Meccanica dei fluidi, parte 8 - Reologia di fluidi newtoniani

4-REOLOGIA DI FLUIDI NEWTONIANI

4.1-RICHIAMO DEL PARAGRAFO 2.6: IL PROBLEMA FLUIDODINAMICO E LA NECESSITA’ DI UN

MODELLO REOLOGICO

Nel capitolo 3 stata completata la determinazione delle formule empiriche necessarie per

sfru are il modello reologico semplificato di fluido ideale nell'applicazione del moto in

condo a. Il modello reologico ideale predice l'assenza di perdite energe che, mentre

sperimentalmente si osservano invece delle perdite. Per questo mo vo, in complemento al

modello reologico semplificato e alle equazioni che ne derivano, si u lizzano formule

empiriche per determinare questa discrepanza tra il modello ideale e ciò che si osserva

sperimentalmente.

Il modello di fluido ideale non è tu avia l'unico che viene considerato. Sarà ora esaminata

una seconda classe di modelli reologici: quella dei fluidi newtoniani.

Prima di procedere, è opportuno ricordare perché sia stato necessario introdurre un

modello reologico. Il problema fluidodinamico isotermo generico si basa sostanzialmente su

un sistema di equazioni. La prima deriva dal principio di conservazione della massa ed è

espressa a raverso un'equazione scalare le cui incognite sono la densità e le tre

componen del ve ore velocità: (̅ )

+ ∇ ∙ = 0

Il secondo principio fondamentale è quello di conservazione della quan tà di moto,

espresso dall'equazione ve oriale: (f̅ − a

) = ∇ ⋅ Φ

Dove è il tensore degli sforzi. Questa equazione ve oriale corrisponde a tre equazioni

scalari, dato che ogni ve ore ha tre componen .

Contando le incognite presen in questa equazione, si hanno: la densità le tre

,

componen della velocità contenute nel ve ore accelerazione, e le componen del tensore

degli sforzi. Il tensore è rappresentabile a raverso una matrice 3×3, quindi con 9 elemen .

Tu avia, gli elemen indipenden sono solo 6 di ques 9, poiché si tra a di un tensore

simmetrico: 3 elemen sulla diagonale e 3 elemen extradiagonali (Φ , , ).

Φ Φ

Per completare il sistema, nel caso più generale di fluido comprimibile, si aggiunge

l'equazione di stato, ponendo la densità come funzione della pressione (non della

temperatura, poiché il problema fluidodinamico considerato è isotermo). Questa è

un'equazione scalare con incognite e

:

= ()

In totale si hanno quindi 5 equazioni (1 scalare + 3 scalari + 1 scalare) e 11 incognite (1

densità + 3 componen velocità + 6 componen tensore sforzi + 1 pressione).

Il modello reologico si rende necessario proprio per chiudere questo sistema, che

presenta una ne a disparità tra il numero di incognite e il numero di equazioni

disponibili. Mancano 6 equazioni. Queste 6 equazioni mancan possono essere fornite da

un modello reologico, poiché l'elemento che incide maggiormente nel determinare il

numero di incognite è rappresentato dai sei elemen del tensore degli sforzi.

Un determinato stato di sforzo comporta una determinata risposta del fluido. È possibile

cercare un modello che interpre questa risposta. Tale modello fornirà le sei equazioni

mancan , con un'equazione per ciascuna delle componen del tensore degli sforzi.

Nel corso di meccanica dei fluidi vengono considera solo due modelli reologici. Il primo, il

fluido ideale, non cerca di interpretare la reale risposta del sistema a una determinata

sollecitazione, ma semplifica al massimo la descrizione anali ca del problema supponendo

un fluido che si compor in modo ideale, nel quale gli sforzi tangenziali non hanno alcun

effe o.

L'alterna va è cercare un modello reologico che sia rappresenta vo della reale risposta

che il fluido fornisce a una specifica sollecitazione. A questo proposito vengono esamina

i fluidi newtoniani.

4.2-L’IPOTESI DI FLUIDI NEWTONIANI E VISCOSITA’ (RICHIAMO CONCETTI INIZIALI)

La definizione di fluido newtoniano è già stata incontrata nella prima lezione, quando è

stato introdo o il conce o di viscosità come proprietà dei fluidi. Nel caso di due lastre piane

parallele, una in movimento rispe o all'altra per effe o di una forza e a conta o con un

fluido posto tra le due lastre, il fluido subisce una deformazione. Tu avia, a differenza dei

solidi, questa deformazione è indefinita e non può essere quan ficata in modo u le per

un modello reologico.

Ciò che può essere u lizzato è la velocità di deformazione, che è quan ficabile. In quel caso

specifico, questa variabile veniva messa in relazione con la sollecitazione rappresentata

dallo sforzo tangenziale Per i fluidi, quindi, la relazione espressa dal modello reologico è

.

tra sforzi e velocità di deformazione.

Si è parlato di fluidi newtoniani nel caso par colare in cui, riproducendo sperimentalmente

il processo descri o, l'obie vo era quan ficare la proprietà di viscosità di quel fluido. Per

diverse sollecitazioni, quindi diversi valori della forza che comportano diversi valori dello

sforzo si osserva quale sia la velocità costante a cui, a regime, viene a muoversi

= /,

la lastra come effe o di compensazione tra la forza esercitata sulla lastra e la forza di

resistenza offerta dal fluido.

Il rapporto rappresenta la velocità di deformazione. Sperimentalmente, raccogliendo i

/

da e vedendo come si dispongono i pun nel piano sforzo-velocità di deformazione,

quando l'andamento è lineare si è in presenza di fluidi newtoniani:

Non sono le uniche categorie di fluido, poiché si possono avere anche diverse relazioni non

lineari, corrisponden a fluidi non newtoniani. Tu avia, i fluidi con reologia newtoniana

sono i più studia e osserva con maggiore frequenza, ed è per questo mo vo che ci si

focalizza su di essi.

Per definire il modello reologico di fluido newtoniano sono necessarie sei equazioni, una

per ciascun elemento del tensore degli sforzi. Il modello reologico sarà cos tuito da una

relazione tensoriale tra e il tensore velocità di deformazione, che deve ancora essere

Φ

definito.

Prima di introdurre effe vamente i fluidi newtoniani e le ipotesi che stanno dietro questo

modello reologico, è necessario fare un passo indietro per vedere come si definisce il

tensore velocità di deformazione e come è fa o.

4.3-IL TENSORE VELOCITA’ DI DEFORMAZIONE

Per capire il mo vo che sta dietro la forma anali ca del tensore di velocità di deformazione,

viene studiato cosa succede a una par cella fluida all'interno di un campo di moto per

effe o della distribuzione di velocità nello spazio.

Si suppone che la par cella fluida si trovi all'interno di un campo di moto individuato da

linee di corrente (in verde). Per semplicità, il fenomeno viene studiato in due dimensioni,

anche se è immediatamente estendibile a tre dimensioni dello spazio.

Si considera quindi un campo di velocità nel piano e una par cella a forma di

elemento quadrato infinitesimo con la e sogge a a questo campo di moto. Non si

,

tra a di un volume o fisso nello spazio e nel tempo, ma si studia quali effe ha il campo di

velocità sulla par cella.

Le componen di velocità di ciascun punto possono essere ricavate a par re da quelle nel

punto Siano e le componen della velocità nell'estremità

. :

( )

̅ = ,

Uno sviluppo in serie consente, dato che l'estensione dell'elemento è infinitesima, di

scrivere le componen della velocità nei diversi pun .

Per il punto che si trova spostato lungo di

, :

∂ ∂

= + = +

∂ ∂

∂ ∂

̅ = ( + ; + )

∂ ∂

Per il punto che si trova spostato in di

, :

∂ ∂

= + = +

∂ ∂

∂ ∂

̅ = ( + ; + )

∂ ∂

Per il punto considerandolo come spostato di dal punto

, :

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = + + = + = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

̅ = + + ; + +

∂ ∂ ∂ ∂

Questa scri ura può essere compa ata u lizzando l'operatore gradiente La velocità in un

∇.

punto generico può essere scri a come:

̅ = ̅ + (∇̅ ) ⋅ ̅

Dove è il ve ore che separa e con componen e mentre è il gradiente di

̅ , ∇̅