Meccanica dei fluidi, parte 6 - Fluidi ideali, teorema di Bernoulli alle traiettorie e alle correnti lineari

3-APPLICAZIONE DEL PRIMO MODELLO REOLOGICO: FLUIDO IDEALE

3.1-L’IPOTESI DI FLUIDO IDEALE

Quando si fa l'ipotesi di fluido ideale, a livello pra co consiste nell'ipo zzare che per un

fluido ideale non ci siano sforzi tangenziali anche se il fluido è in moto.

Non avere sforzi tangenziali significa, da un punto di vista anali co, che il tensore degli sforzi

ha elemen solo sulla diagonale principale e zero altrove:

Φ 0 0

0 Φ 0

Φ = 0 0 Φ

Questa idealizzazione semplifica notevolmente perché il tensore dipende da solo tre

Φ

elemen . In realtà si può dire qualcosa di più. Quando è stata applicata l'equazione di

equilibrio al tetraedro di Cauchy, è emerso che se si arriva a un tensore che è solo

diagonale, necessariamente l'equilibrio di quel tetraedro evidenzia che gli elemen sulla

diagonale devono essere anche uguali tra di loro. In virtù della definizione di pressione

come un terzo della traccia del tensore , si arriva per un fluido ideale a questa versione

Φ

semplificata del tensore degli sforzi:

Φ 0 0 0 0 I̿

0 Φ 0

Φ = = =

0 P 0

0 0 P

0 0 Φ

Questo è esa amente lo stesso stato di sforzo del caso sta co, anche se si è in dinamica.

Questa è la cara eris ca dei fluidi ideali: non ci sono mai sforzi tangenziali, e la

conseguenza è che il tensore degli sforzi è uguale a quello della sta ca anche se si è in

dinamica.

È un'idealizzazione, ma è un modello che può funzionare quando nel processo

fluidodinamico gli sforzi tangenziali non sono così rilevan . Si può quindi effe vamente

usare un modello anali co semplificato per rappresentare quel problema fluidodinamico.

Si prova a riscrivere il generico problema fluidodinamico isotermo per il caso par colare di

fluido ideale, per verificare effe vamente che si o enga un sistema chiuso, ovvero tante

equazioni quante incognite. Ricordiamo che il generico problema è il seguente:

(̅ )

⎧ + · = 0

̅

( − ) = ·

⎨ = ()

⎩

L'equazione che viene a modificarsi aggiungendo questa ipotesi è la seconda, perché questa

ipotesi riguarda chiaramente la forma del tensore :

̅ ̿

− = · = · (I )

L'operatore nabla è un operatore differenziale che ha per componen :

⎛ ⎞

⎜ ⎟

∇= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

̿

Mol plicandolo scalarmente per il tensore , che ha solo elemen non nulli sulla diagonale

I

principale (tu uguali a P), il risultato è un ve ore con componen :

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

0 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

̅ I̿

− = · = · = = = ∇

0 P 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

0 0 P

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Questo ve ore è il gradiente di P, ovvero Quindi per il fluido ideale:

∇.

(̅ )

⎧ + · = 0

̅

( − ) =

⎨ = ()

⎩

Con l'ipotesi di fluido ideale l'equazione indefinita di equilibrio dinamico prende il nome di

equazione di Eulero: ̅

( − ) =

Si fa lo stesso conteggio in termini di numero di equazioni e numero di incognite. Le

equazioni sono le stesse: 1, 3 e 1. Non ci sono più 6 incognite nel tensore degli sforzi ma

solamente 1 (la pressione). Si hanno quindi cinque equazioni e cinque incognite. Il

problema è ben posto.

Dal punto di vista puramente anali co le cose si semplificano notevolmente perché si può

arrivare effe vamente, potenzialmente, a delle soluzioni dei campi euleriani. Il primo

problema è arrivare effe vamente a delle soluzioni. Il secondo è verificare quanto lontane

sono dal comportamento reale del fluido per capire se questo modello reologico è

effe vamente u le.

3.2-TEOREMA DI BERNOULLI

3.2.1-IPOTESI E TESI DEL TEOREMA

L'ipotesi di fluido ideale è l'ipotesi di base di uno dei più famosi teoremi della meccanica dei

fluidi: il teorema di Bernoulli. Il teorema di Bernoulli descrive il comportamento di una

par cella di fluido lungo la sua traie oria. Par cella è un termine usato per indicare un

elemen no di fluido piccolo, ma non così piccolo da violare le ipotesi del con nuo.

IPOTESI DEL TEOREMA

Quando si enuncia un teorema è necessario prima elencare tu e le ipotesi e poi arrivare

all'enunciato. IPOTESI 1: FLUIDO IDEALE

L'ipotesi fondamentale alla base di questo teorema è la scelta del modello reologico di

fluido ideale. Fluido ideale significa che il tensore degli sforzi può essere scri o come

̿

. Non ci sono sforzi tangenziali nonostante il fluido sia in moto. La conseguenza

=

sul sistema di equazioni è che l'equazione di equilibrio dinamico è espressa tramite

̅

l'equazione di Eulero: − =

Le altre ipotesi alla base del teorema di Bernoulli sono le stesse fa e per il teorema di

Stevino. Il mo vo è che la stragrande maggioranza dei processi fluidodinamici considera e

studia ricadono in queste due ipotesi.

IPOTESI 2: FLUIDO PESANTE

Si definisce la natura delle forze di massa che agiscono sul fluido, ovvero si fa l’ipotesi di

fluido pesante. Fluido pesante significa che l’unica forza di massa è la forza peso:

̅ e quindi l’equazione di Eulero diventa: )

= −∇̃ (−∇̃ − =

IPOTESI 3: FLUIDO INCOMPRIMIBILE

L’altra ipotesi di lavoro usata frequentemente è quella di trascurare la dipendenza della

densità dalla pressione perché nella maggior parte dei casi si può ragionevolmente

considerare la densità come una costante. Questo è il risultato dell'ipotesi del fluido

incomprimibile: A livello anali co questo implica che tale grandezza può

= .

essere portata sia dentro che fuori indifferentemente dagli operatori differenziali e quindi:

)

∇(− ̃ − =

Possiamo poi procedere anali camente con i seguen passaggi:

∇( ̃ + ) = −

̃

∇ + =−

∇ ̃ + =−

È un'equazione ve oriale. Si riconosce a sinistra dell'uguale il gradiente di qualcosa che è

già stato nominato: la somma di due termini, entrambi dimensionalmente delle

lunghezze, che sono rispe vamente la quota geode ca z̃ (la direzione in cui agisce la

forza peso, l'unica forza di massa presente) e il rapporto tra P e γ, già nominato come

altezza piezometrica. Insieme formano la quota piezometrica.

Per un fluido ideale, pesante e incomprimibile, l'equazione indefinita di equilibrio

dinamico stabilisce che il gradiente di quota piezometrica, quindi come varia la quota

piezometrica, è uguale a /g, l'accelerazione della par cella fluida diviso g.

Si può arrivare a qualche risultato più rappresenta vo, più fisicamente comprensibile,

scomponendo questa equazione ve oriale nelle tre componen scalari. Il teorema di

Bernoulli descrive il comportamento di una par cella fluida lungo la traie oria, quindi

l'enunciato specifica cosa succede a una par cella di fluido lungo la sua traie oria.

A questo proposito è par colarmente u le u lizzare un sistema di riferimento

tridimensionale in cui scomporre l'equazione ve oriale che è solidale a quella par cella. È

il cosidde o sistema di riferimento della terna intrinseca.

Si rappresenta una traie oria percorsa dalla par cella in un sistema di riferimento

inerziale fisso x, y e z. Il sistema tridimensionale della terna intrinseca è cos tuito da tre

coordinate definite nel modo seguente:

 Coordinata (ascissa curvilinea): dato un punto della traie oria, la prima

coordinata è quella tangente alla traie oria. La coordinata associata a questa

direzione è (ascissa curvilinea) e il versore associato a questa direzione è il versore

. Come nel sistema inerziale x, y e z sono associa ai versori , e che indicano la

̂ ̂

direzione di quegli assi mentre x, y e z sono le coordinate, nella terna intrinseca la

prima direzione è quella del versore tangente alla traie oria con coordinata s.

 Coordinata (normale): la seconda direzione di questo sistema di assi ortogonali è

quella cos tuita dalla direzione normale alla precedente. La coordinata è e si usa

il versore . La direzione è orientata verso il centro di curvatura, al centro del

cerchio osculatore. Il cerchio osculatore è la circonferenza che meglio approssima la

curva in quell'intorno del punto. è dire a, nella direzione normale, verso il centro

di curvatura.

 Coordinata (binormale): la terza direzione è quella perpendicolare al piano

formato dalle due direzioni preceden . La coordinata è la direzione è il versore

,

e prende il nome di binormale, ortogonale al piano TN.

( )

( )

( )

Data la traie oria, la prima direzione si costruisce prendendo la tangente alla curva. La

seconda direzione si costruisce approssimando la curva in quel punto con una

circonferenza e prendendo la direzione verso il centro di quella circonferenza. La terza

direzione è normale al piano formato da ques due. Questa è la terna intrinseca.

È necessario sapere come sono fa e le grandezze cinema che accelerazione e velocità in

questo sistema di coordinate.

Il ve ore velocità v per definizione è: ̅

̅ =

Dove è il ve ore posizione nel sistema di riferimento inerziale. Per capire le grandezze

̅

cinema che nel nuovo sistema di riferimento della terna intrinseca, si cerca di capire

come sia approssimabile in termini di quelle coordinate.

̅

Lo spostamento può essere approssimato come uno spostamento nella direzione

̅ ,

che è la ascissa curvilinea ed è sempre tangente alla curva. Considerando un tra o

infinitesimo di questa curva, lo spostamento sarà uguale a ds dire o in direzione

̅

tangente: ̅

̅ = = ̅ = = = ( )

Questo indica che in questo sistema di riferimento (dove s è quello della tangente alla

traie oria, n normale e b binormale) la velocità ha una sola componente nella direzione

(tangente alla traie oria). Come dimostrato proprio dalla formula di sopra, l'unica

componente della velocità è data da ds/dt, che prende il nome di componente

tangenziale e quindi:

[ 0 0]

̅ =

L'accelerazione è a sua volta la derivata totale fa a rispe o al tempo del ve ore velocità:

̅

= =

Una cara eris ca del riferimento terna intrinseca è che, a differenza di un sistema di

riferimento inerziale (che ha versori , e che non cambiano mai e sono fissa ), nella

̂ ̂

terna intrinseca i versori cambiano istante per istante. In un istante successivo, un altro

punto della traie oria (che corrisponde a un istante successivo perché la traie oria è

formata da pun che progressivamente vengono occupa da una par cella), il versore è

dire o diversamente, il versore è dire o diversamente e il versore è dire o

diversamente. Le direzioni degli assi coordina nella terna intrinseca cambiano istante per

istante.

Se si fa una derivata nel tempo di , si deve considerare non solo che la velocità in

modulo può cambiare nel tempo, ma che anche la direzione cambia nel tempo. Per la

regola di derivazione del prodo o:

= = +

Questo indica che l'accelerazione può essere dovuta a un cambio di velocità in modulo

(accelerazione dovuta a variazioni di modulo della velocità) e può essere associata a

un cambio di direzione del ve ore velocità (accelerazione dovuta a cambiamen di

direzione), indicato dalla dipendenza dal tempo del versore .

Non viene dimostrato, ma è possibile dimostrare che la derivata di un versore di modulo

unitario fa a rispe o al tempo è:

=

Dove R è il raggio di curvatura (il raggio della circonferenza che approssima la traie oria

in quell'intorno). Quindi l'accelerazione è:

= + = + = + = +

Dove è la componente tangenziale dell'accelerazione e è l'accelerazione

=

centripeta (la componente normale dell'accelerazione).Il ve ore accelerazione a in questo

sistema di coordinate ha una componente tangenziale, una componente normale e basta.

Non ci sono componen dell'accelerazione nella direzione binormale:

[ 0]

=

Si vuole scomporre ora l'equazione nel sistema di riferimento della

+ = −

terna intrinseca. Scomporre un'equazione ve oriale nelle tre scalari significa che per ogni

ve ore che compare nell'equazione si prende la componente in quella direzione:

 Lungo la direzione s (ascissa curvilinea): la componente del gradiente sarà la

derivata fa a rispe o a s della quota piezometrica. La componente tangenziale

dell'accelerazione è = dvt/dt. Per semplificare i calcoli, siccome è l'unica

componente della velocità, il pedice t viene tolto e si scrive semplicemente

1

̃ + =− =−

 Lungo la normale:

̃ + =− =−

 Lungo la binormale poichè non c'è una componente lungo dell'accelerazione,

questa equazione indica che la quota piezometrica è costante nella direzione

binormale:

̃ + =0

L'equazione ve oriale è stata scomposta nel sistema di riferimento della terna intrinseca.

Siccome il teorema di Bernoulli è rappresenta vo del comportamento della par cella

lungo la sua traie oria, l'enunciato verrà fuori dalla componente lungo s dell'equazione.

Si con nua con la prima equazione scomponendo dv/dt nel termine di accelerazione

locale e di accelerazione conve va. La derivata totale può essere sempre scomposta in

derivata parziale (accelerazione locale) più componente conve va:

= + + +

Nel sistema della terna intrinseca, il ve ore velocità ha solo componente uguale alla

direzione s, quindi i termini con e sono uguali a zero:

= +

Sos tuendo nell'equazione lungo s:

1 1

̃ + =− =− +

IPOTESI 4: MOTO STAZIONARIO

A questo punto si introduce la quarta e ul ma ipotesi di questo teorema: ipotesi di moto

stazionario. Questa è frequente nelle applicazioni studiate. Tipicamente i processi

fluidodinamici esamina sono stazionari.

Il significato di quest'ipotesi è che tu e le derivate parziali fa e rispe o al tempo sono

nulle. In virtù di questa ipotesi, la prima parte della derivata totale della velocità (la

componente tangenziale dell'accelerazione locale) si annulla:

1 1 1

̃ + =− =−

2

Si nota che ci sono sia a sinistra che a destra dell'uguale una derivata fa a rispe o alla

ascissa curvilinea e quindi:

̃ + + =0

2

ENUNCIATO DEL TEOREMA

Si o ene l'espressione dell'equazione indefinita di equilibrio dinamico per un fluido

ideale, pesante, incomprimibile, lungo la traie oria (perché si prende la coordinata s) e in

moto stazionario:

̃ + + =0

2

Se valgono queste ipotesi, la somma di ques tre termini non cambia nella direzione del

moto. Si definisce la grandezza H come:

= ̃ + +

2

L’enunciato del teorema è quindi il seguente:

Per un fluido ideale, pesante, incomprimibile in moto stazionario, se si definisce la

grandezza H (carico totale) come la somma di quota geode ca, altezza piezometrica e

altezza cine ca, vale che H è costante lungo la traie oria:

= ̃ + + → =0

2

3.2.2-INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL TEOREMA DI BERNOULLI

Dopo l'enunciato del teorema è necessario discutere il significato di questo risultato. Cosa

succede lungo una traie oria percorsa da una par cella se il fluido è ideale, pesante,

incomprimibile e in moto stazionario? Si conserva la grandezza appena definita, il carico

totale.

Il carico totale è la somma di tre termini, due dei quali erano già no . Il primo termine è la

quota geode ca z̃. Il secondo termine è l'altezza piezometrica P/γ. Insieme danno la quota

piezometrica. Il nuovo termine è l'altezza cine ca v²/(2g).

Dimensionalmente il carico totale è una lunghezza. Questo è comprensibile perché il primo

termine del trinomio è la quota geode ca (una lunghezza), anche il secondo termine è una

lunghezza (come già dimostrato), e il terzo termine, chiamato altezza cine ca, è

effe vamente una lunghezza: è una velocità al quadrato (L²/T²) diviso per un'accelerazione

(L/T²), quindi dimensionalmente è L. Il carico totale è quindi dimensionalmente una

lunghezza.

Si può visualizzare l'enunciato di questo teorema considerando una rappresentazione

geometrica della traie oria. Si consideri una traie oria percorsa da una par cella fluida e si

prenda un primo punto A su questa traie oria, con un asse ver cale delle . La quota

̃

geode ca viene rappresentata come la distanza ver cale dal riferimento.

̃

Supponendo di avere strumen che consentano idealmente di misurare punto per punto

lungo la traie oria pressione e velocità associate alla par cella fluida, si potrebbe misurare

anche l'altezza piezometrica e l'altezza cine ca e riportarle su questo diagramma (sono tu e

lunghezze). Supponendo di aver misurato la pressione e di avere ricavato l'altezza

piezometrica nel punto A ( /γ) e di avere o enuto come velocità una velocità tale che

porta ad avere un certo va