Meccanica dei fluidi - appunti integrati

INTRODUZIONE

grad b = _∂b/_∂x î + _∂b/_∂y ĵ + _∂b/_∂z k̂ (b scalare)

div a = _∂ax/_∂x + _∂ay/_∂y + _∂az/_∂z = ∇·a (a vettore)

div A = ∇·A = [_∂/_{∂x ∂}/_{∂y ∂}/_∂z] [_{Axx Axy Axz}] [_{Ayx Ayy Ayz}] [_{Azx Azy Azz}]

rot a = ( _∂az/_∂y - _∂ay/_∂z ) î + ( _∂ax/_∂z - _∂az/_∂x ) ĵ + ( _∂ay/_∂x - _∂ax/_∂y ) k̂ = ∇∧ a̅

∇²b = _∂²b/_∂x² + _∂²b/_∂y² + _∂²b/_∂z² (scalare)

∇²a̅ = _∂²ax/_∂x² î + _∂²ay/_∂y² ĵ + _∂²az/_∂z² k̂

Teo. Gauss. ∫_{v ∂b}/_∂xi dv = - ∫_Ω b·n̂ dΩ

Teo gradiente. ∫_v grad b dV = - ∫_Ω b·n̂ dΩ

Teo divergenza. ∫_v div a̅ dV = - ∫_Ω a̅·n̂ dΩ

Posizione:

x = ŷ + x_o

Velocità:

υ = υ_o + ω ∧ ŷ + ŷ̇

Accelerazione:

a = acc. Euler + acc. Coriolis + acc. centripeta

Densità:

ρ    [kg/m³]

γ = ρg

Comprimibilità:

ε := modulo di elasticità a compressione cubica

ΔV = -¹/_ε VΔp

V̇ = -¹/_ε dp

d

^dp/_β = ^dp/_ε

Celerità:

c = √^ε/_ρ

Viscosità:

Dinamica:

τ = μ ^du/_dr

Cinematica:

ν = /

Analisi locale del campo di moto

μ_i(x) = μ_i(x_o) + ∂μ_i/∂x₁ dx₁ + ∂μ_i/∂x₂ dx₂ + ∂μ_i/∂x₃

= μ_i(x_o) + ∂μ_i/∂x_j dx_j

μ (x) = μ (x_o) + dx grad(μ) |_xo

(grad μ) _ij = ∂μ_i/∂x_i

| ∂u₁/∂x₁ ∂u₁/∂x₂ ∂u₁/∂x₃ |

| ∂u₂/∂x₁ ∂u₂/∂x₂ ∂u₂/∂x₃ |

| ∂u₃/∂x₁ ∂u₃/∂x₂ ∂u₃/∂x₃ |

= ^B + _Ω

D_ij Ω_ij

=> ü(x) = ū(x_o) + dx Ω (x_o) + dx D(x_o)

I | II | III

I: moto rigido di pura traslazione

II: dx Ω (x_o) = 1/2 (rot ū) ^ dx

moto di rotazione rigida attorno a xo

III: dx D (x_o) + grad (1/2 dx D dx)

Applicando la legge fondamentale della dinamica:

_∫V (_x̅ - _x̅0) ρ _F̅ dV + _∫Ω (_x̅ - _x̅0) ∧ _τ̅ dΩ = _D/_Dt ∫_V (_x̅ - _x̅0) ρ _v̅ dV

II EQ. CARDINALE DELLA DINAMICA DEI FLUIDI

Tensore degli sforzi

_τ̅ = _τ̅(_x̅,_t,_n̅)

_∫V ρ _F̅ dV + _{∫Ω τ̅} dΩ = _D/_Dt ∫_V ρ _v̅ dV

Teo del trasporto

_{∫Ω P̅} dV + _{∫Ω τ̅} dΩ = ∫_V ρ _Dv̅/_Dt dV

_n̅ = _{nx î} + _{ny ĵ} + _{nz k̂}

Ω_x = - _nx Ω_o

Ω_y = - _ny Ω_o

Ω_z = - _nz Ω_o

Ω_i: ha per normale l'asse i-esimo

Gli integrali di volume presentano un infinitesimo di grado superiore rispetto a quelli di superficie:

_∫Ω ρ _P̅ dV + _{∫Ω τ̅} dΩ = _D/_Dt ∫_Ω ρ _v̅ dV

=>

_{∫Ω τ̅} dΩ = _τx Ω_x + _τy Ω_y + _τz Ω_z

= _τo - _nx Ω_x - _ny Ω_y - _nz Ω_z

= 0

=> _τ̅n = _nx + _ny + _nz

Teorema del tetraedro di Cauchy

=>

z + _p / _ϱ + u² / 2g = cost. = H carico totale

Nota:

• se la traiettoria fosse rettilinea (r → ∞)
• se mi muovo lungo quel piano tutto va come in statica

Oss. SIGNIFICATO FISICO:

• z = energia potenziale della particella per unità di peso

(en. pot. particella = m_pg = z)

unità di peso = mg

• u² / 2g = termine cinetico per unità di peso

(en. cinetica particella = ½ mu²)

unità di peso = mg = u² / 2_g

• _p / _ϱ = energia cinetica (che non vediamo) delle particelle

Energia cinetica che "non vedo" poiché sto descrivendo il fluido

in maniera macroscopica.

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Significato del teorema di Bernoulli: l'energia meccanica di un fluido

lungo una traiettoria si mantiene costante

CASO PARTICOLARE: Teorema di Bernoulli per moto irrotazionale

IPOTESI:

• fluido perfetto
• F = forze di massa = gravità
• fluido incomprimibile => _ϱ = cost
• moto permanente: ∂ / ∂_t ϱ = 0
• rot (u) = 0 (w=0)

Dinamica dei fluidi viscosi (Newtoniani)

Il tensore degli sforzi \( T \) in un generico fluido può dipendere da:

• stato di deformazione
• celerità di deformazione (D)
• storia delle precedenti deformazioni

\( t \) _{riorganizzazione} (~ Ordine di nanosecondi << \( t \) _interesse)

1. Non vi è più dipendenza di \( T \) dalla storia delle precedenti deformazioni
2. Non vi è più dipendenza di \( T \) dallo stato di deformazione poiché manca il termine di confronto

\( T = f(D) \quad \) in quanto funzione del tensore di celerità di deformazione \( D \)

Per il caso stanico \( T_{ij} = pδ_{ij} \):

• \( T = f(D) \)
• \( T_{ij} = pδ_{ij} \quad (\mu = 0) \)

fluido Stokesiano = fluido che soddisfa tale sistema

Diagonauzzando \( D \) possiamo scrivere \( D = \text{diag} (D_{xx}, D_{yy}, D_{zz}) \)

Effettuando un cambio di variabili: \(\{ x, y, z \} \rightarrow \{ \tilde{x} = x, \tilde{y} = -y, \tilde{z} = z \}\)

• \( D_{\tilde{x}\tilde{x}} = D_{xx} \)
• \( D_{\tilde{y}\tilde{y}} = \frac{\partial u_{\tilde{y}}}{\partial \tilde{y}} = \frac{\partial -u_{y}}{\partial -y} = D_{yy} \)
• \( D_{\tilde{z}\tilde{z}} = D_{zz} \)

\(\Rightarrow \quad T = f(D) \)

\( T_{\tilde{x}\tilde{y}} = T_{xy} \)