Meccanica dei fluidi, parte 3 - determinazione spinte in condizioni idrostatiche

3.7-DALLE FORZE DI SUPERFICIE ALLE SPINTE IDROSTATICHE

La determinazione della distribuzione delle pressioni all'interno di un volume di fluido non

cos tuisce un obie vo fine a sé stesso, ma risponde a una precisa esigenza fisica legata

alla cara erizzazione delle forze agen sul sistema. La pressione rappresenta l'unico sforzo

presente in un fluido in condizioni di quiete, e gli sforzi cos tuiscono lo strumento

matema co a raverso cui si determinano le forze di superficie.

Le forze di superficie, indicate con il simbolo e introdo e inizialmente, sono forze che si

sviluppano su qualsiasi superficie di interfaccia posta a dire o conta o con il fluido.

Considerando un elemento infinitesimo di superficie ad esso risulta associata una forza

,

di superficie infinitesima .

L'elemento di superficie viene cara erizzato a raverso la sua giacitura, definita

mediante il versore normale n̂. Per convenzione, questo versore viene sempre orientato

come normale entrante rispe o al volume di fluido considerato. Questa scelta

convenzionale, già gius ficata in precedenza a raverso la natura degli sforzi nei fluidi,

fornisce un riferimento univoco per l'orientazione delle superfici.

In condizioni di quiete, la forza di superficie infinitesima presenta la stessa direzione e

verso del versore normale entrante. Questa proprietà deriva dire amente dal fa o che, in

assenza di movimento, gli sforzi tangenziali sono nulli e rimangono solamente gli sforzi

normali di compressione. La forza viene definita come quella esercitata dal contorno sul

fluido, seguendo la convenzione stabilita per l'orientazione della normale.

La relazione quan ta va tra forza di superficie e sforzo si esprime a raverso l'equazione:

=

In condizioni di quiete: =

Le applicazioni pra che dell'idrosta ca richiedono picamente la determinazione delle

forze che il fluido esercita sulle pare dei contenitori che lo delimitano. Il

dimensionamento stru urale di un serbatoio des nato a contenere fluido a una determinata

pressione, ad esempio, necessita della conoscenza precisa dell'en tà delle forze che il fluido

applica sulle superfici del contenitore stesso.

Questa esigenza pra ca comporta un cambiamento di prospe va rispe o alla definizione

originaria delle forze di superficie. Anziché considerare le forze che il contorno esercita sul

fluido, diventa necessario determinare le forze che il fluido esercita sul contorno. Questa

inversione del punto di vista genera una nuova categoria di grandezze denominate spinte,

̅

indicate convenzionalmente con il simbolo .

In condizioni di quiete, queste forze assumono la denominazione specifica di spinte

idrosta che, cioè le forze esercitate dal fluido sul contorno che lo delimita.

La relazione tra forze di superficie e spinte deriva dire amente dal cambiamento di punto di

vista descri o. Per ogni elemento infinitesimo di superficie, la spinta elementare dS risulta

essere esa amente opposta alla corrispondente forza di superficie elementare:

̅ = −

̅

Questa relazione di opposizione rifle e il principio di azione e reazione: se il contorno

esercita una forza sul fluido orientata secondo la normale entrante, il fluido esercita sul

contorno una forza di uguale modulo ma verso opposto. La differenza sostanziale risiede

quindi nell'orientazione del versore normale di riferimento. Per le spinte elementari, la

formulazione matema ca diventa:

̅ )

= − = (−

Il versore -n̂ rappresenta la normale uscente rispe o al volume di fluido, ovvero la normale

entrante rispe o al contorno solido. Questa inversione del versore normale cos tuisce

l'unica differenza formale tra la descrizione delle forze di superficie e quella delle spinte.

La le eratura tecnica ado a diverse convenzioni simboliche per indicare le medesime

grandezze fisiche. Le forze di superficie, oltre al simbolo , vengono spesso indicate con il

simbolo ve oriale π.

Le applicazioni pra che dei problemi di idrosta ca richiedono raramente la conoscenza

delle forze agen su elemen infinitesimi di superficie. Il dimensionamento stru urale o

l'analisi di equilibrio di sistemi reali necessita invece della determinazione della spinta

complessiva che il volume di fluido esercita su porzioni finite del suo contorno.

Considerando un volume di fluido cara erizzato da peso specifico γ e un contorno di

estensione finita iden ficato dalla superficie (fron era del dominio del fluido),

= ̅

l'obie vo pra co consiste nel calcolare la spinta risultante che il fluido esercita su questa

superficie. ̅

W

̅

La spinta risultante su una superficie di estensione finita A si o ene come somma ve oriale

̅

di tu i contribu infinitesimi distribui sulla superficie. Questa operazione di somma si

esprime matema camente a raverso l'integrale di superficie:

̅ ̅ )

= = (−

La determinazione della spinta risultante richiede la conoscenza non solo del suo modulo,

ma anche della sua direzione, del suo verso e, in mol casi pra ci, del suo punto di

applicazione. Queste informazioni sono necessarie per cara erizzare completamente il

ve ore forza e per valutarne gli effe sul sistema meccanico considerato.

Questa formulazione integrale rappresenta il legame formale tra la distribuzione locale delle

pressioni, nota a raverso l'applicazione della legge di Stevino e delle condizioni al contorno,

e la risultante globale delle azioni che il fluido esercita sul contorno.

La valutazione pra ca di questo integrale richiede la conoscenza di come la pressione p

varia nei diversi pun della superficie A. Questa conoscenza cos tuisce precisamente

l'obie vo degli studi sulla distribuzione delle pressioni condo nelle sezioni preceden

a raverso l'applicazione della legge di Stevino e l'u lizzo degli strumen di misura.

La determinazione della direzione della spinta risultante presenta livelli di complessità

differen a seconda della geometria della superficie considerata. Il versore normale -n̂ che

compare nell'integranda rappresenta l'orientazione locale della superficie in corrispondenza

di ciascun elemento infinitesimo dA.

Nel caso generale, questa orientazione varia da punto a punto sulla superficie, impedendo

una determinazione immediata della direzione della risultante. Il versore normale associato

a ciascun elemento infinitesimo può puntare in direzioni completamente diverse a seconda

della posizione dell'elemento sulla superficie totale, rendendo necessaria l'integrazione

ve oriale completa per o enere la direzione finale della risultante.

Questa difficoltà generale gius fica la necessità di sviluppare procedure di calcolo specifiche

che tengano conto della par colare geometria della superficie su cui agisce la spinta. La

dis nzione fondamentale che emerge dall'analisi geometrica del problema riguarda la

natura piana o curva della superficie considerata.

Le superfici piane presentano una cara eris ca geometrica fondamentale che semplifica

dras camente il calcolo delle spinte: la normale alla superficie man ene la stessa direzione

in tu i pun . Considerando il lato piano di un contenitore riempito di fluido con peso

specifico γ, ogni elemento infinitesimo dA che compone la superficie totale A presenta il

medesimo versore normale entrante n̂.

Questa costanza dell'orientazione comporta che tu e le spinte elementari dS, pur avendo

moduli diversi in funzione della differente pressione locale, risultano parallele tra loro. La

risultante di un sistema di ve ori paralleli man ene necessariamente la stessa direzione dei

ve ori componen , perme endo quindi di affermare che la spinta risultante su una

superficie piana ha la stessa direzione della normale alla superficie (che è unica).

Dal punto di vista anali co, la costanza del versore -n̂ perme e di portare questo termine

fuori dall'integrale: ̅ ̅ ) (− )

= = (− =

Le superfici curve presentano una situazione geometrica radicalmente diversa.

Considerando una porzione di contorno cos tuita da un quarto di circonferenza in un

recipiente contenente fluido con peso specifico γ, la normale alla superficie varia

con nuamente punto per punto lungo la curva:

Elemen infinitesimi dA situa in posizioni diverse sulla superficie curva presentano versori

normali entran n̂ con orientazioni completamente differen . Questa variabilità

dell'orientazione impedisce qualsiasi determinazione a priori della direzione della spinta

risultante, che emergerà solamente come risultato dell'integrazione ve oriale completa.

Inoltre, il versore -n̂ non può essere estra o dall'integrale poiché non è costante sulla

superficie di integrazione.

METODO MECCANICO PER LA DETERMINAZIONE DEL PUNTO DI APPLICAZIONE DELLA

SPINTA SU SUPERFICI PIANE

Per sviluppare una metodologia di validità generale*, occorre considerare il caso più ampio

possibile. La tra azione analizza quindi una superficie piana di forma geometrica arbitraria,

contenuta in un piano orientato in modo generico rispe o all'orizzontale. L'angolo di

inclinazione del piano rispe o all'orizzontale viene indicato con α, parametro che

cara erizza completamente l'orientazione della superficie nello spazio.

*La generalità dell'approccio garan sce che la procedura derivata risul applicabile a

qualsiasi configurazione pra ca, indipendentemente dalla forma specifica della superficie o

dalla sua inclinazione. Le semplificazioni che emergeranno per casi par colari cos tuiranno

specializzazioni naturali della teoria generale piu osto che risulta indipenden .

La visualizzazione iniziale del problema avviene a raverso una rappresentazione

bidimensionale in sezione. Un recipiente contenente fluido con peso specifico γ presenta

una parete laterale inclinata rispe o all'orizzontale. La superficie libera del fluido, a dire o

conta o con l'atmosfera, iden fica immediatamente il piano dei carichi idrosta ci rela vi.

L'area su cui si vuole calcolare la spinta giace sulla parete inclinata, e la sua traccia nella

sezione ver cale evidenzia l'inclinazione α rispe o all'orizzontale.

La transizione alla rappresentazione tridimensionale completa perme e di visualizzare la

superficie effe va su cui agisce la spinta. Il piano dei carichi idrosta ci, finora rappresentato

come una linea nelle sezioni, diventa effe vamente un piano orizzontale nello spazio

tridimensionale. La superficie contenente l'area A interseca questo piano secondo una re a,

e l'area stessa presenta una forma geometrica generica per mantenere la massima

generalità dell'analisi. Piano carichi idrostatici

ℎ

L'introduzione di un sistema di riferimento solidale con il piano contenente la superficie

cos tuisce uno strumento matema co fondamentale per lo sviluppo dei calcoli. Gli assi di

questo sistema vengono denomina e maiuscolo per coerenza con la notazione

standard. L'asse Y viene definito come l'intersezione tra il piano dei carichi idrosta ci

orizzontale e il piano inclinato contenente la superficie A. L'asse X risulta perpendicolare

all'asse Y e giace anch'esso nel piano contenente la superficie.

La spinta risultante sulla superficie viene espressa a raverso l'integrale di superficie:

̅ ̅ )

= = (−

Per le superfici piane, il versore normale -n̂ man ene orientazione costante su tu a l'area,

perme endo di portarlo fuori dall'integrale:

̅ ̅ ) (− )

= = (− =

La determinazione del modulo richiede quindi la valutazione dell'integrale scalare della

pressione sulla superficie. La pressione in un generico punto situato a profondità h al di

so o del piano dei carichi idrosta ci è data dalla legge di Stevino:

= ·ℎ

Dove h rappresenta l'affondamento ver cale misurato dalla superficie del piano dei carichi

idrosta ci. L'integrale diventa quindi:

̅ (− ) (− )

= = ℎ

L'incomprimibilità del fluido garan sce che il peso specifico γ sia costante in tu o il volume,

perme endo di estrarlo dall'integrale:

̅ (− ) (− )

= = ℎ

La chiave per procedere consiste nello stabilire una relazione tra l'affondamento e le

ℎ

coordinate nel sistema di riferimento XY introdo o. La geometria del sistema fornisce

questa relazione a raverso considerazioni trigonometriche elementari.

Per un elemento di area dA situato a coordinata X nel sistema di riferimento solidale con il

piano, l'affondamento h si o ene proie ando la distanza X lungo la direzione ver cale.

Poiché il piano è inclinato di un angolo α rispe o all'orizzontale, si ha:

ℎ = · ()

Questa relazione geometrica perme e di sos tuire nell'integrale:

̅ (− ) (− )

= = ()

Il seno dell'angolo α è costante per tu gli elemen di area, essendo una proprietà globale

dell'inclinazione del piano. Conseguentemente:

̅ (− )()

=

Piano carichi idrostatici

ℎ

L'integrale che compare nell'espressione richiede un'interpretazione geometrica per poter

essere valutato in termini di grandezze note. La definizione di baricentro geometrico di una

figura piana fornisce esa amente questo collegamento.

Per una superficie di area totale A con distribuzione di forma arbitraria, il baricentro

geometrico rappresenta il punto cara erizzato da coordinate che cos tuiscono la

)

( ,

media pesata delle coordinate di tu gli elemen infinitesimi.

Le coordinate X e Y del baricentro si definiscono come:

1

= ·

1

= ·

Varrà quindi che: 1

= · → =

1

= · → =

Questa relazione perme e di sos tuire l'integrale nell'espressione della spinta con il

prodo o della coordinata del baricentro per l'area totale:

̅ (− )() (− )

= = ()

Questa forma è già significa va e perme e in principio di calcolare la spinta conoscendo il

peso specifico del fluido, l'inclinazione del piano, la posizione del baricentro e l'area totale.

Tu avia, è possibile compa are ulteriormente l'espressione riconoscendo il significato fisico

del termine Dalla relazione trigonometrica stabilita in precedenza, se

· ().

rappresenta la coordinata del baricentro nel sistema di riferimento solidale con il piano,

allora: ℎ = · ()

rappresenta l'affondamento del baricentro geometrico della superficie rispe o al piano

ℎ

dei carichi idrosta ci. Piano carichi idrostatici

ℎ

Il prodo o del peso specifico per l'affondamento del baricentro fornisce esa amente il

valore della pressione nel punto baricentrico della superficie:

= · ℎ = · · ()

Questa osservazione perme e di scrivere la formula finale nella forma estremamente

compa a e di immediata interpretazione fisica:

̅ = − · ·

Il modulo della spinta risulta quindi: |̅| | |

= ·

Questo risultato notevole afferma che, per una superficie piana di area A immersa in un

fluido, il modulo della spinta è dato semplicemente dal prodo o della pressione nel

baricentro geometrico della superficie per l'area totale. Non è necessario conoscere punto

per punto la distribuzione delle pressioni su tu a la superficie, ma risulta sufficiente

determinare la pressione in un solo punto par colare: il baricentro geometrico.

La direzione della spinta su una superficie piana deriva dire amente dalla costanza del

versore normale su tu a la superficie. Il ve ore spinta risulta parallelo alla giacitura della

superficie, ovvero parallelo al versore normale. Poiché la superficie è piana, questa

direzione rimane la stessa indipendentemente dal punto considerato sulla superficie.

La determinazione del verso richiede maggiore a enzione e dipende dal segno della

pressione rela va nel baricentro:

 Quando la pressione rela va nel baricentro è posi va, il verso della spinta coincide

con quello del versore -n̂ , ovvero con la normale uscente rispe o al volume di fluido.

Il fluido spinge quindi verso l'esterno, allontanandosi dal proprio volume.

 Quando la pressione rela va nel baricentro è nega va, situazione che si verifica per

superfici situate al di sopra del piano dei carichi idrosta ci rela vi, il verso della

spinta si inverte e coincide con il versore n̂, ovvero con la normale entrante.

Questa inversione di verso può generare confusione conce uale e richiede un'analisi

approfondita del suo significato fisico.

Quando la pressione rela va assume valori nega vi, l'espressione matema ca della spinta

sembra suggerire che il fluido eserci una forza di trazione sulla superficie, rando verso di

−̅

sé il contorno. Analogamente, considerando le forze di superficie = , una pressione

rela va nega va comporterebbe una forza di superficie orientata come la normale uscente,

suggerendo nuovamente uno sforzo di trazione.

Questa apparente contraddizione con il principio fondamentale che i fluidi non sopportano

sforzi normali di trazione richiede un chiarimento accurato. La risoluzione della

contraddizione risiede nel riconoscere che le pressioni rela ve rappresentano sforzi ne

piu osto che sforzi assolu .

Per comprendere pienamente la situazione fisica, occorre considerare un sistema chiuso

contenente fluido con peso specifico γ. Un piezometro inserito nel sistema mostra una

risalita del fluido fino a una quota intermedia, iden ficando così il piano dei carichi

idrosta ci rela vi. La porzione del sistema situata al di sopra di questo piano presenta

pressioni rela ve nega ve, mentre la porzione so ostante presenta pressioni rela ve

posi ve.

La rappresentazione in termini di pressioni assolute chiarisce immediatamente la situazione

fisica reale. Nel piano dei carichi idrosta ci rela vi, la pressione assoluta vale esa amente

∗

<

∗

=

∗

> ∗

Al di sopra di questo piano, la pressione assoluta assume valori inferiori alla pressione

atmosferica ma rimane comunque posi va. Al di so o del piano, la pressione assoluta

supera la pressione atmosferica.

Una superficie del contorno a conta o con il fluido interno è simultaneamente sogge a

anche all'azione dell'atmosfera esterna. La rappresentazione completa degli sforzi agen

sulla superficie richiede quindi di considerare entrambi i contribu : la pressione assoluta del

fluido interno che agisce su un lato della superficie e la pressione atmosferica che agisce sul

lato opposto. Nella regione dove la pressione rela va è nega va, la pressione assoluta del

fluido interno risulta inferiore alla pressione atmosferica esterna. Entrambe le pressioni

generano sforzi normali di compressione: il fluido interno spinge sulla superficie con

intensità < , mentre l'aria esterna spinge in verso opposto con intensità

∗

<0

∗

=

∗

Lo sforzo ne o risultante dalla combinazione di queste due azioni è orientato verso

l'interno del fluido, non perché il fluido eserci trazione, ma semplicemente perché l'aria

esterna spinge più intensamente di quanto faccia il fluido interno. La pressione rela va

nega va rappresenta esa amente