Meccanica dei fluidi

T̂

1 1

p dv ∂v ∂v ds

∂ + = = +

− −

z̃

∂s γ g dt g ∂t ∂s dt

ma considerando che = 0 e che = vale infine:

∂ v ds/dt v

t 2

p v

∂ + + =0

z̃ 2g

∂s γ

quindi il carico totale (ossia la quantità tra parentesi) si conserva lungo la direzione del moto.

H

Considerando la seconda equazione, se = 0 e quindi = allora

∞

κ r

∂ p

+ =0

z̃

∂n γ

perciò se il moto è rettilineo la quota piezometrica si conserva lungo la direzione normale.

Se si considera ora anche la terza equazione, si giunge alla conclusione che se il moto è rettilineo la quota

piezometrica si conserva lungo tutti i piani normali-binormali.

26 6.3. CORRENTI FLUIDE

6.3 Correnti fluide

Se il moto del fluido è “organizzato” è possibile individuare una direzione principale per lo stesso, se ho

una direzione principale per il moto posso considerare le linee di corrente come parallele (o quasi) tra

di loro. L’asse della corrente è la curva trovata unendo i baricentri delle aree trasversali di tutti i piani

- rispetto alle linee di corrente. Se il moto è organizzato si può quindi passare da una descrizione

N̂ B̂

Ψ(x, ad una Ψ(s, .

y, z, t) t)

6.3.1 Conservazione della massa

¨ ¨

= = = =

m ρv dA dt ṁ dt m ρv dA dt ṁ dt

e e u u

A A

e u

perciò il primo termine del bilancio, , equivale a:

P m " #

∂ ṁ ∂ ṁ

X = ( ) = + =

− − −

m ṁ ṁ dt ṁ ṁ ds dt ds dt

e u ∂s ∂s

per il secondo termine del bilancio, ∆m , tramite le solite metodologie si ottiene che:

∂(ρA)

∆m = + = (ρA) (ρA) =

− − dt ds

m(t dt) m(t) ds

t+dt t ∂t

e quindi, in conclusione, vale: ∂ ṁ ∂(ρA)

X = ∆m =⇒ + =0

m ∂s ∂t

- se il moto è stazionario = 0 ; - se il fluido è incomprimibile + = 0 ; - se entrambe le

∂ ṁ ∂ ṁ ∂ A

s s t

condizioni sono rispettate allora = 0 .

∂ V̇

s

6.3.2 Conservazione della potenza meccanica

Ricordiamo che se il moto è stazionario allora le linee di flusso coincidono con la traiettoria. Definiamo

con “tubo di flusso” il volume occupato lungo il moto da una singola particella fluida. 27

CAPITOLO 6. FLUIDI IDEALI

Sotto le ipotesi di valenza del teorema di Bernoulli il carico totale, la portata volumetrica ed il peso specifico

si conservano, quindi si conserva anche la quantità (dimensionalmente è una potenza) = .

dP Hγ dV̇

Integrando la potenza del singolo tubo di flusso su tutta l’area trasversale:

¨ ¨ 2

p v

= = + +

P Hγ v dA γ z̃ v dA

2g

γ

A A

si può però definire un carico totale medio come = ) ottenendo così che

H P/(γ V̇

m

˜

2

+ +

p v

z̃ v dA

γ 2g

A

=

H m V̇

ma se la corrente è lineare la quota piezometrica si conserva sui piani normali a e quindi

T̂

¨ ¨ 2

v

p +

= + v dA γ v dA

P γ z̃ 2g

γ A A

˜

se si definisce la velocità media come = si può anche definire il “coefficiente di ragguaglio”

v v dA /A

m A

che confronta le distribuzioni di velocità (reali e medie) lungo la sezione:

¨ !, !

3 3

v v

= m

α γ dA γ A

2g 2g

A

e quindi si ottiene che 2 2

p v p v

= + + = + +

m m

P γ z̃ V̇ αγ V̇ γ V̇ z̃ α

2g 2g

γ γ

ed in conclusione: 2

P p v

= = + + m

H z̃ α

m 2g

γ

γ V̇

perciò il carico totale medio si conserva lungo la direzione del moto.

28 6.4. PROCESSI DI EFFLUSSO

6.4 Processi di efflusso

6.4.1 Efflusso dal fondo, ben raccordato

Si sceglie il punto 1 in modo che esso sia fermo, inoltre dato che 0 è posto sul pelo libero si ha che

p

1 =

= + z̃

H z̃ 0

1 1 γ

tra 1 e 2 , che è posto in corrispondenza del foro, si conserva il carico totale perciò .

≡

H H

2 1

⃗

In generale se il fluido è ideale vale l’equazione di Eulero = ) che, nel campo gravitazionale,

∇p −

ρ(

f ⃗a

diventa = ) ma in corrispondenza di 2 , dove il moto è di caduta libera, il secondo membro

∇p −⃗a

ρ(−g∇z̃

dell’equazione si annulla e quindi = 0 (e quindi la pressione è costante); dato che sul bordo del foro

⃗

∇p

= 0 anche = 0 e perciò

p p

rel 2 e→0

= 2g(h + 2gh

p p

−→

v e)

2

Si ottiene poi la portata volumetrica moltiplicando per la sezione del foro.

v 2

Dato che si sta lavorando con fluidi ideali, per ottenere l’effettiva portata volumetrica si deve moltiplicare

il risultato ottenuto per un coefficiente 0.97 detto “coefficiente di perdita”.

≈

C

v

6.4.2 Efflusso dal fondo con spigolo vivo 29

CAPITOLO 6. FLUIDI IDEALI

Il procedimento è uguale al caso precedente, però il punto 2 si considera più avanzato rispetto alla sezione

d’uscita del foro (si vuole lavorare su sezioni in cui la distribuzione di velocità è costante e parallela).

Nel calcolo della portata volumetrica, per i motivi appena esposti, si deve considerare la sezione “contratta”,

perciò l’area (del foro) viene moltiplicata per un coefficiente 0.61 detto “coefficiente di contrazione”:

≈

C c

= = .

Q v A v C A

c c

2 2

Per giungere all’effettiva portata volumetrica, come prima, si moltiplica il risultato per ( il prodotto

C v

può essere chiamato e vale circa 60% ).

C C µ

v c

6.4.3 Efflusso da parete verticale

Per un generico punto 2 posto sulla sezione d’uscita (contratta) vale = 2g(z̃ ) , si sceglie perciò

p −

v z̃

2 0 2

di approssimare la distribuzione delle velocità ad uniforme considerando la velocità nel baricentro della

sezione d’uscita: = 2g(z̃ ) .

p −

v z̃

g

2 0

Ancora una volta, nel calcolo della portata, il risultato va moltiplicato per il coefficiente correttivo (se

µ

la configurazione d’uscita è “a tubo interno” vale 0.5 però).

≈

µ

6.4.4 Efflusso tra due serbatoi

30 6.4. PROCESSI DI EFFLUSSO

Nella sezione (contratta) in cui è posto il punto 2 la curvatura della corrente è nulla quindi la distribuzione

delle pressione è idrostatica nella direzione normale al moto (quindi verticalmente); vale perciò:

p 2

+ = ˜

z̃ z

2 3

γ

relazionando la velocità in 2 anche alla configurazione del serbatoio di sinistra si ottiene che =

v 2

√

2g(z̃ ) = 2gδ .

p − z̃

0 3

Visto che la sezione considerata è quella contratta, andrà moltiplicata per .

Q µ

6.4.5 Efflusso da paratoia

Per lo stesse ragioni del caso precedente, la pressione è distribuita idrostaticamente sopra la sezione del

punto 2 ; si sceglie dunque il punto 3 , posto verticalmente sopra a 2 , in cui la pressione (relativa) è

ovviamente nulla: dunque = 2g(z̃ ) = 2g(h .

p p

− −

v z̃ a)

2 0 3

Dato che la sezione considerata è contratta l’altezza del punto 3 non sarà proprio , bensì e quindi

a C a

c

= 2g(h ; per trovare la portata effettiva si moltiplica quindi per l’area, per il coefficiente di

p −

v C a)

c

2

contrazione e per il coefficiente di perdita.

6.4.6 Coefficienti di contrazione 31

7

Analisi (a)dimensionale

7.1 Teorema di Buckingham

Riguardo un generico fenomeno fisico, se = (g ) è una legge empirica da determinare

g f , . . . , g n

0 1

sperimentalmente, ipotizzando di svolgere una decina di esperimenti per ognuna delle grandezze

n

(tenendo costanti tutte le altre) per ricavare qualitativamente l’andamento di sarebbe necessario

g

0

svolgere 10 prove.

n

Il teorema di Buckingham afferma che, se si individua un sottoinsieme di variabili di controllo dimensio-

k

nalmente indipendenti (il loro numero dev’essere pari a quello delle dimensioni fondamentali considerate),

allora è possibile variare sperimentalmente variabili di controllo in meno rispetto alle iniziali.

k n

Il teorema può essere riformulato, dicendo che è possibile esprimere la relazione iniziale come una relazione

gruppi adimensionali; inoltre si definiscono le “grandezze dimensionalmente indipendenti” come

tra −

n k

grandezze che non possono essere ottenute come prodotti e potenze delle altre.

Dato che per processi (meccanici) isotermi = 3 si ipotizza, per esempio, che , e formino la

k g g g

1 2 3

base di grandezze dimensionalmente indipendenti; si può affermare quindi che qualsiasi altra grandezza

(diversa dalle tre precedenti) possa essere espressa come [g ] = [g ] [g ] [g ] e che quindi sia possibile

α β γ

̸ =1,2,3 1 2 3

“creare” un gruppo adimensionale della forma: g

̸ =1,2,3

Π =

̸ =1,2,3 β γ

α

g g g

3

1 2

Dalla definizione di variabili dimensionalmente indipendenti deriva che [g ] = [g ] [g ] [g ] (quindi

α β γ

̸

=1,2,3 1 2 3

due esponenti saranno nulli e quello rimanente unitario); i gruppi adimensionali associati alle grandezze

dimensionalmente indipendenti varranno perciò: g

1,2,3

Π = =1

=1,2,3 1

g

1,2,3

e quindi, dato che = (g ) Π = (Π Π ) e che contemporaneamente vale Π

∗

⇐⇒ ≡

g f , . . . , g f , . . . ,

n n

0 1 0 1 1

Π Π = 1 , in realtà il funzionale dipende da ( in questo caso 3 ) variabili (gruppi) in meno.

∗

≡ f k

2 3 32 7.1. TEOREMA DI BUCKINGHAM

7.1.1 Cadente energetica

Per quanto riguarda i moti in condotta (per le condotte d’ora in avanti si indicherà con il carico medio

H

e con la velocità media) si è detto che è costante lungo ma sperimentalmente non è così, infatti la

v H s

linea dei carichi totali LCT decresce omogeneamente lungo la direzione del moto:

si cerca quindi di definire la “cadente energetica” (considerata convenzi