluzione Generale Navier-Stokes 24
• Flussi Esterni 42

Quindi _W dell

∇⋅V è anche la traccia della matrice D

→ La diagonale della matrice D indica gli allungamenti

Elementi extradiagonali di D

→ Se e matrice nulla

Piccolo il quadrilatero come prima

V_p = (o,p)

V_o = (∂v_x/∂x) (con anche somme di dy)

V_p e V_pq uniti

→ q ha solo variazione lungo le q

V_s = (∂v_x/∂y)

V_e = (2∂v_z/∂x)

Si può dimostrare che al primo ordine

→ Gli elementi rettangolari di D indicano variazioni di forma

senza variazioni di volume

Variazioni angoli

ΔK = variazione dell'angolo lungo un asse parallelo all'asse

Per variazioni no esame θ → 90 tra

(1 - ∂v_x/2 ∂x

ipotesi di Stokes

Reologia dei fluidi Newtoniani

• vale per ipotesi di Stokes e fluidi newtoniani

• b = ^ζ⁄₃μ

∇ ⋅ Φ = ?

Eq (forma non conservativa)

nella formula iniziale dimensa

≠(ρ)ᐧTᐧtˢ = 9v² ᐧuᐧgᐧΔt ᐧv+ -9gmᐧ^ ᐧΔt ¦ L v² +μᐧv\

(questa è ridotta dimensionale)

Per scrittura dell'equazione ogni: termine è adimensionale ha due unità

via terminare adimensionale con la stessa dimensione.

Es. Divido così peso: le volume

-Due dovuto η il numero rapporto stesso

1 livello massa- Fisica Conti

tecnico per termine delle inerzie convettive

2 livello cresto

A livello 1- se equate 2 costruzione- termine:

se detegno ill termine: con dimensione 2 otri nella gratazza

numero di filo pose eliminate: equassetandolo zero codu

4: fiando fiato con e.* attilla

sec. campfict. x. zlima il problema

1) ᐧv/t ᐧv/Tᐧᐧvᐧᐧᐧᐧl₂ rv² -lg₀ ρ v² μᐧv v➵

1/λ è tempo. impiegate della particella per attravesare il campo di moto

Se T>> √1/λ/г il problema è come se fosse strozostetno

St = STROUHAL = √v_L/T

3) Questo contrasto le forze U: galleggiumante rispetto le inerzie invetture

Fr = FROUDE = √v_L³/√lg

4) Questo contrasto le inerzie rispetto le inerzie

Eu = EULERO = ρ/gv²

Re = REYNOLDS = ρvL/μ

Equazione di Navier-Stokes in Forme adimensionale

Stᐧᐧᐧᐧvᐧᐧᐧ3ᐧ-ᐧ1/

ᐧᐧin/ᐧ3ᐧ-ᐧvᐧᐧᐧ=ᐧ/3ᐧᐧᐧ+ᐧ ≠vᐧᐧᐧ

Usiamo ora le equazioni di Navier-Stokes in forma globale

Costante g _{cd ugualmente} incerto

Prenari porzione del tronco di corrente

Cilindro di flusso: possibili alle conclusioni descritte in un raggio r < R

Equazione globale:

c con barra (f - T_t + III_m) + g_M = 0

Distinguo superfici piane (1) e (2) le superfici curve del cilindro (3)

Flusso di moto su (1)

M₁ = integral over A₁ rho v (v.n₁) dA

Moto irrotore -> V = V_t+- i + o + o

M = integral rho V_x V_x dA = integral rho v_x i dA

M-barretto diretto comu x e nello stesso verso

beta = coefficiente di raggruppito del flusso di quantità di moto

beta = q (Esercizio)

<e^io> = ?

ψ (t) <ξ, ξ >, operatore lineare

<ξ, φ>> - <ξ><φ> = Ø

(le medie tra medie si riducono alla medie stesse)

Come scelgo l'?

Se T troppo piccolo non semplifico parti fluttuanti

Se T troppo grande mi tolgo informazioni importanti

T ottimale

T troppo grande

T troppo piccolo

Medio le equazioni di Navier-Stokes con medie alla Reynolds

flu. classi incomprimibili

∑⋅v̅ = 0

∂(ρvi)

∂t

- ρg∇z̅ - ∇p + μ∇²v̅

∇⋅v̅ <∇⋅v̅ ≤ 0>

<∇⋅v̅ = 0>

Integrale di termini differenziali

Uso Leibniz (dominio integrazione (T) non dipende DM)

variabile pj derivazione (Pi + z)

Il campo di moto medio è liscio

fluttuazione (non è cambiato nulla rispetto a ciò che speravo già

quindi prendo velocità - velocità istantanea

v̅i = <v>i + v'¹

Dobbiamo specificarla

... sempre local in media, quindi perché siano stazionari in media...

1 = θ

M_m + M + <Π_p> + G - <Π_μ> = 0

M_m + M₁ + <Π_p1> W_P1

<Π_P2> W_c L_c L_P

F_ing.m

<Π_P0³>

<Π_P0>

<Π_P>M_P2

M_m = ∫ ρV_xv_xdA

-∫ ρV_yv_ydA _A

= ∫ ρV_x²dA (∫ ρV_y²dA)

   >0   perdita ²

= β (V_x² − ^{v2 _P})

velocità d'

visto il Reynolds

(nel tempo)

Coefficiente di ragguglio

~ 1 per moto turbolento

−M_m2 = −M_m1   (Cambia solo i verso (g-?))

→ M_m1 + M_m2 = 0

→ M_m0 = ∫ β <V>_x<v_nx>dA = 0

(non c'è velocità a A₀)

• <Π_P> = ρ₀ⁿ_A1,

    duplicato             in base di C_n perché rectt di quello _sapere?

-{q}

Si viene a creare una gerarchia di strutture turbolente multi-scala che evolvono nel tempo (Richardson, 1926)

Ogni scala è caratterizzata da una certa energia cinetica presa dalle strutture a scale più grande Energia trasferita in cascata da scale più grandi a scale più piccole

La cascata energetica non continua all'infinito. Ad un certo punto le strutture hanno una scala tale per cui entra in gioco la viscosità che dissipa l'energia sotto forma di calore

Il fatto che ci sia turbolenza indica che è presente un fenomeno dissipativo

• Scala massima della più grande turbolenza è quella data dalle dimensioni del dominio → L scala integrale
• Scala minima della più piccola turbolenza è indicata con η
• η = lunghezza di Kolmogorov

Il tasso energetico derivante dalle strutture più grandi è uguale a quello che viene passato alle scale più piccole (perché non c'è dissipazione)

Avendo lunghezze scale si avrà una velocità scale

a) Modello a zero equazioni

• Fornisce unicamente un eq. algebrica
• Esempio: Modellino <illeggibile>

b) Modello a una equazione

• Fornisce una eq. algebrica e inoltre una eq. diferenz.
• Modello <illeggibile> - Kolmogorov

c) Modello a due equazioni

• Fornisce almeno una equazione differenziale
• Sono più usati in ambito ingegneristico
• Modello Kappa-Epsilon il più importante

Modelli:

• 10 equazioni -> sforzi completi
• 8 equazioni -> 2 equazioni
• 6 equazioni -> 1 equazione
• 4 equazioni -> 0 equazioni