Meccanica dei fluidi, parte 5 - equazioni che governano un fluido in moto e generico problema fluidodinamico

2-EQUAZIONI CHE GOVERNANO IL PROCESSO DI FLUIDO IN MOTO

2.1-DETERMINAZIONE DEI CAMPI EULERIANI

Si procede quindi nell'ambito di questa rappresentazione con osservatore euleriano.

Conoscere completamente il campo di moto di un fluido, ovvero descrivere

completamente un processo in cui un fluido è in movimento, equivale a dire che si

conoscono le grandezze cara eris che in ogni punto dello spazio e in ogni istante

temporale.

Matema camente, questo significa che sono note le funzioni che si sono denominate campi

euleriani. Il campo fondamentale è il ve ore velocità Naturalmente, ogni

̅ (, , , ).

campo ve oriale è composto da tre campi scalari, ovvero dalle sue tre componen . Il

campo di velocità è quindi cos tuito da:

Un campo scalare u(x, y, z, t), che rappresenta la componente della velocità lungo x

 Un campo scalare v(x, y, z, t), che rappresenta la componente della velocità lungo y

 Un campo scalare w(x, y, z, t), che rappresenta la componente della velocità lungo z

 (, , , )

(, , , )

(,

̅ , , ) = (, , , )

Oltre al campo di velocità, esistono altri campi euleriani rilevan per la descrizione

completa del fluido. Ques possono essere campi scalari, come per esempio la densità ρ(x,

y, z, t), che in generale può avere una dipendenza sia dal tempo che dallo spazio. La densità

è rappresentata in ogni punto e in ogni istante da un unico valore numerico, non da un

ve ore, quindi è un campo scalare. Altri esempi di campi scalari importan sono la

pressione p(x, y, z, t) e la temperatura T(x, y, z, t), che anch'essi possono variare nello spazio

e nel tempo.

L'obie vo per descrivere completamente un fluido in moto è quindi conoscere punto per

punto, istante per istante, ques campi euleriani. La domanda che si pone naturalmente è:

come si fa a determinarli? La risposta fondamentale è che ques campi euleriani sono le

soluzioni di equazioni differenziali che rappresentano principi di conservazione

fondamentali. Ques principi sono sempre validi, indipendentemente dal po specifico di

fluido o dalle condizioni par colari del problema.

Le equazioni che esprimono ques principi di conservazione sono le equazioni che

governano il moto del fluido. Queste equazioni hanno come incognite proprio i campi

euleriani che si vogliono determinare. Con opportune condizioni al contorno, che

specificano cosa succede ai bordi del dominio di interesse (per esempio, quali sono le

velocità imposte su certe superfici, o quali sono le pressioni note in cer pun ), idealmente

si riesce a risolvere queste equazioni e quindi a determinare i campi euleriani in ogni punto

e in ogni istante.

Naturalmente, la risoluzione di queste equazioni è in generale estremamente complessa.

Solo in casi molto semplifica si possono o enere soluzioni anali che in forma chiusa. Nella

maggior parte delle applicazioni pra che, si devono u lizzare metodi numerici (come la

fluidodinamica computazionale, CFD) per o enere soluzioni approssimate.

Il primo principio fondamentale è la conservazione della massa. La massa non può apparire

o scomparire spontaneamente. Se si considera un volume di fluido, la quan tà di massa che

entra in quel volume in un certo intervallo di tempo, meno la quan tà che esce, deve essere

uguale alla variazione della massa contenuta nel volume stesso. L'applicazione matema ca

di questo principio fisico al moto dei fluidi porta all'equazione di con nuità.

Il secondo principio fondamentale deriva dalla seconda legge della dinamica di Newton, F =

m·a, che esprime la conservazione della quan tà di moto. Le forze applicate a una massa di

fluido determinano la sua accelerazione, ovvero la variazione della sua quan tà di moto nel

tempo. L'applicazione di questo principio al con nuo fluido porta all'equazione di equilibrio

dinamico.

Sicuramente si dovranno imporre queste due condizioni sul problema di fluido in

movimento che si vuole risolvere. All'interno di queste equazioni che rappresentano ques

principi compariranno i campi che interessano, in par colare i campi di velocità e densità,

insieme ad altre grandezze come la pressione e le tensioni viscose.

Come si è già visto quando si è tra ata l'equazione di equilibrio sta co nelle tra azioni

preceden , ciascuna di queste equazioni può essere ricavata in due modi alterna vi, a

seconda del po di volume che si considera.

Se interessa andare a indagare cosa succede nell'intorno di un punto specifico, si applica il

principio di conservazione a un volume o infinitesimo centrato in quel punto. Si o ene in

questo modo un'equazione differenziale che vale puntualmente in ogni punto del dominio.

Questa formulazione prende il nome di forma indefinita dell'equazione.

Se invece si è interessa a un'applicazione più pra ca, spesso è più u le applicare il

principio di conservazione a un volume finito fissato, con dimensioni macroscopiche. Si

o ene in questo modo un'equazione integrale che coinvolge flussi a raverso le superfici

del volume e variazioni delle quan tà contenute nel volume stesso. Questa formulazione

prende il nome di forma globale dell'equazione.

Entrambe le formulazioni sono corre e e u li, ma hanno campi di applicazione diversi. La

forma indefinita è più ada a per analisi teoriche de agliate e per derivare soluzioni

anali che quando queste sono possibili. È anche la forma che si u lizza come punto di

partenza per i metodi numerici di risoluzione. La forma globale è invece spesso più pra ca

per analisi ingegneris che rapide, per s me approssimate, o per problemi in cui si è

interessa solo a quan tà integrali (come portate totali o forze totali) piu osto che ai

de agli locali del campo.

2.2-EQUAZIONE DI CONTINUITA’ IN FORMA INDEFINITA

Il primo di ques principi è la conservazione della massa, la cui espressione matema ca

porta all'equazione di con nuità. Si procede ora a derivare questa equazione nella sua

forma indefinita, ovvero applicando il principio a un volume o infinitesimo.

Come si impone concretamente un principio di conservazione della massa? Si parte dalla

scelta del volume di controllo appropriato. Poiché si vuole o enere la forma indefinita

dell'equazione, che deve valere puntualmente in ogni punto del dominio fluido, si considera

un volume o infinitesimo centrato in un punto generico del campo.

Secondo l'approccio euleriano che si è ado ato, questo volume o è fissato nello spazio e

nel tempo. Non si muove seguendo il fluido, ma rimane in una posizione spaziale fissa

mentre il fluido lo a raversa scorrendo al suo interno. Per la derivazione, si rappresenta il

volume o con una geometria par colarmente conveniente: un parallelepipedo re angolo

con sei facce, disposte a coppie di facce parallele tra loro, con ciascuna coppia parallela a

uno dei piani coordina forma dagli assi del sistema di riferimento.

Crucialmente, questo volume o, per quanto piccolo, non è mai così piccolo da violare la

condizione di mezzo con nuo. Si resta sempre a una scala di osservazione sufficientemente

grande da contenere un numero enorme di molecole e quindi da poter applicare le leggi del

con nuo. È un elemen no molto piccolo rispe o alle dimensioni cara eris che del

problema macroscopico, ma molto grande rispe o alle scale molecolari. Questo volume o

si trova immerso all'interno di un campo di moto del fluido. Il fluido scorre, le linee di

corrente a raversano il volume o, e in ogni istante c'è del fluido che sta entrando

a raverso alcune facce del volume o e altro fluido che sta uscendo a raverso altre facce.

Imporre la conservazione della massa per questo volume fissato nello spazio e nel tempo

equivale a scrivere un bilancio: la quan tà di massa che entra a raverso le pare del

volume o in un certo intervallo di tempo, meno la quan tà di massa che esce nello stesso

intervallo di tempo, deve essere uguale alla variazione della massa contenuta all'interno del

volume o tra l'inizio e la fine di quell'intervallo. Matema camente, considerando un

intervallo di tempo infinitesimo dt vale che la massa entrante in dW nel tempo dt meno la

massa uscente da dW nel tempo dt è pari alla variazione di massa in dW tra t e t+dt

− = −

Se il bilancio tra massa entrante e massa uscente non è zero, ovvero se c'è una differenza

ne a tra quanto entra e quanto esce, questo significa che la quan tà di massa contenuta

all'interno del volume o deve necessariamente cambiare nell'intervallo di tempo

considerato. Non può essere altrimen , perché la massa non può apparire o scomparire dal

nulla. Quindi il principio di conservazione della massa si traduce matema camente

nell'affermazione che la differenza tra massa entrante e massa uscente deve corrispondere

esa amente alla variazione della massa contenuta nel volume o tra l'inizio e la fine

dell'intervallo temporale.

Ora si deve procedere a calcolare esplicitamente ciascun termine di questa relazione di

bilancio. Si inizia dalla massa entrante nel volume o dW durante l'intervallo di tempo dt.

Data la geometria par colare del volume o, con le sue tre coppie di facce parallele agli assi

coordina , la massa entrante può essere vista come somma di tre contribu indipenden ,

uno per ciascuna direzione coordinata: massa entrante nella direzione x + massa entrante

nella direzione y + massa entrante nella direzione z. Cosa significa "massa entrante nella

direzione x"? Significa la massa che entra a raverso quella faccia del volume o che è

perpendicolare all'asse x, ovvero la faccia che ha come normale il versore dell'asse x.

Analogamente per le altre due direzioni.

= + +

Allo stesso modo, la massa uscente può essere scomposta negli stessi tre contribu

direzionali: = + +

Si parte dal calcolo esplicito della massa che entra e esce a raverso una par colare coppia

di facce parallele, per esempio quella nella direzione y. Si consideri la faccia con giacitura

parallela al piano xz, perpendicolare quindi all'asse y. Si indichi con A il punto medio di

questa superficie, e con B il punto medio della faccia parallela opposta, che si trova a

distanza dy dalla prima.

Sia il punto A il punto medio della superficie con giacitura parallela all’asse e consideriamo

la faccia parallela dove si avrà il punto B come punto medio. Consideriamole superfici A e B.

Si inizia determinando la massa entrante a raverso la superficie A, che si indica con e

la massa uscente a raverso la superficie B parallela, indicata con

Da cosa dipende la massa che nell'intervallo di tempo dt a raversa la superficie A? Il

volume o è inserito in un campo di moto del fluido, quindi sicuramente questa massa

dipende dalla velocità del fluido in quel punto. La velocità nel punto A avrà tre componen

rispe vamente parallela, perpendicolare e parallela alla superficie considerata:

̅ =

Qui emerge un'osservazione fisica fondamentale. Se nel punto A ci fossero solo componen

di velocità parallele alla superficie, senza alcuna componente perpendicolare, potrebbe

esserci massa che a raversa quella superficie entrando nel volume o? Evidentemente no. Il

fluido scorrerebbe tangenzialmente alla superficie, ma non la a raverserebbe.

La componente indispensabile per il passaggio di massa a raverso un'area è esclusivamente

la componente della velocità perpendicolare a quell'area. Quindi la massa entrante dipende

non dall'intero ve ore velocità , ma solo dalla sua componente perpendicolare

̅

In par colare, interessa la massa che entra a raverso questa faccia nel tempo dt. Questo

dato temporale fornisce l'indicazione di quali siano le par celle di fluido che riescono,

nell'intervallo dt, effe vamente ad a raversare quest'area ed entrare nel volume o.

Si visualizza meglio questo conce o costruendo un parallelepipedo ausiliario. Questo

parallelepipedo ha per base l'area stessa della faccia A, ovvero dx·dz, e per altezza la

quan tà Questa altezza è una lunghezza, dato che velocità per tempo dà una distanza,

.

e rappresenta precisamente la distanza percorsa in tempo dt da una par cella che ha

componente lungo y della velocità pari a

È evidente geometricamente che una par cella che si trova al di fuori di questo volume

tra eggiato, se ha componente della velocità perpendicolare all'area gialla pari a nel

tempo dt non arriverà mai all'area considerata. È troppo lontana. Solo le par celle che si

trovano all'interno di questo volume cilindrico possono effe vamente contribuire

all'ingresso di massa nel cube o a raverso questa porzione di area.

Quindi il volume di fluido che riesce a entrare nel tempo dt a raverso l'area considerata è

dato da:

Dove è la distanza massima a cui possono trovarsi le par celle che hanno la possibilità

di entrare a raverso quest'area in questo intervallo di tempo, e dx·dz è l'estensione dell'area

stessa, perché tu e le par celle che si trovano entro i limi laterali dell'area considerata

possono potenzialmente entrare.

Ma dato che s amo parlando di volume, per o enere la massa entrante, che è l'obie vo,

manca ancora la densità. Quindi: (

= )

Questa è la massa che entra a raverso la superficie A nella direzione y durante l'intervallo di

tempo dt.

Si può fare un ragionamento completamente analogo per la massa che sta uscendo

a raverso la faccia parallela a quella appena considerata. Si considera l'area che ha punto

medio B, che ha uguale giacitura rispe o ad A, parallela al piano xz e perpendicolare all'asse

y. La massa uscente nella direzione y, a raverso la superficie B, sarà data dalla stessa

stru ura di formula: (

= )

Seguendo questa logica, si sono già trova due degli elemen nella parte sinistra del

bilancio di massa, ovvero la massa entrante e quella uscente nella direzione y.

A questo punto si presenta una ques one tecnica. Si conoscono le espressioni di e

ma queste contengono grandezze (densità e velocità) valutate in due pun diversi, A e B,

che sono separa da una distanza infinitesima dy. Come si può esprimere una relazione tra

queste grandezze? Si ricorda la considerazione che era già stata fa a quando si era derivata

l'equazione indefinita di equilibrio sta co. Se il mezzo è con nuo, tu e le grandezze fisiche

sono rappresentabili a raverso funzioni che variano con con nuità nello spazio. Questo

significa che si può scrivere il valore di una generica grandezza in un punto B in funzione del

valore nel punto A vicino, a raverso uno sviluppo in serie di Taylor.

Al primo ordine in dy, si ha:

= +

Questa relazione dice che la densità in B può essere approssimata come la densità in A, più

una correzione che ene conto di quanto la densità sta cambiando nella direzione y

(misurato dalla derivata parziale ∂ρ/∂y), mol plicata per la distanza dy di cui ci si è sposta .

Analogamente per la componente y della velocità:

= +

Nell'espressione della massa uscente compare però il prodo o di queste due

grandezze, . Se ciascuna di queste viene scri a come un binomio (la somma di due

termini), il loro prodo o genererà qua ro termini in totale:

= + + +

Si deve ora fare un'osservazione cruciale sugli ordini di grandezza degli infinitesimi. Quando

si ha a che fare con valori estremamente piccoli, più si elevano a potenza e più diventano

trascurabili. Un termine che con ene (dy)² è un infinitesimo di ordine superiore rispe o ai

termini che contengono solo dy al primo ordine. Quindi:

= + +

Si può ora calcolare il bilancio tra massa entrante e massa uscente solo nella direzione y:

− = − − +

− = − −

()

− =−

Questa è l'espressione finale per il contributo della direzione y al bilancio complessivo di

massa.

Il procedimento per le altre due direzioni coordina è del tu o analogo, quindi si può

abbreviare la tra azione riportando solo i risulta finali.

Per la direzione x, si considerano le facce con pun medi C e D, perpendicolari all'asse x. La

componente rilevante della velocità è ora u, quella perpendicolare a queste facce. Con lo

̅

stesso po di ragionamento geometrico e sviluppo in serie, si o ene:

()

− =−

Per la direzione z, considerando le facce con pun medi E e F, perpendicolari all'asse z, e la

componente w della velocità: ()

− =−

Ora si deve valutare il termine al secondo membro dell'equazione di bilancio, ovvero la

variazione della massa contenuta nel volume o tra l'istante t e l'istante t+dt.

La massa al tempo t nel volume o dW è semplicemente:

=

Dove è la densità valutata nel punto medio O del volume o al tempo t. Il volume o è

fisso nello spazio e nel tempo, quindi il suo volume dW non cambia.

La massa al tempo t+dt sarà: =

La densità è nello stesso punto spaziale O, ma valutata all'istante successivo.

Le funzioni che rappresentano i campi euleriani, in virtù dell'ipotesi di mezzo con nuo,

possono essere definite con con nuità sia nello spazio che nel tempo. Questo significa che

si può usare uno sviluppo in serie al primo ordine anche nel tempo per definire la densità a

t+dt in funzione della densità a t:

= +

Quindi la variazione di massa è:

− = + −

− =

Si hanno ora tu gli elemen necessari per assemblare l'equazione di conservazione della

massa. Il bilancio completo si scrive:

− = −

() () ()

− − − =

() () ()

− + + =

() () ()

+ + + =0

Questa equazione può essere scri a in una forma più compa a e significa va osservando

che i tre termini spaziali cos tuiscono la somma di tre derivate parziali, ciascuna rispe o a

uno dei tre assi coordina , applicate alle componen di un ve ore e questo ve ore è il

ve ore ρ·̅ , dove ρ è lo scalare densità che mol plica il ve ore velocità. La somma delle

derivate parziali delle componen di un ve ore rispe o alle rispe ve coordinate è

esa amente la definizione dell'operatore divergenza applicato a quel ve ore. Quindi

l'equazione di con nuità in forma indefinita si scrive nella sua forma compa a finale:

(̅ )

+ ∇ ∙ = 0

Questa corrisponde effe vamente all'espressione matema ca della conservazione della

massa, come ci si aspe ava dalla logica con cui è stata scri a l'equazione di bilancio. Ma è

importante cercare di capire cosa rappresen fisicamente questo ve ore di cui si fa la

̅

divergenza.

Dal punto di vista dimensionale, cosa rappresenta il prodo o ?

̅

[̅ ] = =

In altre parole, rappresenta un flusso di massa, ovvero la quan tà di massa che passa

̅

a raverso una superficie unitaria nell'unità di tempo. È la portata massica per unità di area.

Quindi il ve ore rappresenta la massa che a raversa il contorno del volume o dW per

̅

unità di area del contorno per unità di tempo. Questo conce o di flusso massico è

fondamentale per interpretare corre amente l