Meccanica applicata alle macchine: preparazione per esame orale

Cinematica del Punto

Cinematica è movimento di un sistema meccanico in base ai vincoli, indipendentemente delle forze agenti su di esso.

Dato un sistema di riferimento nel piano con vettori ̂, ̂, ̂ la posizione nel piano di un punto può essere definita mediante il vettore posizione P(t) mediante la coppia di coordinate ((t),(t)).

P(t) = (₀ ) = x(t)̂ + y(t)̂,

Le componenti del vettore lungo i due assi sono funzioni che descrivono la successione delle posizioni occupate dal punto nel piano in funzione del tempo. Questa funzione è la legge di moto.

La trajettoria è l’insieme dei punti che rispettano la legge di moto, esprimendo una coordinata in funzione dell’altra.

• = (t)
• = (t)    
• = (x) 
• = (⁻¹(x)) = (x) 

Si definisce velocità la derivata rispetto al tempo del vettore posizione e è definita come limite del rapporto incrementale del vettore posizione al tendere a zero dell’intervallo di tempo Δ.

̅ = lim _∆t→0 [(P(t+∆) - P(t))/∆] = d /dt

Se Δ→0 Δ¹ diventa il vettore tangente alla traiettoria. Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria.

L’accenulata α del vettore velocità si può calcolare attraverso la tangente locale alla traiettoria.

α = ϕ = d/d  + (/d) ((x)/d) = '(x) derivata rispetto a x della traiettoria.

Si può esprimere in funzione dell’accelerazione α:

̅ = ̅ con ̅ = cosα ̂ + senα ̂

Si definisce accelerazione la derivata rispetto al tempo del vettore velocità.

̅(t) = d(̅)/dt = (d/dt)̅ + (d̅/dt) ̅

̅ è funzione del tempo.

̅ ha 2 componenti:

• at tangenziale: rappresenta la variazione nel tempo del modulo velocità.
• an componente diretta verso centro traiettoria, quando traiettoria non è rettilinea.

La derivata di un vettore ̅0 è un vettore ortogonale al vettore stesso, a versione ̂ᵉ alla traiettoria e derivando ottengo un vettore che punta verso il centro della traiettoria.

d̂/dt = ∇ × ̅ = [̂ ̂ ̂/0 0 /cosα -senα]

Un termine di ascissa curvilinea

d = dα· = vdt

̇ = d/dt = v/

L'ascissa curvilinea associa a ciascun punto della traiettoria una grandezza scalare rappresentativa della distanza misurata lungo la traiettoria

Moto su traiettorie circolari

• ( - ) = {cosα + senα = ̄}
• ̄ = d( - )/dt = d(R̄)/dt = { × ( - )}
• ̄ = d̅/dt = d²/t² (̄) = ̇ × ( - ) + × d/dt ( - )
• = ̇ × ( - ) + × [ × ̄]
• = ̇ × ( - ) + × { × ( - )}

Numeri complessi

• ̄ = cos₀ + sen₀ = e^i⦶₀
• ̄_p = ̇e^i⦶₀ + iθ̇e^i⦶₀= ̇e^i⦶₀ + θ̇e^i(⦶₀+/2)
• ̄_p = dv/dt e^i⦶₀ + v⦶/dt e^i(⦶₀+/2)
• ̇ = v/

Moti relativi

• Moto assoluto → moto rispetto al sistema di riferimento fisso (,,)
• Moto trascinamento → moto terra mobile che ruota o trasla rispetto a quella fissa
• Moto relativo → moto del punto rispetto alla terra mobile se la si considera fissa

Teorema moti relativi

• ( - ) = (₁' - ) + ( - ₁')
• (,,) fissa
• (₁,₁,₁) mobile
• ̄_PASS = ̄₀ + d/dt (₁₁ + ₁₁ + ₁₁)
• = ̄₀ + ̇₁̂₁ + ̇₁̂₁ + ₁₁/dt + ₁₁/dt
• = ̄₀ + ̄_REL + ̇ × ₁₁ + ₁₁
• = ̄₀ + ̄_REL + × (₁₁ + ₁₁)
• = ̄₀ + ̄_REL + × ( - ₁')

̄ = ̄_TR + ̄_REL

̄_TR = ̄₀ + ̇ × - ₁'

̄_REL = velocità terra mobile

Rotolamento di un disco su una guida continua

In guida rettilinea l'angolo rotolamento è causato con la variazione della posizione angolare

In guida circolare la variazione della posizione angolare non coincide con l'angolo di rotolamento

Se ho rotolamento nullo quindi io che non cambia ho cavuso una variazione della pos. angolare, dovuta alla guida

Se sovrappongo il rotolamento

• G_ASS = a + φH_K = -γφ = αR→ αR = -r(G_ASS-α)→ -rG_ASS = αR - rαG_ASS = -α(R-r)/rSupport AM_ASS = -α(R-r)/rSupport AM_ASS = -α(R-r)/rSupport AM_ASS = -α(R-r)/rSupport AM_ASS = -α(R-r)/r

Cinematica dei sistemi di corpi rigidi

Ogni corpo rigido ha 3×n_a gradi di libertà ai quali si sottraggono i gradi di vincolo dovuti ai vincoli nel corpo

• Catena cinematica aperta: sistema composto da una serie di corpi mobili, più un corpo fisso detto telaio al quale i diversi corpi sono vincolati uno ad uno spesso all'altro, ma un estremo libero
• Catena cinematica chiusa: in cui i due estremi sono vincolati al telaio della macchina

Risoluzione con Vitruvio:

• Vettore coord. note
• Vettore incognite
• Jacobiana del sistema cinematico

Coord. fisiche x_B variabilia

Note(a₁)^q

x_B = [^a(a)][a]^q

x_B = [^a(a)][q_i^q + [^a(a)]q

Dentro ai muoto con q

Accelerazione geometrica = p ero impediteuste dalle

Quando uno vince screenshot se non nuclei Node sono Nomini

Bilancio di Potenze

...afferma che in ogni istante del movimento del sistema deve annullarsi la somma delle potenze di tutte le forze (anche di inerzia) agenti sul sistema...

potenza di una forza _F ^J

potenza di un momento _C ^J . ^w

Bilancio PLV o di d'Alembert

• N_GR Σ _{k=1 F} ^k . _v ^pi + H Σ _{i=1 C} ⁱ . ^w _i = N_CR Σ _{k=1 F} ^m,k . ^v_Gk + N_CR Σ _{k=1 C} ^m,k . ^w_k = 0

eq. statico

eq. dinamico

se divido per l'unità di gruppo 'unimensura', ottengo delle potenze

• Σ _{k=1 F} ⁱ . ^{v pi} + H Σ _{i=1 C} ⁱ . ^w_i = 1 - μ_k. 0_G . ^v_G + N_CR Σ _k=1 - S_Gk(^w_k . ^w_k) = 0

CNES: somma di tutte le potenze dovute forze e coppie esterne e delle forze e coppie d'inerzia è uguale a zero

chiamiamo

• N_GR Σ _{k=1 F} ⁱ . ^{v pi} + H Σ _{i=1 C} ⁱ . ^w_i = N_CR Σ _k=1 - S_Gk(^w_k . ^w_k) = v_i

quindi ottengo [σ + v_i = 0] !

primo formulazione

Teorema dell'energia cinetica

è una forma alternativa dell'equazione di bilancio delle potenze

il termine relativo alle potenze di inerzia può essere scritto in termini di derivata rispetto al tempo dell'energia cinetica del corpo

1) - μ d^̇G = - μ ...

2) ...

il doppio di quello scritto sopra, x questo moltip 1/2

se sommo i due termini -

quindi [v_mi = - d_t E_K] !