Meccanica dei fluidi

La meccanica dei fluidi studia il comportamento dei fluidi in quiete o movimento.

La fluidodinamica è la parte della meccanica dei fluidi che studia i fluidi in movimento, la

statica dei fluidi invece studi i fluidi in condizioni di quiete, studiare la meccanica dei

fluidi è molto importante perché sia nella terra che nelle principali attività della vita c’è

sempre la presenza di un fluido.

quando dobbiamo analizzare dei fenomeni che riguardano dei fluidi in moto, quindi

parliamo di fluidodinamica, possiamo risolvere tali problemi attraverso due approcci

• risoluzione dei problemi mediante indagini sperimentali su modello fisico in scala o su

un prototipo scala reale che ci permette di ottenere dei risultati tramite interpolazione in

diagrammi e tabelle

• Risoluzione dei problemi mediante modellazione matematica che ci permetto di

ottenere delle soluzioni o analitiche, quindi formule e diagrammi oppure delle soluzioni

numeriche che ci permette di ottenere delle formule ottenute da interpolazione

diagrammi e tabelle

Per usare le indagini sperimentali come metodo per la soluzione di problemi di fluido

dinamica, si richiede l’impiego di strumenti per la usura delle varie grandezze

Pressione: manometri trasduttori

Velocità: tubo di pitot, anemometri

La materia può presentarsi in tre stadi di aggregazione solidi ,fluidi, plasma.

Il tipo di stato di aggregazione che può assumere la materia dipende dalle risposte alle

forze meccaniche.

I solidi hanno una propria forma e quando sono sottoposti a una forza essi si deformano

di una quantità definita e poi ritorno alla forma originale, se non è stato superato il limite

di elasticità, le molecole occupano posizioni ben definite e la struttura molecolare è

ordinata

I fluidi invece non hanno una propria forma e l quando sono sottoposti all’azione di forze,

anche minime, essi subiscono cambiamenti che variano nel tempo e non riacquistano la

forma iniziale

Lo stato di plasma ha un comportamento simile a quello dei fluidi, ma ma si differenzia

dal fatto che è costituito da particelle ionizzate anziché neutre

liquidi e aeriformi,

I fluidi si distinguono in

i liquidi sono poco comprimibili e hanno un volume ben definito. La struttura molecolare è

parzialmente ordinata e le molecole si muovono l’una intorno all’altro

.

Gli aereiformi sono poco comprimibili e non hanno un volume definito ma occupano tutto

lo spazio in cui è contenuto. La struttura molecolare è disordinata.

Gli areoformi si distinguono in gas e vapori la distinzione dipende dal comportamento

del fluido a una certa pressione rispetto alla temperatura critica corrispondente a quel

fluido

Un aereoforme si comporta da gas quando se la sua temperatura è superiore alla

temperatura critica e a qualsiasi pressione non condensa

vapore se quando la sua temperatura è inferiore alla

Un aereoforme si comporta da

temperatura critica è raggiunta una certa pressione, si condensa

I fluidi e i solidi si differenziano in base alla loro risposta a delle forze, se parliamo di

sforzi di pura compressione tale sforzo provoca il cambiamento del volume e non della

forma quindi in questo caso soli dei liquidi si comportano nello stesso modo, per valutare

sforzi

la differenza del comportamento meccanico tra solido e fluidi, parliamo allora di

che modificano la forma di un fluido in modo permanente, invece il solito è in

tangenziali

grado di resistere a tale applicazione di questo sforzo manifestando una deformazione

definita quindi non mutabile nel tempo.

In questo caso, abbiamo un solido tra due piastre, Se adesso il nostro elemento è un fluido è applichiamo alla

quando alla piastra superiore viene applicato una piastra superiore una forza mentre la piastra inferiore rimane

forza e essa si muove mentre l’altra piastra rimane ferma , si nota che la piastra comincerà a muoversi,

raggiungendo una velocità costante il nostro fluido si deformerà

ferma, il solido si deformerà di un certo angolo di un certo angolo e si muoverà alla stessa velocità della piastra

Proporzionale allo sforzo tangenziale applicato, questo risultato si ha per la condizione di aderenza, ovvero il

quando la forza viene rimossa il solido assume la fluido aderisce alla piastra e si muove con la sua stessa

configurazione originaria e quindi l’angolo di velocità. Per questo avremo che man mano che ci allontaniamo

deformazione risulterà zero dalla piastra in movimento la velocità diminuisce quindi gli strati

del fluido avranno una velocità diversa.

Ci sono alcune sostanze classificate come fluidi, ma hanno un comportamento

differente da altri come acqua che è un fluido newtonani, essi non si deformano

se non viene applicata un certo valore di sforzo tangenziale, detto valore di

soglia ,in questi tipi di fluido l’angolo di deformazione è in relazione lineare con la

velocità di deformazione, il coefficiente di proporzionalità è detta viscosità

La materia è costituita da particelle che sono molto distanti e si trovano in due punti

definiti, le particelle di cui è costituito una materia sono di un numero elevato

specialmente in un fluido questo porta a una complessità nello studio. Allora si usa

l’ipotesi del continuo in cui si ipotizza che in qualsiasi punto nello spazio sia presente la

materia, questo ci permette di usare l’equazioni differenziali.

Ma tale ipotesi, non si può usare sempre la condizione necessaria è se il libero cammino

medio delle molecole, ovvero lo spazio percorso prima che colpisco un’altra molecola è

sufficientemente piccolo rispetto alle dimensioni del volume di fluido in considerazione.

Un caso in cui l’ipotesi del continuo è decade sono peri i gas rarefatti

Definiamo dimensione di una grandezza, qualcosa che caratterizza la grandezza i

meccanica dei fluidi queste grandezze sono: lunghezza, massa, tempo, temperatura

che sono le dimensioni fondamentali che ci permettono di creare tutte le altre

dimensioni

Ad ogni dimensione bisogna associare un’unità di misura che è un sistema che ci

quantifica la grandezza

Si ha dato un fluido di volume W in questo volume agiscono due tipi di forze:

Sono delle forze esercitano a distanza come la forza di gravità

proporzionale alla massa

Sono delle forze che si hanno attraverso il contatto con altri corpi

Se prendiamo l’infinitesimo

volumetto del mio fluido, essa viene

applicata una forza di massa

Mentre per individuare una forza di

superficie applicata a una superficie

infinitesima del fluido per studiarla

bisogna sapere posizione della

superficie impostando un sistema di

assi cartesiani è orientarla usando

un versione normale alla superficie

La normale si usa perché posso considerare anche la superficie w’ contenuta nel

fluido di cui trovo un’altra normale, in base alla normale e alla sua direzione posso

considerare più superfici

Chiamiamo lo sforzo unitario, il rapporto tra la forza di superficie e la superficie stessa per

definirlo su tutto il fluido faccio il limite

Lo sforzo dipende dalla posizione della superficie che è data dal versore, e dal tempo

Le dimensioni dello sforzo e forza su una superficie, se conosco lo sforzo posso ottenere

quindi la forza Per capire come lo sforzo varia in funzione del

tempo, dal versore e dalle tre coordinate uso un

tetraedro e sulle facce avremo dei versori

normali e ogni faccia agisce uno sforzo.

Imponiamo l’equilibrio dinamico alla traslazione

ovvero la somma degli sforzi totali è uguale

all’accelerazione

Relazione mostra come lo sforzo sulla superficie di normale n può essere espressa

come combinazione lineare degli sforzi agenti su tre piani tra loro ortogonali

Tale equazione è un’equazione vettoriale per essere espressi in termini scalari dobbiamo

proiettare lungo le direzioni degli assi X,y,z

Gli elementi a doppio pedice costituiscono un tensore doppio detto come tensore degli

sforzi. gli elementi con componenti uguali fra di loro sono sforzi normali quelli appendici

distinti sono sforzi tangenziali

Essendo il tensore simmetrico, è possibile individuare tre piani coordinati i quali godono

delle proprietà che gli sforzi ed essi relativi non ammettono componenti tangenziali tali

piani vengono detti principali

Quando studiamo i fluidi, dobbiamo definire alcune sue proprietà:

È la massa contenuta nell’unità di volume di fluido

È il peso dell’unità di volume di fluido

Relazione che c’è fra la densità e il peso specifico è data da

Si definisce l’equazione di stato del fluido, una relazione che lega la densità al variare

della pressione della temperatura, ovvero le chiamo la densità alle grandezze

termodinamiche

Possiamo valutare le variazioni della densità rispetto alla pressione è la temperatura e

possiamo vedere che per i liquidi queste variazioni di densità sono modeste

Se consideriamo l’acqua, vediamo che all’aumentare della temperatura fissa la

pressione, la densità diminuisce in maniera modesta senza avere una variazione

monotona, la massima densità si ha alla temperatura di 4° che vale 1000 kg/m^3

Invece fissato una temperatura vediamo come varia la densità in funzione della

pressione, la densità varia in maniera trascurabile con la pressione per l’acqua,

quindi in funzione della pressione e la densità si considera costante

La comprimibilità rappresenta la proprietà di un fluido di modificare il proprio volume al

variare degli sforzi applicati, ovvero la pressione. In base al tipo di liquido e in certe

condizioni, la comprimibilità del fluido cambia. Esiste una relazione tra la variazione di

volume e la pressione.

Abbiamo trovato dalla relazione tra la variazione di volume e la pressione una relazione

fra la variazione della densità con la variazione di pressione, però prima di integrare,

dobbiamo vedere se il modulo di elasticità è costante

Vediamo che in condizioni normali il modulo dell’siccità dell’acqua vale

Possiamo capire che all’aumentare della pressione il modulo di elasticità aumenta, ovvero

liquido diventa meno comprimibile invece all’aumentare della temperatura diminuisce

leggermente, quindi il liquido diventa più comprimibile

Per i liquidi, il modulo di elasticità è molto elevato e lo consideriamo costante e spesso

sempre per i liquidi la densità si assume costante, ovvero li consideriamo incomprimibili

Se invece consideriamo i liquidi comprimibili, mettendoci a temperatura costante,

possiamo integrare l’equazione

Se parliamo invece di fluidi come gas, il modulo di elasticità non è costante ma varia in

maniera proporzionale alla pressione della legge del gas perfetti

Capiamo adesso come ricavare dall’equazione dei gas perfetti, il modulo di elasticità per

i gas

Quindi il modulo di elasticità non è costante, se siamo in una trasformazione isoterma

quindi la temperatura è costante vediamo che il modulo di elasticità sarà uguale alla

pressione

Se si ha una perturbazione nella materia, la velocità di tale perturbazione sarà data dalla

formula di Newton

Se faccio il rapporto fra la velocità del mio fluido è la velocità di propagazione delle

perturbazioni ottengo un numero noto come numero di Mac, possiamo vedere che la

comprimibilità può essere trascurata per valori di numero di Mac minori di 0,3 quindi il

numero di Mac può essere un criterio per capire se un fluido è comprimibile o

incomprimibile

Se ho due cilindri, uno messo dentro l’altro e nell’intercapedine inseriamo dell’acqua e

fisso il cilindro interno e faccio ruotare quello esterno col passare del tempo, il liquido

assume la velocità del cilindro, per far girare quest’ultimo devo applicare una forza che

deve essere proporzionale alla superficie è proporzionale alla variazione di velocità, dalle

prove sperimentali risulta che la forza da applicare sarà data

È detta viscosità dinamica o attrito

interno e si misura in

Il rapporto fra la viscosità dinamica e la densità

ci dà la viscosità cinematica che si misura in

Quando vogliamo studiare la statica di un fluido in quiete ovvero le particelle non subiscono

spostamenti, bisogna fissare prima un sistema di riferimento che può essere fisso o si può

muovere di moto retti uniforme. Siccome non abbiamo spostamenti delle particelle, avremo

assenza di deformazioni di velocità di deformazione e di sforzi tangenziali ( paralleli alla

superficie)

ma avremmo soltanto gli sforzi normali per qualunque orientamento della superficie.

Ricordando che lo sforzo generico esercitato su una superficie di normale n è

È proiettando lungo le tre direzioni

Visto che il fluido in quiete gli sforzi tangenziali sono nulli e abbiamo soltanto gli

sforzi normali

Gli sforzi normali sanno tutti uguali è l’intensità di tali sforzi è la pressione

Considero un parallelepipedo infinitesimo di un fluido in quiete questo significa che il

sistema di forza applicato ad esso deve essere equilibrato, quindi dobbiamo imporre la

sommatoria delle forze di massa delle forze di pressione che agiscono sulle sei facce

uguale a zero

Calcoliamo adesso le forze di pressione agenti sulle

facce, per esempio avremo lungo la direzione X la

pressione p agente sulla faccia ABCO e una pressione d

p1 nella faccia DEFG, quest’ultima pressione sarà dato

dalla somma della pressione p in cui la direzione X è zero

è la variazione di pressione all’aumentare della direzione

X

Quindi avremo che lungo la direzione X

Moltiplico per l’aria su cui agiscono le forze

Per l’equilibrio statico, dobbiamo imporre la sommatoria di tutti gli sforzi agenti sulle tre direzioni e le

forze di massa uguale a zero Questa equazione si può scrivere in

maniera sintetica utilizzando il

gradiente

Questa è l’equazione in forma differenziale della statica dei fluidi valida in ogni punto, quindi questa

equazione vale per un volumetto infinitesimo di fluido se consideriamo un fluido finito, dobbiamo

integrare su tutto il volume

L’equazione globale della statica si scrive

Se consideriamo un sistema di riferimento con la direzione Z diretta verso l’alto, un fluido pesante è

soggetto a una forza di massa dal campo gravitazionale, quindi la nostra F

Se poi il nostro fluido è anche incomprimibile, quindi la densità è costante. L’equazione quindi

indefinita della statica si iscrive. La legge di Stevino afferma che in un fluido

statico in quiete incomprimibile è soggetta al

campo di gravità la pressione in un punto

dipende solo dalla profondità rispetto al pelo

libero e cresce proporzionalmente ad essa

Considerando un recipiente contenente un fluido, vogliamo capire la pressione di due punti del fluido

a una altezza geodetica differente z1 z2 possiamo utilizzare la legge di Stevino, visto che la quota

piezometrica è costante per i fluidi pesanti incomprimibili

possiamo capire che la pressione aumenta linearmente al diminuire della quota genetica con fattori

di proporzionalità pari al peso specifico del fluido, possiamo vedere che le superfici orizzontali al

fluido sono isobare quindi tutti alla stessa pressione

Il valore 0 della pressione corrisponde a quella del vuoto, ma non è sempre così, nelle applicazione

come valore 0, si considera la pressione atmosferica perché nella terra siamo immersi

nell’atmosfera, possiamo identificare due pressioni

Pressione relativa p

È la differenza fra la pressione assoluta e la pressione atmosferica, la pressione relativa è quella che

misuriamo sempre nelle applicazioni, quindi stiamo assumendo come zero quindi come riferimento

la pressione atmosferica

Pressione assoluta p*

Pressione che si ha quando fissiamo come zero, la pressione del vuoto

Identifichiamo dei piani detti piani di carica idro Stae che sono i piani in cui la pressione si annulla

Piano dei carichi idrostatico relativi ho semplicemente piano dei carichi idrostatici

Piano in corrispondenza, nella quale la pressione relativa si annulla

Piano dei carichi idrostatici assoluti

Piano in corrispondenza, nella quale la pressione assoluta si annulla

La quota di questi piani rappresenta il termine costante nella legge di Stevino

Prendendo la legge di Stevino in termini di pressione assoluta otteniamo sostituendo alla p assoluta

la somma della pressione relativa e atmosferica

Da qui possiamo capire che la quota dei piani dei carichi idrostatici assoluti sarà sempre più elevata

rispetto a quella dei carichi idrostatici Dal sistema, in cui abbiamo recipiente con

una superficie libera, ovvero a contatto con

l’atmosfera possiamo individuare i piani

idrostatici, il piano idrostatico relativo sarà in

corrispondenza del pelo libero in cui abbiamo

soltanto pressione atmosferica e quella

relativa si annulla p=0 , invece il piano dei

carichi idrostatico assoluti sarà più alto di

quello relativo di una certa quantità data da

La pressione relativa e la pressione assoluta crescono linearmente al di sotto dei piani idrostatici

come in figura con due leggi

Se voglio sapere l’altezza di un punto rispetto al al pelo libero, basta calcolarmi

Se consideriamo un serbatoio chiuso al quale è

presente un liquido e al di sopra di esso

abbiamo il vuoto e il recipiente è in contatto con

l’atmosfera tramite un tubo piezometrica,

abbiamo due piani il piano dei carichi idrostatico

assoluto che sarà corrispondenza del pelo libero

prima del vuoto, è il piano dei carichi idrostatico

nel pelo libero a contatto con la pressione

atmo