Meccanica dei Fluidi

04-10-2022

Landau-Lifschitz "Meccanica dei Fluidi", Editori Riuniti

Battenner "Introduction to Fluid Dynamics", Cambridge University Press

Feynmann "La Fisica di Feynmann, Vol 2 cap. 41

Tritton "Physical Fluid Dynamics", Oxford. Un. Press

Vogliamo trattare la meccanica dei fluidi da un punto di vista macroscopico. Ci occuperemo, quindi, di fenomeni che hanno lunghezze caratteristiche molto più grandi delle scale molecolari, utilizzando le leggi della meccanica classica e della termodinamica applicate ai fluidi.

No effetti relativistici/meccanica quantistica

• Solo fluidi semplici (Newtoniani): i coefficienti di viscosità non dipendono dall'intensità delle forze applicate

Fluidi - Liquidi e gas: forma non definita e facilità di deformazione

• Fluidi semplici: forma e posizioni relative degli elementi costitutivi cambiano in maniera significativa, anche quando soggetti a forze di piccola entità
• Solidi: " " cambiano poco quando le variazioni delle forze agenti sono piccole

Alcune sostanze hanno carattere duale e possono comportarsi sia come solidi che come liquidi a seconda delle condizioni.

La differenza principale tra le proprietà meccaniche di liquidi e gas consiste nella loro differente comprimibilità

Descrizioni Euleriana e Lagrangiana

Descrizione Euleriana

• Grandezze fluide funzioni di r e t
• Velocità v = v(r, t)

è come se scattassimo una fotografia della configurazione spaziale del fluido ad ogni istante di tempoρ(r, t), v(r, t), ρf(r, t), p(r, t),τ(r, t)

Descrizione Lagrangiana

• Fluido descritto come un sistema continuo costituito da elementi fluidi (particelle fluide)
• Immaginiamo di poter identificare le particelle fluide e di seguirne il moto e l’evoluzione

r_i(t) = (x_i(t), y_i(t), z_i(t)) Posizione dal CM della i-esima particella fluida

τ_o,i = τ_i(t₀) posizione a t₀ istante iniziale

v_i(t) = ^dτ_i/_dt = v(τ_o,i, t)

La descrizione Lagrangiana è utile in alcuni casi, ma in generale è poco pratica

Le due descrizioni sono legate:v(r, t) = v(ρ_i(t), t) = v_i(t)

Linee di corrente

La velocità del fluido è tangente ad una linea di corrente in ogni punto di quest’ultima.

Equazioni delle linee di corrente: v(r, t) = (v₁(r, t), v₂(r, t))

• Velocità euleriana

dlLinea di corrente

v ∥ dl (⇔) v × dl = 0 , dl = (dx,dy,dz)

v × dl = 0 ⟺ ^dx/_vy = ^dy/_vy = ^dz/_vz

Le linee di corrente non possono mai intersecarsi

Traiettorie Lagrangiane

Sono le traiettorie seguite dagli elementi fluidi.

r_i(t) = x(t) i + y(t) j + z(t)k

Equazione di continuità

Descrive l'evoluzione della quantità di massa in un fluido.

ρ(r,t) = dm /d³r

V_o: volume fissato (non variare nel tempo)

M(t): massa totale inv

Voglio calcolare dM/dt (variazione in C per unità di tempo)

Devo quantificare la massa che attraversa S_o per unità di tempo.

Massa di fluido che attraversa: massa contenuta nel volume cilindro obliquo

dm = ρdV = ρ(v·n) dS dt

Si può definire anche per una superficie aperta

J (r,t) = ρ(r,t) v(r,t)

Q_m = ∮_So J·ndS

M(t) = ∫_Vo ρ d³r

Dal bilancio di flusso che entra ed esce:

Quando dM(t) C provala il flusso uscente ino v^-·n < 0

∮_∂Vo ρ(v·n) dS = - ∫_Vo dρ/dt d³r

∬_Vo ∇·J d³r = 0

equazione di continuità in forma integrale

25-10-2022

_∂t + ∇⋅∇[] = -∇p + eq del moto (Euler)

_∂t + ∇⋅ () = 0 eq continuità

TOT: 5 incognite -> 2 scalari 1 greco

4 equazioni -> non sufficienti a descrivere sistema fluidodinamico

eq per l'energiaː

se ne può ottenere una dal 1^o principio della termodinamica

problema della chiusura

equazione di statoː

_V = N_Rk_BT

= n k_BT => p=p(,T), p = p(,u)

p = nmRT energia interna per unità di massa (o entropia o temperatura)

Ora il sistema è chiuso => 6 eq e 6 incognite [, p, , u]

Nel caso di fluidi (flussi) incomprimibili

dq_e = 0) => ∇⋅ = 0 eq ai continuità si riduce a uno di questi condizioni

∇⋅ = 0

∫₀: ∂_t + ∇⋅ ( ) = -∇p +

(per un fluido incomprimibile p è una variabile incerta ☞ nota la velocità è automaticamente determinata ☞ sono sufficienti 2 equazioni

Molto spesso =cost e uniforme

=> ∂_t + ∇⋅ ( ) = -1/ ∇p + /₀ tutti i termini hanno le dimensioni di un'accelerazione

[∇×]× = ε_ij^k (∇×)_i v_k = ε_ijk ε_jlm ∂_l v_m v_k = ε_ξiξi ε_jlm ∂_i v_m v_k =

=(δ_kl ε_im − δ_km ε_il) ∂_l v_m v_k = ∂_k v_k v_i − ∂_i v_k v_i v_k = − v_k ∂_i v_k v_i v_k +∑ _k=1 v_iv_k ∂_vk/∂x_i

∑ _k=1 q_i q_i ∂_i v_k − ∇ · ∇ ( v_k/2)

=> (⋅∇) = (∇×)× + ∇ (v²/2)

03-11-2022

Esercizio n°2

r = 10 cm

m = 0.5 kg

r_s = 5 cm

m₁ = 3 kg

hp sul filo: inestensibile e di massa trascurabile

tensione T del filo

volume V della parte di sfera che emerge sull’acqua

F_P + T - F_A = 0

-mg + ρ_AV₀g = 0

-mg - T + ρ_A(V_m - V₀)g = 0

V = 4/3πr_s³ - m/ρ_A

Equilibrio statico di un fluido comprimibile

Es: gas sottoposto alla forza di gravità

Essendo il fluido comprimibile ρ può dipendere da r

→ non più uniforme

∇P = ρg²

c'è bisogno di altre equazioni per trovare P e ρ.

PV = Nk_BT

P = ρ R_s T/μ